Бухвалов А.В. Финансовые вычисления для профессионалов. Настольная книга финансиста

Подождите немного. Документ загружается.

52 3. Сложные проценты

Этот факт дает основание применять так называемое непрерывное на-

числение процентов по годовой ставке δ. Наращенная за время t сумма

определяется формулой:

S = P e

δt

. (3.5)

Процентная ставка δ в этом случае называется силой роста. Иногда силу

роста обозначают j

∞

. Значение e

для разных значений x можно найти

по таблице или вычислить по разложению e

в степенной ряд:

= 1 +

+ . . . .

Пример 3.6. Решить пример 3.1, если банк начисляет j

∞

= 8%.

Решение . Применяя формулу (3.5) при P = 20 000, δ = j

∞

= 0.08,

t = 5, находим наращенную сумму:

S = 20 000 e

0.08×5

= 20 000 e

0.4

= 20 000×1.49182 = 29 836.49 руб.

Сравнивая полученный результат с результатом примера 3.2, видим,

что сумма, полученная при непрерывном начислении процентов, лишь

немного больше су ммы, полученной при применении ставки j

Из формулы (3.5) непосредственно следует формула дисконтирования

капитала при непрерывном начислении процентов:

P = Se

−δt

. (3.6)

3.4. Учет векселей по сложной учетной ставке

Операция банковского учета, рассмотренная в п. 2.6, иногда произво-

дится по сложной учетной ставке d

, начисляемой один раз в год, или по

сложной учетной ставке f

, которая начисляется m раз в год в размере

/m%. В этих случаях сумма денег P , выплачиваемая банком за вексель

на сумму S, вычисляется по формулам:

P = S(1 − d

)

, (3.7)

P = S



1 −



, (3.8)

где t — величина промежутка времени от момента учета векселя до срока

его выкупа (в годах).

3.5. Эквивалентность процентных ставок 53

Пример 3.7. Вексель выдан на 10 000 руб. с уплатой 15 октября. Вла-

делец документа погасил его в банке 15 августа того же года по сложной

учетной ставке 10%. Сколько он получил? Сколько получит владелец до-

кумента, если срок уплаты по нему 15 октября следующего года?

Решение . Число дней между 15 августа и 15 октября равно 60. При-

меняем формулу (3.7) при S = 10 000, d

= 0.1, t = 60/360 = 1/6 = 0.1(6):

P = 10 000×(1 − 0.1)

0.1(6)

= 0.982593×10 000 = 9 825.93 руб.

Число дней между 15 августа и 15 октября следующего года равно

360 + 60 = 420 дней, то есть t = 420/360 = 7/6 = 1.1(6):

P = 10 000×(1 − 0.1)

1.1(6)

= 0.8843338×10 000 = 8 843.34 руб.

Сравнивая результат этого примера с результатом примера 2.10, мы

замечаем, что если срок от момента учета до момента выкупа векселя

меньше года, то учет по сложной ставке выгоднее для банка, чем по про-

стой ставке, а если этот срок больше года, то банку выгоднее учет по

простой ставке.

3.5. Эквивалентность процентных ставок

При заключении финансовых контрактов каждый участник сделки

стремится заключить контракт на наиболее выгодных для себя условиях.

Условия контракта могут быть различными, и надо иметь возможность

сравнивать контракты. При этом различные контракты могут предусмат-

ривать различные виды начисления процентов, и для сравнения таких

контрактов надо разработать способы приведения различных процентных

ставок к одному виду. Для этой цели вводятся понятия: эквивалентность

процентных ставок и эффективная процентная с тавка.

Мы познакомились с семью видами процентных ставок, применяемых

в финансовых расчетах: простые и сложные проценты, начисляемые один

раз в год (обозначим их i

и i

); годовая ставка j

, по которой m раз в

год начисляется j

/m сложных процентов; ставка непрерывных процен-

тов (сила роста δ); простая и сложная учетные ставки d

и d

и учетная

ставка f

, начисляемая m раз в году. Напомним формулы для вычисле-

ния наращенной суммы S для всех семи видов процентных ставок:

(1) S = P (1 + ti

54 3. Сложные проценты

(2) S = P (1 + i

)

(3) S = P



1 +



(4) S = P e

δt

(5) S =

1 − td

(6) S =

(1 − d

)

(7) S =



1 −



В этих формулах t есть число лет (оно может быть дробным).

