Бухвалов А.В. Финансовые вычисления для профессионалов. Настольная книга финансиста

Подождите немного. Документ загружается.

142 7. Современная ценность финансовой ренты

б) В этом случае проценты начисляются 4 раза в год. Применяем фор-

мулу (7.6) при n = 8, m = 4, j

/m = 5%/4 = 1.25%:

P V = R

nm;

= 2 500

32; 1.25%

4; 1.25%

По формуле (7.1) находим значение:

32; 1.25%

1 − (1 + 0.0125)

−32

0.0125

= 26.2413.

По формуле (6.2) находим значение:

4; 1.25%

(1 + 0.0125)

− 1

0.0125

= 4.07563.

Подставляем вычисленные значения и получаем ответ:

P V = 2 500×

26.2413

4.07563

= 16 096.47 руб.

в) В этом случае применяем формулу (7.10) при n = 8, δ = 0.05:

P V = R

1 − e

−δn

− 1

= 2 500

1 − e

−0.05×8

0.05

− 1

= 16 075.33 руб.

Пример 7.3. Какую сумму необходимо положить в банк, чтобы в те-

чение следующих 10 лет ежегодно получать 3 000 руб., полностью исчер-

пав счет к концу этого срока. Деньги буду т сниматься каждые 2 месяца

равными частями. Банк начисляет на находящиеся на счету деньги про-

центы по ставке: а) годовой i = 5%, б) годовой j

= 5%, в) непрерывной

годовой δ = 5%.

Решение . Во всех случаях требуется найти современную ценность p -

срочной ренты при p = 6.

а) В этом случае проценты начисляются только в конце года. Приме-

няем формулу (7.3) при n = 10, i = 5%, p = 6:

P V = Ra

(p)

n; i

= 3 000a

(6)

10; 5%

Значение a

(6)

10; 5%

находим по формуле (7.4) и по Таблицам 3 и 4:

(6)

10; 5%

= a

10; 5%

×K

6; 5%

= 7.72173×1.02064 = 7.88111.

7.3. Современная ценность различных рент 143

Подставляем вычисленное значение и получаем ответ:

P V = 3 000×7.88111 = 23 643.30 руб.

б) В этом случае проценты начисляются 4 раза в год. Применяем фор-

мулу (7.7) при n = 10, m = 4, j

= 5%, p = 6:

P V =

mn;

;

30 000

40; 1.25%

; 1.25%

По формуле (6.2) вычисляем:

; 1.25%

(1 + 0.0125)

− 1

0.0125

= 0.66529.

По формуле (7.1) вычисляем:

40; 1.25%

1 − (1 + 0.0125)

−40

0.0125

= 31.3269.

Находим современную ценность ренты:

P V = 30 000×

31.3269

6×0.66529

= 23 543.79 руб.

в) В этом случае проценты начисляются непрерывно. Применяем фор-

мулу (7.11) при n = 10, p = 6, δ = 0.05:

P V =

1 − e

−δn

−1

3 000

1 − e

−0.05×10

0.05

− 1

= 500×47.0199 = 23 509.95 руб.

Пример 7.4. Какую сумму надо положить в банк, чтобы в течение

следующих 12 лет иметь возможность каждые 3 года снимать со счета

2 500 руб., исчерпав к концу этого срока вложенные деньги. Банк начис-

ляет на находящиеся на счету деньги проценты по ставке: а) годовой

i = 5%, б) j

= 5%, в) непрерывной δ = 5%?

144 7. Современная ценность финансовой ренты

Решение . Во всех случаях надо найти современную ценность ренты с

периодом больше года. В случае а) проценты начисляются в конце каж-

дого года. Современную ценность ренты находим по формуле (7.5) при

r = 3, n = 12, i = 5%:

P V = R

n; i

r; i

= 2 500

12; 5%

3; 5%

Значения коэффициентов a

12; 5%

и s

3; 5%

находим по Таблицам 3 и 2, со-

ответственно:

12; 5%

= 8.86325, s

3; 5%

= 3.1525.

