Бухвалов А.В. Финансовые вычисления для профессионалов. Настольная книга финансиста

Подождите немного. Документ загружается.

162 7. Современная ценность финансовой ренты

ется точка интервала x

′

, которая определяется по формуле (7.26), — это

текущее приближение к корню функции. Для определенности в п ервом

столбце пишется тот конец интервала, на котором функция имеет отри-

цательное значение. В столбцах D, E, F вычисляются значения функции

f(x) в точках x

, x

и x

′

, соответственно. Именно такой порядок сле-

дования столбцов позволяет набрать формулу для вычисления значения

функции только один раз в ячейке D16. Формулы в ячейках E16 и F16 по-

лучаем, копируя ячейку D16. Следует обратить внимание на то, что при

копировании получатся верные формулы, только если формула в ячейке

D16 содержит абсолютный адрес ячейки B13.

Ячейки последнего столбца таблицы (G) содержат формулу, которая

выводит текст: Надо продолжать, если значение корня функции f(x) опре-

делено с недостаточной точностью.

Вторая строка таблицы получается в результате выполнения следую-

щих действий: вводим в ячейки A17 и B17 формулы, которые определяют

концы нового интервала; копируем интервал C16:G16 в интервал C17:G17.

Далее требуется только скопировать последнюю строку таблицы в ее

следующую строку. При этом будут выполнены все необходимые вычис-

ления. Копирование строк таблицы надо продолжать до тех пор, пока в

последнем столбце не появится текст:

Корень = <значение корня>.

При решении примера 7.10 потребовалось выполнить три итерации.

Полученное значение корня совпало с тем, которое было получено с по-

мощью встроенной функции НОРМА.

Упражнения

1. Какую с умму надо в ложить в банк, выплачивающий 5% годовых, чтобы

иметь возможность снимать в конце каждого года 500 руб., исчерпав весь

вклад к концу десятого года?

2. Решить предыдущее упражнение, если ба нк выплачивает проценты по

ставке j

= 5 %.

3. Решить у пражнение 1, если банк выплачивает непрерыв ные проценты по

ставке δ = 5%.

4. Какую сумму следует положить в банк, чтобы в течение следующих 10 лет

получать ежегодно по 500 руб., снимая эту сумму равными частями каж-

дые 6 месяцев, если банк начисляет на в ложенные в него деньги 5% годо-

вых?

Упражнения 163

5. Решить предыдущее упражнение, если банк начисляет проценты по ставке

= 5%.

6. Решить упражнение 4, если банк начисляет непрерывные проценты с си-

лой роста δ = 5%.

7. Какую сумму надо положить в банк, чтобы в течение следующих 26 лет

иметь возможность снимат ь со счета каждые два года по 1 000 руб., ис-

черпав вес ь вклад к концу этого срока, если банк начисляет на деньги,

находящиеся на счете, 1 0% годовых?

8. Решить предыдущее упражнение, если банк начисляет проценты по ставке

= 10%.

9. Решить упражнение 7, если банк начисляет непрерывные проценты с си-

лой роста δ = 10%.

10. Перед выходом на пенсию г- н Федоров хочет обеспечить себе неограни-

ченно долго ежегодный доход в су мме 5 000 руб. Какую сумму он должен

положить для этого в банк, выплачивающий 5% годовых?

11. Решить предыдущее упражнение, если г-н Федоров желает снимать еже-

квартально четверть годового дохода (по 1 250 руб.).

12. Решить упражнение 10, если г-н Федоров желает снимать деньги раз в

3 года (по 15 000 руб.).

13. Решить упражнение 10, если банк выплачивает проценты по ставке j

5%.

14. Решить упражнение 10, если г-н Федоров желает снимать со счета еже-

квартально четверть годово го дохода, и банк в ы плачивает проценты по

ставке j

= 5 %.

15. Решить упражнение 10, если г-н Федоров желает снимать со счета еже-

квартально четверть годово го дохода, и банк в ы плачивает проценты по

ставке j

= 5 %.

