Бухвалов А.В. Финансовые вычисления для профессионалов. Настольная книга финансиста

Подождите немного. Документ загружается.

12 Финансовые вычисления для профессионалов

Наш компакт-диск уже сегодня содержит Электронный задачник, кото-

рый является комбинацией методического пособия для студентов и мето-

дического пособия для преподавателей, а также — слайды для преподава-

теля. Студенты и преподаватели найдут с помощью Электронного задач-

ника решения всех упражнений из книги. Однако Электронный задачник

— это не статическая демо-программа. Это реально работающее прило-

жение в Excel. С его помощью преподаватель может для контроля знаний

студентов составить свои собственные задачи с новыми числовыми дан-

ными и получить ответы к составленным задачам. В наших дальнейших

планах создание на базе Excel универсального продукта для решения за-

дач рассмотренных типов и создание генератора задач для преподавателя

с возможностью сохранения этих задач на диске пользователя.

Теперь настало время выразить благодарность В.О. Воронкову, наше-

му соавтору по компакт-диску, который не только является основным ав-

тором Электронного задачника, но — и основным читателем нашей руко-

писи на этапе работы над ней. Он прорешал сам все задачи до одной и

нашел немало ошибок и неточностей в нашем первоначальном изложении.

Что бы еще сообщить читателю? После каждого раздела приве-

дены упражнения для самостоятельного решения. Ответы и указания к

упражнениям даны в конце книги. Решение задач необходимо всем, кто

хочет освоить курс с помощью нашего учебного пособия. Решения всех

задач приведены на компакт-диске.

Наконец, два слова о числовых данных, возникающих в примерах и

упражнениях. Инфляция и скачки валютного курса делают бессмыслен-

ными любые попытки давать правдоподобные значения цен и капиталов в

рублях. Так как наши вычисления не зависят от выбора денежной едини-

цы, то читатель может относиться к нашим

”

рублям“ , как к абстрактному

обозначению денежного измерителя, подставляя в воображении, если ему

так приятнее, доллары, марки или иены.

При ссылках на подразделы и примеры дается двойная нумерация:

сначала указывается номер раздела, а потом указывается номер подраз-

дела или примера: например, п. 3.2.

Благодарности. Первый из авторов выражает свою благодарность

Школе бизнеса им. У. Хааса университета Калифорнии в Беркли, выде-

лившей исследовательский грант, который позволил существенно улуч-

шить методологию написания этого у чебного пособия.

Введение 13

Литература

1. Бухвалов А.В., Идельсон А.В. Самоучитель по финансовым расче-

там. — М.: Мир, Пресс-сервис, 1997. — 176 с .

2. Гарнаев А. Использование MS Excel и VBA в экономике и финансах. —

СПб.: БХВ–Санкт-Петербург, 1999. — 3 36 с.

3. Гуссенс М., Миттельбах Ф., Самарин А. Путеводитель по пакету

X и его расширению L

X 2

. — М.: Мир, 1999. — 606 с.

4. Долженков В.А., Колесников Ю.В. Microsoft Excel 2000. — СПб .:

БХВ–Санкт-Петербург, 1999. — 1088 с.

5. Лукасевич И.Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, тех-

ника вычислений. — М.: Финансы, ЮНИТИ, 1998. — 400 с.

6. Овчаренко Е.К., Ильина О.П., Балыбердин Е.В. Финансово-эконо-

мические расчеты в Excel. — 3-е изд. — М.: ИИД «Филинъ», 1999. — 3 24 с.

7. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. —

2-е изд., испр. и доп. — М.: Дело, 1995. — 320 с.

8. Четыркин Е.М. Финансовый анализ производственных инвестиций. —

М.: Дело, 1998. — 255 с.

9. Четыркин Е.М. Финансовая математика. — М.: Дело, 2000. — 400 с.

10. Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции. Пер. с англ. — М.:

ИНФРА-М, 1997. — XII+1024 с.