Две процентные ставки называют эквивалентными, если применение

их к одинаковым суммам в течение одинаковых промежутков времени

дает одинаковые наращенные суммы.

Приравнивая правые части каких-либо двух из приведенных выше се-

ми формул и выражая из этого равенства одну процентную ставку че-

рез другую, мы получаем условие эквивалентности соответствующих про-

центных ставок за t лет. Таких равенств можно составить 21 и, следова-

тельно, получить 42 выражения одной из процентных ставок через экви-

валентную ей другую процентную ставку. Приведем все эти выражения.

Приравнивая правые части формул (1) и (2), получим уравнение:

P (1 + ti

) = P (1 + i

)

решая которое относительно i

и i

, получим условия эквивалентности

этих ставок:

(1 + i

)

− 1

, (3.9)

√

1 + ti

− 1. (3.10)

Заметим, что в обоих случаях величина эквивалентной процентной ставки

зависит от t — числа лет, в течение которых применяются эти ставки.

3.5. Эквивалентность процентных ставок 55

Из формул (1) и (3) получаем условия эквивалентности i

и j



1 +



−1

, (3.11)

= m(

√

1 + ti

− 1). (3.12)

Из формул (1), (4) получаем условия эквивалентности i

и δ :

δt

− 1

, (3.13)

δ =

ln(1 + ti

)

. (3.14)

Из формул (1), (5) получаем условия эквивалентности i

и d

1 − td

, (3.15)

1 + ti

. (3.16)

Из формул (1), (6) получаем условия эквивалентности i

и d

(1 − d

)

−t

− 1

, (3.17)

= 1 −

√

1 + ti

. (3.18)

Из формул (1), (7) получаем условия эквивалентности i

и f



1 −



−tm

− 1

(3.19)

= m



1 −

√

1 + ti



. (3.20)

Из формул (2), (3) получаем условия эквивалентности i

и j



1 +



− 1, (3.21)

= m(

√

1 + i

−1). (3.22)

56 3. Сложные проценты

Заметим, что эквивалентность ставки сложных процентов i

и ставки

не зависит от числа лет t начисления процентов, то есть можно гово-

рить, что формулы (3.21) и (3.22) устанавливают эквивалентность ставок

и j

, не упоминая число лет t. Такая же независимость эквивалент-

ности от числа лет начисления процентов имеет место для ставок i

и δ

(формулы (3.23) и (3.24)), для ставок i

и d

(формулы (3.27) и (3.28)),

для ставок i

и f

(формулы (3.29) и (3.30)), для ставок j

и δ (формулы

(3.31) и (3.32)), для ставок j

и d

(формулы (3.35) и (3.36)), для ставок

и f

(формулы (3.37) и (3.38)), для ставок δ и d

(формулы (3.41) и

(3.42)), для ставок δ и f

(формулы (3.43) и (3.44)), для ставок d

и f

(формулы (3.49) и (3.50)). Эти формулы приведены ниже.

Из формул (2), (4) получаем условия эквивалентности i

и δ :

= e

− 1, (3.23)

δ = ln (1 + i

). (3.24)

Из формул (2), (5) получаем условия эквивалентности i

и d

√

1 − td

− 1, (3.25)

1 − (1 + i

)

−t

. (3.26)

Из формул (2), (6) получаем условия эквивалентности i

и d

1 − d

, (3.27)

1 + i

. (3.28)

Из формул (2), (7) получаем условия эквивалентности i

и f



1 −



− 1, (3.29)

= m



1 −

√

1 + i



. (3.30)

Из формул (3), (4) получаем условия эквивалентности j

и δ :

= m(

√

− 1), (3.31)

δ = m ln



1 +



. (3.32)

3.5. Эквивалентность процентных ставок 57

Из формул (3), (5) получаем условия эквивалентности j

и d

= m



√

1 − td

− 1



, (3.33)