16. Решить упражнение 10, если г-н Федоров желает снимать деньги раз в

3 года (по 15 000 руб.), и банк выплачивает проценты по с тавке j

= 5%.

17. Решить упражнение 10, если банк начисляет на деньги непрерывные про-

центы с силой роста δ = 5%.

18. Решить упражнение 10, если г-н Федоров желает снимать со счета еже-

квартально четверть годового дохода, и банк начисляет на деньги непре-

рывные проценты с силой роста δ = 5%.

19. Решить упражнение 10, если г-н Федоров желает снимать деньги раз в

3 года (по 15 000 руб.), и банк начисляет на деньги непрерывные проценты

с силой роста δ = 5%.

164 7. Современная ценность финансовой ренты

20. Фермер приобрел трактор в кредит за 12 000 руб. За кредит он до лжен

платить 5% годовых и выплатить весь долг за 4 года равными платежа-

ми. Найти размер ежегодной срочной уплаты и составить план погашения

долга.

21. Составьте план погашения долга, описанного в предыдущем упражнении,

если срочная годовая уплата установлена в размере 3 500 руб.

22. Составьте план погашения долга, описанного в упражнении 20, если фер-

мер сделает 2 срочные уплаты: по одной каждые 2 года.

23. Г-н Иванов купил в кредит автомобиль, который стоит 80 000 руб. Он

обязался вернуть долг в течение года, делая равные ежемесячные сроч-

ные уплаты. Найти величину срочной уплаты и составить план погашения

долга, если на долг магазин начисляет 10% годовых.

24. Составьте план погашения долга, описанного в предыдущем упражнении,

если г-н Иванов договорился с магазином, что он будет делать ежемесяч-

ные срочные уплаты величиной по 7 500 руб.

25. Владелец дома планирует произвести через 15 лет капитальный ремонт,

на который ему пот ребуется 12 млн. руб. Он может ежегодно вкладывать

для этой цели в банк 600 тыс. руб. Под какие проценты он должен вложить

эти деньги, чтобы накопить необходимую сумму?

26. Г-н Петров собирает ся положить в банк на счет своего с ы на 180 000 руб.,

чтобы тот в течение 5 лет учебы в университете мо г снимать в конце

каждого года со счета 40 тыс . руб., исчерпав весь вклад к концу учебы.

Какой процент для этого должен платить банк?

8. Некоторые операции с финансовыми

контрактами

8.1. Продажа контрактов

Рассмотрим примеры продажи контрактов или изменения условий кон-

трактов, связанных с финансовыми рентами.

Пример 8.1. Строительная фирма продала коттедж, заключив кон-

тракт, по которому покупатель обязался выплачивать ежеквартально по

10 000 руб. в течение 5 лет. Хозяин фирмы, нуждаясь в деньгах, продает

этот контракт банку, который получает на ссуженные деньги проценты по

ставке j

= 12%. Какую сумму заплатит банк хозяину фирмы за данный

контракт?

Решение . Платежи, которые банк будет получать по контракту, мож-

но рассматривать как ренту, состоящую из 20 платежей по 10 000 руб.

каждый. За эту ренту банк должен заплатить ее современную ценность.

Эту ценность можно вычислить по формуле (7.2) при R = 10 000, n = 20,

i = j

/4 = 12%/4 = 3%:

P V = Ra

n; i

= 10 000 a

20; 3%

По Таблице 3 находим:

20; 3%

= 14.8775.

Подставляя это значение в формулу для P V , получаем:

P V = 10 000×14.8775 = 148 775 руб.

Таким образом, хозяин фирмы, продавая контракт, теряет сумму, равную

200 000 − 148 775 = 51 225 руб.,

166 8. Некоторые операции с финансовыми контрактами

но при этом он получает деньги немедленно. Банк, покупая контракт, по-

лучает доход, равный той же сумме 51 225 руб. Эту сумму можно считать

платой за риск, который несет банк, так как покупатель коттеджа может

по тем или иным причинам прекратить выплату долга.

