Бухвалов А.В. Финансовые вычисления для профессионалов. Настольная книга финансиста

Подождите немного. Документ загружается.

62 3. Сложные проценты

случае условие продолжения деятельности s

> 0 принимает вид:

m − β×m(t − 1) > 0.

Решая последнее неравенство относительно t, получаем:

t < 1 +

, (3.52)

что подтверждает и так понятный нам факт: чем меньший процент платят

организаторы, тем дольше они могут работать с пользой для себя.

Предположим, что

— целое число, тогда при t = 1 +

имеем s

= 0.

Максимальный доход можно вычислить как сумму t =

членов арифме-

тической прогрессии с первым членом, равным m, и с разностью, равной

−βm:

+ s

t =

×(1 +

Рассмотрим в качестве примера β = 0.05. Это соответствует примерно

80% в год. Ставки, которые предлагают коммерческие банки существен-

но меньше, так что 5% в месяц вполне смогут привлечь вкладчиков. Из

неравенства (3.52) вытекает, что, если организаторами ФП раньше не за-

интересуются правоохранительные органы, им следует работать 20(!) ме-

сяцев. При этом все это время будет исправно выплачиваться обещанный

клиентам процент. За это время организаторы ФП соберут приличную

сумму денег:

×21 = 10.5m.

Что касается вкладчиков, то полностью вернут свои деньги только те,

кто принесет их в первом месяце существования пирамиды, да и то при

условии, что ФП просуществует 20 месяцев. Те же, кто принесет свои день-

ги позднее, уже не успеют их вернуть, так как на возврат денег требуется

все те же 20 месяцев.

А теперь рассмотрим другой вариант поведения вкладчиков. Вспом-

ним, как было с реальными ФП: после нескольких месяцев выплат про-

центов число вкладчиков начинало резко расти.

Предположим теперь, что число вкладчиков, а следовательно и новых

денег, растет в геометрической прогрессии со знаменателем α > 1. Это

означает, что в месяце t будет получено α

t−1

m новых денег.

Как и в ранее рассмотренном случае, деятельность по сбору денег

надо продолжать в месяце t , если от вновь приносимых денег хоть что-то

остается нам после выплаты процентов:

3.7. Финансовые пирамиды 63

t−1

m − βm

t−2

i=0

> 0.

Применив формулу для суммы геометрической прогрессии:

t−2

i=0

t−1

− 1

α −1

преобразуем последнее неравенство:

t−1

m − βm

t−1

− 1

α − 1

> 0.

Так как α > 1 и t > 1, то α

t−1

> 1 при всех t. Преобразуем последнее

неравенство к виду более удобному для последующего анализа, разделив

обе его части на α

t−1

− 1:

t−1

−1

α −1

− 1. (3.53)

Левая часть неравенства (3.53) всегда положительна. Знак правой части

зависит от соотношения между величинами α и β. Отсюда возможны

два случая.

Если β < α − 1 (процент прироста поступления денег за один период

больше выплачиваемого процента), то

α−1

− 1 < 0, и неравенство (3.53)

будет выполняться при любом t. Это означает, что сумма собранных денег

будет возрастать, пока верно сделанное предположение.

Если β > α −1 (процент прироста поступления денег за месяц меньше

выплачиваемого процента), то

α−1

− 1 > 0, и при больших t неравенство

(3.53) не будет выполняться. Еще раз преобразуем неравенство (3.53):

t−1

β − α − 1

и, прологарифмировав, найдем значения t, при которых оно будет выпол-

нено:

t < 1 +

β−α−1

ln α

. (3.54)

Далее приведена таблица, в которой содержатся вычисленные по форму-

ле (3.54) длины периодов возрастания собранных сумм денег t

max

для

некоторых значений α и β.

64 3. Сложные проценты

α β t

max

1.05 0.25 5

1.10 0.25 6

1.20 0.25 9

1.24 0.25 15

1.01 0.05 23

Понятно, что деньги, собранные за несколько месяцев, складываются

из денег, собранных за предыдущие месяцы, плюс деньги, которые оста-

лись от денег, принесенных в текущем месяце, после уплаты процентов,

то есть верны следующие рекуррентные соотношения:

= m,

= M

+ αm − βm,

= M

+ α

m − β(1 + α)m,

= M

t−1

+ α

t−1

m − β(1 + α + α

+ . . . + α

t−2

)m.