1 −



1 +



−tm

. (3.34)

Из формул (3), (6) получаем условия эквивалентности j

и d

= m



√

1 − d

− 1



, (3.35)

= 1 −



1 +



. (3.36)

Из формул (3), (7) получаем условия эквивалентности j

и f

1 −

, (3.37)

1 +

. (3.38)

Из формул (4), (5) получаем условия эквивалентности δ и d

δ = −

ln(1 − td

)

, (3.39)

1 − e

−δt

. (3.40)

Из формул (4), (6) получаем условия эквивалентности δ и d

δ = −ln (1 − d

), (3.41)

= 1 − e

−δ

. (3.42)

Из формул (4), (7) получаем условия эквивалентности δ и f

δ = −m ln



1 −



, (3.43)

= m(1 − e

−

). (3.44)

58 3. Сложные проценты

Из формул (5), (6) получаем условия эквивалентности d

и d

1 − (1 − d

)

, (3.45)

= 1 −

1 − td

. (3.46)

Из формул (5), (7) получаем условия эквивалентности d

и f

1 −



1 −



, (3.47)

= m(1 −

1 − td

). (3.48)

Из формул (6), (7) получаем условия эквивалентности d

и f

= 1 −



1 −



, (3.49)

= m



1 −

1 − d



. (3.50)

Вычисление эквивалентных ставок применяется при изменении усло-

вий контракта. Рассмотрим примеры.

Пример 3.8. Кредит предоставляется под 5% сложных годовых сро-

ком на 8 лет. Субъект, берущий этот кредит, хочет получить его под про-

стые проценты (ту же сумму на тот же срок). Какая ставка простых про-

центов должна быть предусмотрена контрактом?

Решение . Надо определить ставку i

, эквивалентную ставке i

за во-

семь лет. По формуле (3.9) имеем:

(1 + 0.05)

− 1

= 0.05969 = 5.97% ,

то есть следует предоставить кредит под 5.97% простых.

Пример 3.9. Банк, выплачивающий на депозиты 7% сложных годо-

вых, хочет перейти к начислению непрерывных процентов. Какую годо-

вую ставку начисления непрерывных процентов (силу роста) δ должен

установить банк, чтобы доходы вкладчиков остались без изменения?

3.6. Эффективная процентная ставка 59

Решение . Требуется определить силу роста δ, эквивалентную ставке i

сложных процентов. По формуле (3.24) получаем:

δ = ln(1 + i

) = ln(1 + 0.07) = 0.0677 = 6.77%

3.6. Эффективная процентная ставка

Эффективной процентной ставкой, соответствующей данной процен-

тной ставке, называется ставка сложных процентов i

, эквивалентная дан-

ной процентной ставке и не зависящая от срока применения этой ставки.

Как следует из п. 3.5, эффективные процентные ставки существуют

только для ставок j

, δ, d

, f

. Они определяются по формулам (3.21),

(3.23), (3.27) и (3.29). Вычисление эффективной процентной ставки при-

меняется для определения реальной доходности финансовой операции.

Эта доходность определяется соответствующей эффективной процентной

ставкой. Рассмотрим примеры.

Пример 3.10. Банк выплачивает по вкладам 10% годовых (сложных).

Какова реальная доходность вкладов в этом банке при следующих видах

начисления процентов: а) ежемесячно, б) ежеквартально, в) по полугоди-

ям, г) непрерывно?

Решение . Для того чтобы определить реальную доходность вкладов

в банк, надо найти эффективную процентную ставку i

при: а) j

0.1/12 , б) j

= 0.1/4 , в) j

= 0.1/2 , г) δ = 0.1. Применим теперь соответ-

ствующие формулы:

а) по формуле (3.21) получаем:

= (1 + 0.1/12)

− 1 = 0.1047 = 10.47% ;

б) по формуле (3.21) получаем:

= (1 + 0.1/4)

− 1 = 0.1038 = 10.38% ;

в) по формуле (3.21) получаем:

= (1 + 0.1/2)

− 1 = 0.1025 = 10.25% ;

г) по формуле (3.23) получаем:

= e

0.1

− 1 = 0.1052 = 10.52% .