Заметим, что в этом примере ренту можно рассматривать как p -сроч-

ную ренту с начислением процентов 4 раза в год при R = 40 000 (R —

величина платежа в год). Применяя формулу (7.8) при p = 4, получаем

тот же результат.

Пример 8.2. Фермер купил в кредит мотоцикл за 20 000 руб., обязав-

шись погасить его ежемесячными платежами в течение года, выплачивая

при этом проценты за долг по ставке j

= 6%. Хозяин магазина продает

этот контракт финансовой компании, которую не удовлетворяют усло-

вия контракта: она желает получать доход по ставке j

= 12%. Сколько

должна заплатить компания за этот контракт?

Решение . Найдем величину каждого из 12 платежей, которые должен

сделать по заключенному контракту фермер. Эти платежи образуют рен-

ту, состоящую из 12 платежей, современная ценность которой 20 000 руб.

Процент, начисляемый на каждый платеж, равен 0.5% (ставка процента

i = j

/12 = 6%/12 = 0.5%). Величину платежа найдем из формулы (7.2):

R =

P V

n; i

20 000

12; 0.5%

По Таблице 3 находим, что a

12; 0.5%

= 11.6189. Подставляя это значение в

формулу, получаем:

R =

20 000

11.6189

= 1 721.33 руб.

Таким образом, финансовая компания готова купить контракт, предпо-

лагающий 12 платежей по 1 721.33 руб. каждый, получая доход по ставке

= 12%. Современная ценность такого контракта может быть найдена

по формуле (7.2) при i = 12%/12 = 1%:

P V = Ra

n; i

= 1 721.33 a

12; 1%

По Таблице 3 находим, что a

12; 1%

= 11.2551. Подставляя это значение в

формулу, получаем:

P V = 1 721.33×11.2551 = 19 373.74 руб.

8.2. Выбор контракта, наиболее выгодного для покупателя 167

Таким образом, фермер приобрел мотоцикл, за который он выплатит

1 721.33×12 = 20 655.96 руб.

Хозяин магазина, продав контракт, теряет сумму, равную

20 000 − 19 373.74 = 626.26 руб.,

а финансовая компания получает в течение года прибыль, равную

20 655.96 − 19 373.74 = 1 282.22 руб.

Эта прибыль является премией, которую компания получает за риск по-

терять деньги в случае неуплаты долга фермером.

8.2. Выбор контракта, наиболее выгодного

для покупателя

При покупке некоторого товара покупатель может заключить с про-

давцом контракт, включающий различные условия авансовой оплаты, по-

лучения кредита и сроков поставки товара. Чтобы выбрать наи более вы-

годный для себя контракт, покупатель должен сравнить современные цен-

ности возможных контрактов и найти контракт с наименьшей современ-

ной ценностью. Чтобы определить современную ценность тех или иных

платежей, необходимо принять какую-либо ставку сравнения, то есть став-

ку сложных процентов i, по которой будет производиться дисконтирова-

ние этих платежей. В теории корпоративных финансов рассматриваются

различные подходы к выбору этой ставки — это может быть и уровень

ссудного процента, и уровень доходности по государственным облигациям

или кредитным обязательствам и т. д. Рассмотрение этого вопроса выхо-

дит за рамки финансовой математики, а значит, и нашей книги.

При покупке товара покупатель делает платежи двух видов.