(3.55)

Как и раньше, обозначим s

— сумму, на которую в месяце t уве-

личиваются собранные деньги. Эта сумма равна разности между вновь

принесенными деньгами α

t−1

m и процентными выплатами по вкладам за

предыдущие месяцы:

= m,

= α

t−1

m − β(1 + α + α

+ . . . + α

t−2

)m, при t > 1.

Обозначим δ

= s

t−1

− s

(t ≥ 2). Покажем, что числа δ

образуют

геометрическую прогрессию со знаменателем α и δ

= γm, где

γ = 1 + β − α.

Действительно, имеем:

t−1

− s

= α

t−2

m − βm

t−3

i=0

− α

t−1

m + βm

t−2

i=0

= α

t−2

m − α

t−1

m + βmα

t−2

= (1 + β − α)α

t−2

m = γα

t−2

Упражнения 65

Теперь мы можем переписать рекуррентные соотношения (3.55) в фор-

ме, удобной для вычислений:

= m; M

= s

;

= γm; s

= s

− δ

; M

= M

+ s

;

= δ

α; s

= s

− δ

; M

= M

+ s

;

= δ

t−1

α; s

= s

t−1

− δ

; M

= M

t−1

+ s

(3.56)

Используя формулы (3.56), проверим, что при α = 1.20 и β = 0.25

максимальная сумма денег будет собрана за 9 месяцев. Не умаляя общно-

сти, мы будем считать, что m = 1. Ниже приведена таблица, по которой

можно проследить, как меняется по месяцам сумма собранных денег M

Из нее видно, что за 9 месяцев можно собрать примерно 6.1m и что далее

эта сумма начинает убывать:

t δ

1 1.00 1.00

2 0.05 0.95 1.95

3 0.06 0.89 2.84

4 0.07 0.82 3.66

5 0.09 0.73 4.39

6 0.10 0.63 5.02

7 0.12 0.51 5.53

8 0.14 0.37 5.90

9 0.17 0.20 6.10

10 0.21 -0.01 6.09

Мы оставляем любознательному читателю возможность самому вы-

полнить подобные расчеты для других моделей поведения клиентов и

надеемся, что он воспримет этот рассказ про финансовые пирамиды не

как инструкцию для их создания, а как предостережение от бездумного

участия в них.

66 3. Сложные проценты

Упражнения

1. Предприниматель положил 8 000 руб. в банк, выплачивающий 6% годовых

(сложных). Какая сумма будет на счете этого клиента: а) через 1 год,

б) через 8 месяцев, в) через 4 года, г) через 6 лет 6 месяцев?

2. Решить упражнение 1, если банк начисляет проценты по ставке j

= 6%.

3. Владелец мастерской может вложить деньги в банк, выплачивающий про-

центы по ставке j

= 1 0%. Какую сумму он должен вложить, чтобы полу-

чить 20 000 руб. через 3 года 3 месяца?

4. Фермер хочет вложить 30 000 руб., чтобы через 5 лет получить 40 000 руб.

Под какую процентную ставку j

он должен вложить свои деньги?

5. Через сколько лет 1 руб., вложенный в банк, выплачивающий проценты

по ставке j

= 1 0% прев ратится в 1 000 000 руб.?

6. Клиент в ложил в банк 1 000 руб. Какая сумма будет на счете этого клиента

через 1 г од, ес ли банк начисляет про центы по ставке: а) j

= 5%, б) j

5%, в) j

= 5%, г) j

360

= 5 %, д) j

∞

= 5 %?

7. Какая сумма будет на счете клиента из предыдуще г о примера при условии

д) через 8 лет?

8. Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий непрерывные про-

центы по ставке j

∞

= 7%, чтобы через 10 лет на счете было 5 000 руб.?

9. Банк начислял на вложенные в него деньг и проценты непрерывно по с тав-

ке: в 1990 г. — 12%, в 1991 г. — 18%, в 1992 и 1993 гг. — 24%. Какая сумма

будет на счет е 31 декабря 1993 года, если 1 января 199 0 года на этот счет

было положено 3 000 руб.?

10. Г-н Петров имеет вексель на 15 000 руб., который он хочет учесть 1 мар-

та те ку щего года в банке по сложной учетной ставке, равной 7%. Какую

сумму он получит, если срок векселя: а) 1 июля того же года, б ) 1 июля

следующего года? Сравнит е этот результат с результатом упражнения 11

из раздела 2.

11. Банк выдает ссуду на 10 лет или под 7% годовых (сложных), или под

простые проценты. Какую ставку простых процентов должен установить

банк, чтобы полученный им доход не изменился?