Об авторах этой книги

Бухвалов Александр Васильевич

— доктор физико-математических наук (1985, ЛОМИ АН СССР); профес-

сор кафедры теории финансов и руководитель магистратуры по финансо-

вому менеджменту факультета менеджмента С.-Петербургского государ-

ственного университета. Научные работы в области финансовой экономи-

ки, корпоративных финансов, информационных технологий и математи-

ки. Член редколлегии журналов

”

Вестник СПбГУ. Серия менеджмент“ ,

”

Экономическая школа“ и

”

Positivity“ (Kluwer Academic Publishers). Чи-

тает лекционные ку рсы студентам и аспирантам университета, а также

слушателям программ профессиональной переподготовки: «Финансы и

кредит», «Финансовый менеджмент», «Стратегический менеджмент и ре-

альные опционы», «Финансовая экономика», «Риск-менеджмент» и «Тео-

рия финансов и политика корпораций». Читает лекции магистрантам и

аспирантам в ряде западных университетов (Италия, Финляндия).

Бухвалова Вера Вацлавовна

— кандидат физико-математических наук (1995, СПбГУ), доцент кафед-

ры исследования операций математико-механического факультета С.-Петер-

бургского государственного университета. Научные работы в области ис-

следования операций, технологии программирования и вычислительной

геометрии. Под ее руководством студентами выполнены многочисленные

прикладные разработки в области создания программного обеспечения

для различных областей, в частности, для финансовых вычислений. На

CD ROM, прилагающемся к этой книге, содержится одна из таких разра-

боток — Электронный задачник, первая версия которого была дипломной

работой ученика В. Бухваловой — Воронкова Владимира Олеговича, со-

автора в разработке CD ROM.

Идельсон Александр Владимирович

— кандидат физико-математических наук (1965, СПбГУ), доцент кафед-

ры математики С.-Петербургского государственного университета эконо-

мики и финансов. Нау чные работы в области математической логики,

преподавания математики, применения линейного программирования в

задачах производственного планирования. Участник Московского между-

народного конгресса математиков. Прикладные разработки по использо-

ванию математических моделей на уровне предприятия. Автор многочис-

ленных у чебных и методических пособий для абитуриентов и студентов

экономических вузов.

1. Проценты

1.1. Понятие процента

Процентом данного числа называется одна сотая часть этого числа.

Слово

”

процент“ обозначается так: %. Термин

”

процент“ произошел от ла-

тинского pro centum — на сотню, или за сто. В дореволюционной России

процент, полученный за данную в долг или инвестируемую в некоторое

предприятие сумму, называли

”

интересом“ . Это связано с тем, что ис-

пользование процентов удобно для установления платы за кредит и для

сравнения прибыльности различных финансовых операций.

Необходимо различать два понимания термина процент. Во-первых,

процент выступает как процентное число, указывая на часть целой ве-

личины или долю. Такое понятие процента несложно, но широко исполь-

зуется в социально-экономической статистике и законодательной практи-

ке регулирования предпринимательской деятельности. Например, доходы

от налогов составили 78% в общей сумме доходов федерального бюджета

Российской Федерации в 1998 г. (фактическое исполнение). Примером за-

конодательной формулировки являются нормы, определяющие налог на

добавленную стоимость в размере 20% или налог на прибыль корпораций

в размере 35%. Во-вторых, и это основное понимание в данной книге, про-

цент связан с начислением сумм (процентных платежей) за определенные

промежутки времени.

В настоящей главе мы рассмотрим некоторые задачи на процентные

вычисления, связанные с первым пониманием процента.

При процентных вычислениях очень важно отчетливо понимать, какая

величина принята за 100%. Эта величина называется базой. Например,

в упомянутом выше примере с Федеральным бюджетом базой является

сумма бюджета в 302.4 млрд. рублей. Тогда 78% налоговых поступлений

означают, что величина налоговых поступлений составила

302.4×78/100 = 236 млрд. руб.

16 1. Проценты

Не имеет никакого смысла складывать, вычитать или сравнивать ко-

личества процентов, относящиеся к разным базам. Например, если пред-

приятие производит два продукта — A и B, причем продукт A приносит

20% прибыли, а продукт B — 15% прибыли, то совершенно неверно за-

ключить, что от производства этих двух продуктов предприятие получает

35% прибыли, или, что при производстве продукта A оно получит сум-

му денег на 5% большую, чем при производстве продукта B. Подобные

задачи мы рассмотрим далее.