Подставляем найденные значения и получаем ответ:

P V = 2 500×

8.86325

3.1525

= 7 028.75 руб.

б) В этом случае проценты начисляются 4 раза в год. Современную

ценность ренты вычисляем по формуле (7.9) при n = 12, m = 4, r = 3,

/m = 5%/4 = 1.25%:

P V = R

nm;

mr;

= 2 500

48; 1.25%

12; 1.25%

В Таблицах 2 и 3 нет значений s

12; 1.25%

и a

48; 1.25%

, поэтому вычисляем их

по формулам (6.2) и (7.1):

12; 1.25%

(1 + 0.0125)

− 1

0.0125

= 12.8604,

48; 1.25%

1 − (1 + 0.0125)

−48

0.0125

= 35.9315.

Подставляем вычисленные значения и получаем ответ:

P V = 2 500×

35.9315

12.8604

= 6 984.91 руб.

в) В этом случае проценты начисляются непрерывно с силой роста δ =

5% = 0.05. Современную ценность ренты вычисляем по формуле (7.12)

при n = 12, r = 3, δ = 0.05:

P V = R

1 − e

−δn

δr

− 1

= 2 500

1 − e

−0.6

0.15

− 1

= 6 969.92 руб.

7.3. Современная ценность различных рент 145

7.3.4. Вечная рента

Вечной рентой называется финансовая рента с бесконечным числом

членов. Например, некоторое благотворительное общество положило в

банк определенную су мму денег и отчисляет ежегодно проценты от этой

суммы в пользу детского дома. Число платежей, которые получит детский

дом, не ограничено, эти платежи могут продолжатся как угодно долго,

они образуют

”

вечную“ ренту. Очевидно, что наращенная су мма вечной

ренты, каждый член которой равен положительному числу R, бесконечно

велика, и говорить об ее величине не имеет смысла. Иначе обстоит дело с

современной ценностью вечной ренты. Современной ценностью P V

∞

веч-

ной ренты является сумма, которую надо вложить в начальный момент

под сложные проценты по данной ставке, чтобы в дальнейшем каждый год

(или каждый период начисления процентов) можно было получать с этого

вклада сумму R. Современную ценность вечной ренты можно определить

как предел современной ценности конечной ренты при неограниченном

увеличении числа членов ренты. Ниже, при нахождении пределов всюду

используется тот факт, что lim

n→∞

−n

= 0 при любом a > 1. Рассмотрим

различные виды вечной ренты.

Годовая рента с начислением процентов в конце каждого года по

ставке сложных процентов, равной i

Современная ценность конечной ренты этого вида определяется фор-

мулой (7.2). Найдем предел данного в этой формуле выражения при неог-

раниченном увеличении n:

P V

∞

= lim

n→∞

P V = lim

n→∞

n; i

= R lim

n→∞

1 − (1 + i)

−n

Итак, современная ценность вечной ренты в данном случае равна:

P V

∞

. (7.13)

p -срочная рента с начислением процентов в конце года по ставке

сложных процентов, равной i

Современная ценность вечной ренты в этом случае равна пределу вы-

ражения в формуле (7.3):

P V

∞

= lim

n→∞

P V = lim

n→∞

(p)

n; i

= R lim

n→∞

1 − (1 + i)

−n

p[(1 + i)

− 1]

146 7. Современная ценность финансовой ренты

p[(1 + i)

− 1]

Из формулы (6.6) следует:

p((1 + i)

1/p

− 1) =

p; i

следовательно, полученное для P V

∞

выражение можно записать так:

P V

∞

= R

p; i

. (7.14)

Вечная рента с периодом больше года и начислением процентов

в конце каждого года по ставке сложных процентов, равной i

Современная ценность вечной ренты в этом случае равна пределу вы-

ражения в формуле (7.5):

P V

∞

= lim

n→∞

P V = lim

n→∞

n; i

r; i

= R

lim

n→∞

1 − (1 + i)

−n

(1 + i)

− 1

(1 + i)