60 3. Сложные проценты

Доходность финансовых операций в более сложных случаях будет рас-

смотрена в разделе 7.6.

3.7. Финансовые пирамиды

Горький опыт, а также либерализация бан-

ковского дела заставили людей пересмот-

реть свои иллюзии немедленного обогащения

с помощью пирамид, и но вый их всплеск те-

перь крайне маловероятен. Замечу, кстати,

что само по себе строительство

”

пирамид“

типа МММ вовсе не было

”

уголовщиной“ <

. . . >. Никто никого насильно не тащил . . .

Б.Львин — сотрудник Российской дирекции

Мирового банка.

О финансовых пирамидах (ФП) слышали все, и все знают, что прини-

мать в них участие опасно. Но когда мы узнаем о том, что наши знакомые

(неглупые люди!) куда-то вложили свои деньги под высокий пр оцент и вот

уже несколько раз этот процент получили, у нас возникает непреодолимое

желание тоже поучаствовать в этом. Мы знаем, что долго такое продол-

жаться не может, но надеемся, что успеем и процент получить и денежки

свои забрать вовремя. Но одной такой слепой надежды мало, лучше, если

мы сможем подкрепить ее хотя бы простейшим финансовым анализом.

Поэтому давайте попробуем разобраться с тем, что такое ФП, используя

две ее простейшие модели.

Организаторов ФП интересует, какую максимальную сумму денег мож-

но заработать и за какое время. А того, кто готов рискнуть, вложив свои

деньги в ФП, интересует, в какой период времени это можно сделать так,

чтобы не только вернуть свои деньги, но и получить дополнительный до-

ход.

Ответы на все эти вопросы зависят прежде всего от того, какое пред-

положение сделано о поступлении новых денег. М ы рассмотрим только

два простейших случая: стационарное поступление и рост поступления в

геометрической прогрессии. Заметим, что в литературе утверждается, что

обычно ФП живет полтора года. Правда, ФП в Албании просуществовали

4 года, но тому были особые политические причины.

3.7. Финансовые пирамиды 61

Для начала рассмотрим самый простой случай. Предположим, что ор-

ганизована финансовая контора по сбору денег, которая принимает (вер-

нее занимает) деньги под 25% в месяц. Предположим также, что основ-

ная сумма вклада не может быть возвращена раньше, чем через 4 месяца

(за этот срок сумма вклада должна удвоиться). Цифра 25% абсолютно

условна, хотя именно такой процент был у ФП в Албании. Предположим

также, что каждый месяц клиенты ФП будут приносить примерно одина-

ковую сумму денег — m. Так как организаторы намерены только собирать

деньги, то встает вопрос: за сколько месяцев будет собрана максимально

возможную сумма?

Обозначим M

— сумму денег, которая будет у организаторов через t

месяцев. Выпишем значения этой суммы за первые 6 месяцев:

= m,

= m +

m =

= m +

m +

m =

= m +

m +

m =

= m +

m +

m + 0 =

= m +

m +

m + 0 −

m =

Из формул видно, что трудиться имеет смысл только 4 месяца, так

как в 5-ом месяце все вновь принесенные деньги пойдут на уплату про-

центов, а потом этих денег уже не будет хватать на это.

Получим теперь тот же результат из других соображений. Обозначим

— сумму, на которую увеличиваются собранные деньги в месяце t. Эта

сумма равна разности между вновь принесенными деньгами и процент-

ными выплатами за предыдущие (t −1) месяцев:

= m −

×m(t − 1). (3.51)

Из формулы (3.51) следует, что числа s

образуют арифметическую про-

грессию с первым членом, равным m, и разностью, равной −

Условием, при выполнении которого разумно продолжать деятель-

ность в t-ом месяце, является выполнение неравенства s

> 0. Оно озна-

чает, что от вновь поступивших денег хоть что-то остается после уплаты

процентов. Решая неравенство s

> 0 относительно t, получаем: t < 5.

Это совпадает с полученным ранее результатом: надо работать 4 месяца.

Предположим теперь, что процентная ставка в месяц равна β. В этом