Во-первых, это авансовые платежи P

, которые он выплачивает за куп-

ленный товар в обусловленные контрактом моменты времени t (считая от

момента заключения контракта). Современная ценность этих платежей

на момент заключения контракта вычисляется по формуле:

P V

′

(1 + i)

−t

168 8. Некоторые операции с финансовыми контрактами

Во-вторых, это платежи по погашению кредита, то есть по погашению

разности между ценой товара C и авансовыми платежами:

C −

Современная ценность этих платежей различна при разных услови-

ях погашения кредита. Рассмотрим два наиболее часто встречающихся

случая:

а) Кредит погашается разовым платежом в конце срока. За кредит

по контракту продавец получает g% годовых. Тогда сумма, выплачивае-

мая в конце срока кредита, вычисляется по формуле:

(C −

)(1 + g)

где N — срок кредита, который обычно отсчитывается от момента окон-

чания поставки товара. Современная ценность этой суммы на момент за-

ключения контракта вычисляется по формуле:

P V

′′

= (C −

)(1 + g)

(1 + i)

−(T +N )

где T — срок поставки товара.

Современная ценность P V всех платежей по контракту на момент его

заключения вычисляется по формуле:

P V =

(1 + i)

−t

+ (C −

)(1 + g)

(1 + i)

−(T +N )

. (8.1)

б) Кредит по гашается равными срочными уплатами. Современная

ценность авансовых платежей такая же, как в случае а). Годовая срочная

уплата α по выплате кредита, величина которого, как было указано выше,

на момент поставки товара равна

C −

согласно формуле (7.23) вычисляется по формуле:

α =

C −

N; g

8.2. Выбор контракта, наиболее выгодного для покупателя 169

Последовательность срочных уплат представляет собой ренту, состо-

ящую из N платежей по α каждый. Современная ценность этой ренты

на момент T , согласно формуле (7.2), равна αa

N; i

. Современная ценность

этой суммы на момент заключения контракта равна αa

N; i

(1 + i)

−T

. Сле-

довательно, современная ценность всех платежей по контракту на момент

его заключения вычисляется по формуле:

P V =

(1 + i)

−t

+ (C −

)

N; i

N; g

(1 + i)

−T

. (8.2)

Рассмотрим примеры сравнения контрактов.

Пример 8.3. Сравним следующие два контракта при ставке сложных

процентов i = 10%.

1-й контракт: Товар стоит 20 млн. руб. Делается три авансовых пла-

тежа по 3 млн. руб. каждый: первый — в момент заключения контракта,

второй — через год, третий — еще через год. Поставка товара произво-

дится по окончанию авансовых платежей. Кредит дается на 6 лет, считая

с момента поставки товара, под 5% годовых и погашается разовым пла-

тежом в конце срока кредита.

2-й контракт: Товар стоит 21 млн. руб. В момент заключения контрак-

та делается один авансовый платеж, равный 5 млн. руб. Поставка произ-

водится в момент заключения контракта. Кредит выдается на 10 лет под

5% годовых с погашением равными ежегодными срочными уплатами.

Решение . Сравним современные ценности этих контрактов. Для 1-го

контракта P V

вычисляем по формуле (8.1) при C = 20 млн. руб., t

= 0,

= 1, t

= 2, T = 2, N = 6, g = 5%, P

= P

= 3 млн. руб.:

P V

= 3(1 + i)

+ 3(1 + i)

−1

+ 3(1 + i)

−2

+(20 − 9)(1 + 0.05)

(1 + i)

−(2+6)

= 3 + 3×1.1

−1

+ 3×1.1

−2

+ 11×1.05

×1.1

−8

= 16.083 млн. руб.

Современную ценность 2-го контракта P V

вычисляем по формуле (8.2)

при C = 21 млн. руб., t

= 0, P

= 5, T = 0, N = 10, g = 5%:

P V

= 5(1 + i)

+ (21 − 5)

10; 10%

10; 5%

(1 + i)

= 17.732 млн. руб.

170 8. Некоторые операции с финансовыми контрактами

Второй контракт менее выгоден покупателю, чем первый, однако покупа-

тель может предпочесть его, так как поставка товара по условиям этого

контракта производится немедленно, а по первому контракту — с отсроч-

кой на два года.

Пример 8.4. Сравнить следующие два контракта при ставке сравне-

ния i = 10%.