− 1

Из формулы (6.2) следует, что

(1 + i)

− 1 = i×s

r; i

поэтому получаем формулу:

P V

∞

i×s

r; i

(7.15)

Годовая рента с начислением процентов m раз в год по ставке j

Современная ценность вечной ренты в этом случае равна пределу вы-

ражения в формуле (7.6):

P V

∞

= lim

n→∞

P V = lim

n→∞

nm;

= R lim

n→∞

1 −



1 +



−nm



1 +



− 1



1 +



− 1

7.3. Современная ценность различных рент 147

Из формулы (6.2) следует:



1 +



−1 =

×s

поэтому получаем формулу:

P V

∞

×s

. (7.16)

p -срочная рента с начислением процентов m раз в год

по ставке j

Современная ценность вечной ренты в этом случае равна пределу вы-

ражения из формулы (7.7):

P V

∞

= lim

n→∞

P V = lim

n→∞

nm;

;

× lim

n→∞

1 −



1 +



−nm



1 +



− 1



1 +



− 1

Из формулы (6.2) следует:



1 +



−1 =

×s

;

поэтому получаем формулу:

P V

∞

p×

×s

;

. (7.17)

В частном случае этой ренты, когда m = p, имеет место равенство:

1; j

= 1.

С учетом последнего равенства формула (7.17) принимает вид:

P V

∞

m×

. (7.18)

148 7. Современная ценность финансовой ренты

Вечная рента с периодом больше года с начислением процентов

m раз в год по ставке j

Современная ценность вечной ренты в этом случае равна пределу вы-

ражения из формулы (7.9):

P V

∞

= lim

n→∞

P V = lim

n→∞

nm;

mr;

= R

lim

n→∞

1 −



1 +



−nm



1 +



− 1

= R

(1 +

)

− 1

Из формулы (6.2) следует:



1 +



−1 =

×s

mr;

Тогда формула для P V

∞

принимает вид:

P V

∞

×s

mr;

. (7.19)

Годовая рента с непрерывным начислением процентов

по ставке δ

Современная ценность вечной ренты в этом случае равна пределу вы-

ражения в формуле (7.10):

P V

∞

= lim

n→∞

P V = lim

n→∞

1 − e

−δn

− 1

= R lim

n→∞

1 − e

−δn

− 1

Таким образом:

P V

∞

− 1

. (7.20)

p -срочная рента с непрерывным начислением процентов

по ставке δ

Современная ценность вечной ренты в этом случае равна пределу вы-

ражения в формуле (7.11):

P V

∞

= lim

n→∞

P V = lim

n→∞

1 − e

−δn



− 1





− 1



7.3. Современная ценность различных рент 149

Следовательно, получили формулу:

P V

∞



− 1



. (7.21)

Вечная рента с периодом больше года с непрерывным

начислением процентов по ставке δ

Современная ценность вечной ренты в этом случае равна пределу вы-

ражения в формуле (7.12):

P V

∞

= lim

n→∞

P V = lim

n→∞

1 − e

−δn

p(e

δr

−1)

δr

−1

Следовательно, получаем формулу:

P V

∞

δr

− 1

. (7.22)

Пример 7.5. Предприятие собирается учредить фонд для выплаты

стипендий направленным на учебу работникам в сумме 1 200 000 руб. еже-

годно. Какую сумму должно положить предприятие в банк, чтобы обес-

печить получение необходимых денег неограниченно долго, если: а) банк

выплачивает 12% годовых (сложных), б) банк выплачивает проценты по

ставке j

= 12%, в) банк выплачивает непрерывные проценты с силой

роста δ = 12%?

Решение . а) Последовательность получаемых сумм является вечной

рентой с начислением процентов в конце года. Применяем формулу (7.13)

при R = 1 200 000, i = 0.12:

P V

∞

1 200 000

0.12

= 10 000 000 руб.