12. Какую ставку сложных процентов должен установить банк из предыду-

щего упражнения, если он вы дает ссуду под 7% простых годовых?

13. Определить ставку сложных процентов i

, эквивалентную ставке: а) j

10%, б) j

= 1 0%, в) j

= 10%, г) j

∞

= 10%.

14. Банк выплачивает на вложенные в него деньги 8% годовых (сложных).

Какую ставку j

должен установить банк, чтобы доходы клиентов не из-

менились, если: а) m = 2, б) m = 6, в) m = 12, г) m = ∞?

Упражнения 67

15. Банк начисляет на вложенные в него деньги проценты по ставке j

= 6 % и

собирается перейти к непрерывному начислению процентов. Какую силу

роста должен установить банк, что бы доходы клиентов не изменились?

16. Банк учитывает вексель за 60 дней до срока его оплаты по простой учетной

ставке d

= 6 %. Какую сложную учетную ставку должен установить банк,

чтобы доход банка не изменился?

17. Банк учитывает вексель по учетной ставке f

= 8% и желает перейти к

сложной учетной ставке d

. Какой величины должна быть ставка d

, чтобы

доход банка не изменился?

18. Банк учитывает векселя по сложной учетной ставке d

= 6%. По какой

учетной ставке f

этот банк должен учит ывать векселя, чтоб ы доход бан-

ка не изменился, если: а) m = 2, б) m = 4, в) m = 12?

19. Банк выплачивает по вкладам 6% годовых (сложных). Какова реальная

доходность вкладо в в этот банк, если начисление процентов делае тся: а) по

полугодиям, б) поквартально, в) ежемесячно, г) непрерывно?

20. Банк учитывает векселя по сложной учетной ставке d

= 8%. Какова ре-

альная доходность этой операции?

21. Банк учитывает векселя по сложной учетной ставке f

= 8%. Какова ре-

альная доходность этой операции?

4. Амортизация

4.1. Амортизационные отчисления

Расчет амортизационных отчислений на предприятии служит несколь-

ким различным целям: (1) вычислению подлежащей налогообложению

прибыли — амортизационные отчисления относятся на себестоимость про-

дукции и, тем самым, уменьшают сумму налога; (2) вычислению прибыли

акционерной компании, используемой для выплаты дивидендов по обык-

новенным акциям; (3) накоплению собственных средств для инвестиций

в расширение и модернизацию производства; (4) определению балансовой

стоимости имущества.

Каждая из данных целей анализируется в учебниках по корпоратив-

ным финансам; многое закреплено законодательными актами, регулиру-

ющими бухгалтерский учет на предприятии. Так как налог с прибыли

предприятий является одной из основных статей формирования государ-

ственного бюджета, то (1) регулируется законодательством. Законода-

тель может предусмотреть различные схемы амортизационных отчисле-

ний. Наиболее простой является схема равномерной амортизации: если

предприятие купило в данном году оборудование, то оно списывает его

стоимость на затраты равными суммами в течение нормативного перио-

да. В условиях инфляции равномерная амортизация приведет со временем

к существенному занижению себестоимости продукции (так как списыва-

ется номинальная стоимость покупки оборудования без индексации ее),

а это приведет к завышению суммы налога с предприятия. Поэтому в

условиях инфляции предприятию выгодна ускоренная амортизация, ко-

гда амортизационные отчисления в первые годы большие и уменьшаются

со временем. Ускоренная амортизация позволяет стимулировать быструю

обновляемость оборудования, а это опять же позволит снизить себестои-

мость продукции, повысить ее конкурентоспособность на рынке.

Рассмотрим процесс уменьшения балансовой стоимости имущества, то

есть амортизации. Машины, оборудование, здания и другое имущество

4.2. Равномерная амортизация 69

(основной капитал) имеет определенный нормативами срок службы. Сто-

имость этого имущества, зафиксированная в учетных документах, умень-

шается за время срока службы до нуля или обычно до некоторой остаточ-

ной стоимости. Законодательство, как правило, оговаривает фиксирован-

ную остаточную стоимость, так как имущество, не имеющее стоимости,

может быть безнаказанно расхищено или уничтожено. Суммы, на кото-

рые уменьшается стоимость имущества, называются амортизационными

отчислениями. Обратимся к способам расчета амортизационных отчис-

лений.

4.2. Равномерная амортизация

Наиболее простым является равномерное или линейное уменьшение

стоимости, то есть уменьшение ее ежегодно на один и тот же процент ее

первоначальной величины, а, следовательно, на одну и ту же сумму.