Решим три задачи на процентные числа, на которые мы затем в тексте

этого раздела будем ссылаться как на три основные задачи.

Основная задача 1. Определить число, которое составляет n% от

данного числа A.

Решение . Обозначим искомое число буквой x и запишем условия за-

дачи в следующем виде:

A принято за 100%,

x составляет n%.

Эту запись иногда называют процентной пропорцией, которая может быть

записана так:

100

откуда получаем формулу для вычисления значения числа x:

x =

A×n

100

. (1.1)

Основная задача 2. Определить число, n% которого равны данному

числу A.

Решение . Обозначим искомое число буквой x и запишем условия за-

дачи в виде процентной пропорции:

x принято за 100%,

A составляет n%.

Имеет место следующая пропорция:

100

1.2. Примеры задач на процентные числа 17

откуда получаем формулу для вычисления значения числа x:

x =

A×100

. (1.2)

Основная задача 3. Определить, сколько процентов от числа B

составляет число A.

Решение . Обозначим искомое число процентов буквой x и запишем

условия задачи в виде процентной пропорции:

B принято за 100%,

A составляет x%.

Имеет место следующая пропорция:

100

откуда получаем формулу для вычисления значения числа x:

x =

×100% . (1.3)

При решении примеров на процентные расчеты постоянно приходится

решать какие-нибудь из этих трех основных задач.

1.2. Примеры задач на процентные числа

Пример 1.1. Продавец продал имеющуюся партию куриных окороч-

ков за 1 200 руб. В этой сумме прибыль составляет 20%. Какую сумму

прибыли получил продавец?

Решение . Обозначим буквой x размер прибыли и запишем условия

задачи в виде процентной пропорции:

1 200 ру б. составляют 100%,

x руб. составляют 20%.

Это основная задача 1. Согласно формуле (1.1), вычисляем:

x =

1 200×20

100

= 240 руб.

18 1. Проценты

Пример 1.2. Продавец продал 180 кг куриного филе, что составило

60% всего закупленного им филе. Сколько филе он закупил?

Решение . Обозначим буквой x количество закупленного филе и запи-

шем условие задачи в виде процентной пропорции:

x кг составляют 100%,

180 кг составляют 60%.

Это основная задача 2. Находим значение x по формуле (1.2):

x =

180×100

= 300 кг.

Пример 1.3. Продавец закупил 210 кг куриных окорочков и продал

70 кг. Сколько процентов купленных окорочков он продал?

Решение . Обозначим буквой x искомое число процентов и запишем

условие задачи в виде процентной пропорции:

210 кг составляют 100%,

70 кг составляют x%.

Это основная задача 3. Значение x находим по формуле (1.3):

x =

210

×100% = 33

Рассмотрим более сложные примеры.

Пример 1.4. Продавец купил партию окорочков за 800 руб. и партию

филе за 600 руб. Он продал весь товар, получив от продажи окорочков

20% прибыли, а от продажи филе 15% прибыли. Сколько процентов при-

были получил продавец от продажи всего товара?

Решение . Продавец затратил на покупку всего товара

800 + 600 = 1 400 руб.

Вычислим сумму денег, полученную продавцом в качестве прибыли. Со-

гласно формуле (1.1), он получил от продажи окорочков

800×0.20 = 160 руб.,

1.2. Примеры задач на процентные числа 19

а от продажи филе 600×0.15 = 90 руб. прибыли. Всего он получил

160 + 90 = 250 руб.

Требуется определить, сколько процентов составляет число 250 от чис-

ла 1 400. Обозначим искомое число процентов буквой x и найдем его зна-

чение по формуле (1.3):

x =

250

1 400

×100% = 17

Пример 1.5. Вычислим, на сколько процентов прибыль, полученная

продавцом из примера 1.4 от продажи партии окорочков, больше, чем

прибыль, полученная им от продажи филе.