б) Последовательность получаемых сумм является вечной рентой с

начислением процентов m раз в год по годовой ставке j

. Применяем

формулу (7.16) при m = 4, j

= 12%, j

/m = 12%/4 = 3%:

P V

∞

×s

1 200 000

0.03×s

4; 3%

По Таблице 2 находим s

4; 3%

= 4.18363. Подставляем это значение в фор-

мулу и получаем ответ:

P V

∞

1 200 000

0.03×4.18363

= 9 561 074.95руб.

150 7. Современная ценность финансовой ренты

в) Последовательность получаемых сумм образует вечную ренту с непре-

рывным начислением процентов по годовой ставке δ. Применяем форму-

лу (7.20) при R = 1 200 000, δ = 12% = 0.12:

P V

∞

−1

1 200 000

0.12

− 1

= 9 411 997.13 руб.

Пример 7.6. Решить предыдущий пример, если предприятие желает

снимать равные суммы ежемесячно (при том же годовом доходе).

Решение . а) Последовательность получаемых сумм образует p -срочную

вечную ренту с выплатой процентов в конце года. Применяем форму-

лу (7.14) при p = 12, i = 12%:

P V

∞

= R

p; i

= 1 200 000

12; 12%

0.12

По Таблице 4 находим: K

12; 12%

= 1.053874826. Подставляя это значение в

формулу, получаем ответ:

P V

∞

= 1 200 000×

1.05387

0.12

= 10 538 700 руб.

б) Последовательность снимаемых сумм образует p -срочную вечную

ренту с выплатой процентов 4 раза в год. Применяем формулу (7.17) при

m = 4, p = 12, j

= 12% = 0.12, j

/m = 0.12/4 = 0.03 = 3%:

P V

∞

p×

×s

;

1 200 000

12×0.03×s

; 3%

В наших таблицах нет значения s

1/3; 3%

, поэтому находим его по форму-

ле (6.2):

; 3%

(1 + 0.03)

− 1

0.03

= 0.33005.

Вычисляем P V

∞

P V

∞

1 200 000

12×0.03×0.33005

= 10 099 479.88 руб.

в) Последовательность снимаемых су мм является p -срочной вечной

рентой с выплатой непрерывных процентов. Применяем формулу (7.21)

при p = 12, δ = 12% = 0.12:

P V

∞



− 1



1 200 000

12(e

0.12

− 1)

= 9 950 083.42 руб.

7.4. Погашение несколькими платежами 151

Пример 7.7. Решить пример 7.5 при условии, что предприятие жела-

ет снимать каждые 2 года сумму в 2 400 000 руб.

Решение . Во всех случаях последовательность снимаемых со счета

сумм является вечной рентой с периодом больше года.

а) В этом случае проценты начисляются в конце каждого года. При-

меним формулу (7.15) при r = 2, R

= 2 400 000, i = 12% = 0.12:

P V

∞

i×s

r; i

2 400 000

0.12×s

2; 12%

Значение функции s

2; 12%

в наших таблицах отсутствует, поэтому вычис-

ляем его по формуле (6.3):

2; 12%

(1 + 0.12)

−1

0.12

= 2.12.

Подставляя вычисленное значение в формулу, получаем ответ:

P V

∞

2 400 000

0.12×2.12

= 9 433 962.26 руб.

б) Последовательность снимаемых со счета сумм является вечной рен-

той с периодом больше года. Применяем формулу (7.19) при r = 2, R

2 400 000, m = 4, j

/m = 12%/4 = 3% = 0.03:

P V

∞

×s

mr;

2 400 000

0.12

×s

4×2;

12%

2 400 000

0.03×s

8; 3%

По Таблице 2 находим: s

8; 3%

= 8.89234 и вычисляем P V

∞

P V

∞

2 400 000

0.03×8.89234

= 8 996 507.11 руб.

в) Последовательность получаемых сумм образует вечную ренту с пе-

риодом больше года и непрерывным начислением процентов. Применяем

формулу (7.22) при r = 2, R

= 2 400 000, δ = 12% = 0.12:

P V

∞

δr

− 1

2 400 000

0.12×2

− 1

= 8 847 953.99 руб.