1-й контракт: Товар стоит 100 000 руб. Делаются два авансовых плате-

жа: первый, равный 20 000 руб.,— в момент заключения контракта; вто-

рой, равный 10 000 руб., — через год после заключения контракта. По-

ставка товара производится после второго авансового платежа. Кредит

выдается на 3 года, считая от момента поставки товара, под 8% годовых

и погашается разовым платежом в конце срока.

2-й контракт: Товар стоит 110 000 руб. Делаются три авансовых пла-

тежа по 10 000 руб.: первый — в момент заключения контракта, второй —

через год после заключения контракта, третий — еще через год. Постав-

ка производится в момент заключения контракта. Кредит выдается на

10 лет, считая от момента поставки товара, под 3% годовых и погашается

равными срочными ежегодными уплатами.

Решение . Найдем современную ценность каждого из контрактов на

момент заключения контракта. Для 1-го контракта P V

вычисляем по

формуле (8.1) при C = 100 000 руб., t

= 0, t

= 1, T = 1, N = 3, g = 8%,

= 20 000, P

= 10 000:

P V

= 20(1 + i)

+ 10(1 + i)

−1

+ 70(1 + 0.08)

(1 + i)

−(1+3)

= 20 + 10×1.1

−1

+ 70×1.08

×1.1

−4

= 89 319 руб.

Современную ценность 2-го контракта P V

вычисляем по формуле (8.2)

при C = 110 000 руб., t

= 0, t

= 1, t

= 2, P

= P

= 10 000, T = 0,

N = 10, g = 3%:

P V

= 10(1 + i)

+ 10(1 + i)

−1

+ 10(1 + i)

−2

+ 80

10; 10%

10; 3%

(1 + i)

= 10×1.1

+ 10×1.1

−1

+ 10×1.1

−2

+ 80×

6.14457

8.53020

= 84 982 руб.

Второй контракт выгоднее для покупателя, несмотря на то, что товар по

этому контракту дороже, чем по первому контракту. Выгода получена за

счет более дешевого кредита.

8.3. Доходность контракта для кредитора 171

8.3. Доходность контракта для кредитора

В предыдущем пункте мы рассказали, как определяется выгодность

контракта с точки зрения покупателя. Теперь рассмотрим способы изме-

рения доходности финансово-кредитной операции для другого участника

контракта — кредитора.

Доход от выдачи кредита кредитор получает в виде процентов от вы-

данной ссуды, комиссионных, дисконта при учете векселей и т. п. Доход-

ность операции обычно измеряется годовой ставкой сложных (реже —

простых) процентов, когда все вложения и доходы рассматриваются как

эквивалентная им ссудная операция. (Иногда применяются и другие по-

казатели доходности.) Эту ставку, как мы видели в п. 3.6, называют эф-

фективной процентной ставкой. Будем обозначать ее i

. Рассмотрим, как

определяется доходность некоторых финансовых операций.

1. Ссуда выдана под простые проценты по ставке i

или под сложные

проценты по ставке j

, или осуществляется учет финансовых документов

(векселей) по простой d

или по сложной d

, или по учетной ставке f

Во всех этих случаях доходность операции определяется эквивалентной

ставкой i

сложных процентов по формулам (3.10), (3.21), (3.25), (3.27),

(3.29), выведенным в п. 3.5.

2. Ссуда в размере P выдана на n лет под простые проценты по годовой

ставке i

. Это означает, что заемщик через n лет должен вернуть сумму

P (1 + ni

). При выдаче ссуды были удержаны комиссионные в размере

G% от суммы кредита, то есть была получена сумма (P −P G). Будущ ая

стоимость этой суммы равна

(P −P G)(1 + i

)

Доходность операции i

определяется из условия равенства возвращаемой

заемщиком суммы и будущей стоимости полученной суммы:

(P − P G)(1 + i

)

= P (1 + ni

Сократив на P и разделив обе части уравнения на 1 − G, получим урав-

нение:

(1 + i

)

1 + ni

1 − G

из которого находим i

1 + ni

1 − G

− 1. (8.3)