Решение . Мы уже нашли, что прибыль продавца от продажи окороч-

ков равна 160 руб., а от продажи филе — 90 руб. Надо найти на сколько

процентов число 160 больше числа 90. Базой (100%) в этом случае являет-

ся число 90. Вычислим, сколько процентов составляет число 160 от числа

90. Обозначим искомое число процентов буквой x. По формуле (1.3):

x =

160

×100% = 177

Следовательно, сумма прибыли, полученная от продажи окорочков, на

% больше, чем сумма прибыли, полученной от продажи филе.

Пример 1.6. Вычислим, на сколько процентов прибыль, полученная

продавцом из примера 1.4 от продажи филе, меньше, чем прибыль, полу-

ченная им от продажи партии окорочков.

Решение . В этом случае надо найти, на сколько процентов число 90

меньше числа 160. В этом примере базой (100%) является число 160. Вы-

числим, сколько процентов составляет число 90 от числа 160. Обозначим

искомое число процентов буквой x и найдем по формуле (1.3):

x =

160

×100% = 56.25%.

Следовательно, сумма прибыли, полученной от продажи филе, на 43.75%

меньше, чем сумма прибыли, полученной от продажи окорочков.

20 1. Проценты

Пример 1.7. Продавец из примера 1.4 купил партии окорочков и фи-

ле за 800 руб. каждую и затем продал. Вычислим на сколько процентов

прибыль, полученная от продажи окорочков, больше, чем прибыль, полу-

ченная от продажи филе.

Решение . При решении примера 1.4 мы вычислили, что прибыль, по-

лученная продавцов от продажи окорочков, равна 160 руб. Прибыль от

продажи филе равна

800×0.15 = 120 руб.

Найдем сколько процентов составляет число 160 от числа 120. Обозначим

это число процентов буквой x и применим формулу (1.3):

x =

160

120

×100% = 133

Следовательно, прибыль, полученная от продажи окорочков, на 33

больше, чем прибыль от продажи филе.

При процентных расчетах нередко допускаются ошибки, связанные с

начислением сложного процента. Это понятие будет подробно рассмат-

риваться в третьем и последующих разделах. Здесь мы разберем только

решение нескольких примеров, связанных с ним.

Пример 1.8. Некоторый товар подорожал в январе на 10% и в фев-

рале еще на 10%. Вычислим, на сколько процентов подорожал товар за

два месяца.

Решение . Первоначальную цену товара примем за 100%. После первого

повышения она стала равна

100% + 100%×0.1 = 110%.

При втором повышении эта новая цена увеличится на 10%, то есть на

110%×0.1 = 11% от первоначальной цены. Таким образом, цена через два

месяца составит

110% + 11% = 121%

от первоначальной цены. Следовательно, цена товара за два месяца по-

высилась на 21%.

Замечание. Распространенная ошибка — просто сложить проценты:

10% + 10% = 20%.

При этом складывают проценты, начисленные на разные базы.

1.2. Примеры задач на процентные числа 21

Пример 1.9. Цена товара уменьшилась в результате двух снижений

цены на одно и тоже число процентов с 800 руб. до 512 руб. Определим,

на сколько процентов снижалась цена каждый раз.

Решение . Обозначим искомое число процентов буквой x. Первое сни-

жение равно

800×

100

руб.,

после чего цена стала равна

800 − 800×

100

= 800



1 −

100



руб.

Эта новая цена снизилась при втором снижении на

800



1 −

100



100

руб.

и стала равна:

800



1 −

100



− 800



1 −

100



100

= 800



1 −

100



По условию задачи эта цена равна 512, то есть искомое число процен-

тов x является корнем уравнения:

800



1 −

100



= 512, откуда



1 −

100



= 0.64.

Так как снижение цены не может произойти более, чем на 100%, то

x ≤ 100, откуда 1 −

100

≥ 0,

поэтому последнее уравнение равносильно уравнению:

1 −

100

= 0.8, откуда x = 20%.

При решении этой задачи, конечно, можно применить формулу слож-

ных процентов из раздела 3.

Замечание. Распространенная ошибка при решении этой задачи состо-

ит в следующем. Вычисляют общее снижение цены за два раза:

800 − 512 = 288 ру б.