Если срок службы имущества равен n годам и первоначальная стои-

мость его S, то ежегодно стоимость у меньшается на (100/n)%, то есть, на

S/n. Таким образом, величина ежегодных амортизационных отчислений

равна S/n. Стоимость имущества в конце k -го года S

вычисляется по

формуле:

= S − k

, (4.1)

где k = 1, . . . , n . По годам эти величины таковы:

= S −

, S

= S − 2

, . . . , S

= S − n

= 0 .

Эти числа образуют арифметическую прогрессию, разность которой рав-

на (−S/n). Рассмотрим пример.

Пример 4.1. Строительная фирма приобрела станок за 58 000 руб.

Срок службы этого станка 8 лет. Составим таблицу амортизационных от-

числений, если остаточная стоимость станка через 8 лет равна 4 000 руб.

Решение . Формула (4.1) получена нами при условии, что стоимость

имущества к концу срока службы уменьшается до нуля. Чтобы применить

эту формулу при ненулевой остаточной стоимости, будем снижать до нуля

разность между первоначальной стоимостью имущества и его остаточной

стоимостью:

58 000 − 4 000 = 54 000 руб.

70 4. Амортизация

Ежегодно стоимость снижается на (100/8)%, то есть на 12.5%. Следова-

тельно, ежегодные амортизационные отчисления равны

54 000×0.125 = 6750 руб.

Построим таблицу изменения остаточной стоимости станка по годам:

Год Амортизационные Стоимость на

службы отчисления (руб.) конец года (руб.)

0 0 58 000

1 6 7 50 51 250

2 6 7 50 44 500

3 6 7 50 37 750

4 6 7 50 31 000

5 6 7 50 24 250

6 6 7 50 17 500

7 6 7 50 10 750

8 6 7 50 4 0 00

До недавнего времени Российское законодательство разрешало при-

менять для исчисления налога только равномерное списание балансовой

стоимости имущества предприятий

. Недавно было разрешено применять

для ускоренной амортизации так называемое правило суммы ле т. Рас-

смотрим это правило.

4.3. Правило суммы лет

Как мы уже говорили, владелец налогооблагаемого имущества заин-

тересован в быстром уменьшении его балансовой стоимости и переноса

ее на себестоимость продукции, так как при этом уменьшается база для

исчисления налога и, следовательно, сумма налога. Надо заметить, что

и реальный физический износ оборудования обычно идет быстрее в на-

чале срока службы, чем в конце. Автовладельцы знают, что автомобиль

изнашивается быстрее в первые годы эксплуатации, чем в последующие.

Для ознакомления с разрешенными в Росийской Федерации способами амортиза-

ции и связанными с этим вопросами рекомендуем брошюру: Начисление амортизации,

износа. — М.: Издательство ПРИОР, 1999, — 96с.

4.3. Правило суммы лет 71

Поэтому разработаны методы ускоренной амортизации. Рассмотрим один

из них.

Правило суммы лет вычисления амортизационных отчислений состо-

ит в следующем. Если срок амортизации равен n лет, то вычисляем по

формуле суммы арифметической прогрессии величину K

— сумму номе-

ров лет:

= 1 + 2 + 3 + ··· + n =

n(n + 1)

. (4.2)

Величина амортизационных отчислений в i-ом году вычисляется по фор-

муле:

= S

n − (i − 1)

, (4.3)

где S — первоначальная стоимость имущества.

Заметим, что амортизационные отчисления по правилу суммы лет об-

разуют убывающую арифметическую прогрессию. Поэтому этот метод

называется еще методом убывающей арифметической прогрессии. Най-

дем разность этой арифметической прогрессии:

d = A

i+1

− A

= S

n − (i + 1 − 1)

− S

n − (i − 1)

×(−1) = −

n(n + 1)

Рассмотрим пример на определение амортизационных отчислений по

правилу суммы лет.

Пример 4.2. Строительная фирма из примера 4.1 желает ускорить

процесс уменьшения стоимости станка. Составим таблицу амортизацион-

ных отчислений, применяя правило суммы лет.

Решение . Как и в примере 4.1, будем амортизировать до 4 000 руб.

сумму 58 000 руб. Вычислим сумму лет K

= 1 + 2 + 3 + ··· + 8 =

1 + 8

×8 = 36.

Выпишем теперь номера лет в обратном порядке — это и есть числа

n − (i − 1) при i = 1, . . . , 8:

8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.