Бухвалов А.В. Финансовые вычисления для профессионалов. Настольная книга финансиста
Подождите немного. Документ загружается.
92 5. Современная ценность денег
В отечественной литературе современную ценность денег называют
также пр иведенной стоимостью, то есть стоимостью, приведенной к се-
годняшнему моменту или дисконтированной с тоимостью. Процентная
ставка i (или j
m
) называется ставкой дисконтирования.
Пример 5.1. Кредитор дает деньги в долг, получая вексель, по ко-
торому через два года будет выплачено 5 000 руб. Какую сумму следует
дать под этот вексель сегодня, если за взятые в долг деньги выплачива-
ются проценты по ставке j
4
= 6%?
Решение . По формуле (3.4) найдем современную ценность 5 000 руб.
Подставив в нее S = 5 000, m = 4, j
m
= 0.06, t = 2, получим:
P = 5 000×
1 +
0.06
4
−8
= 5 000×0.8877 = 4 438.55 руб.
Таким образом, в условиях задачи современная ценность 5 000 руб. равна
4438.55 руб. Эту сумму и следует дать под вексель.
Если t лет тому назад сумма P была получена под i%, то наращенное
значение этой суммы или ее будущая ценность S = F V вычисляется по
формуле (3.1):
F V = P (1 + i)
t
.
Обозначение FV происходит от английского термина Future Value, кото-
рый мы и перевели как б удущая ценность.
Если начисление производится по ставке j
m
, то будущая ценность вы-
числяется по формуле (3.2):
F V = P
1 +
j
m
m
tm
.
Если на деньги, находящиеся в обороте, начисляются непрерывные
проценты силой роста δ, то современная ценность суммы S, которая будет
получена в будущем через t лет, вычисляется по формуле (3.6):
P V = Se
−δt
,
а будущая ценность суммы P, которая была получена в прошлом t лет
назад, вычисляется по формуле (3.5):
F V = P e
δt
.
5.1. Определение современной ценности денег 93
Пример 5.2. В банк, выплачивающий j
2
= 8%, вложены на 3 года
10 000 руб. Какова будущая ценность этой суммы денег?
Решение . Будущую ценность этой суммы (наращенную сумму) нахо-
дим по формуле (3.2) при P = 10 000, j
2
= 0.08, m = 2, t = 3:
F V = 10 000
1 +
0.08
2
2×3
= 10 000×1.26532 = 12 653.2 .
То есть в условиях этой задачи буду щая ценность суммы в 10 000 руб.
равна 12 653.2 руб.
В финансовых вычислениях часто удобно рассматривать будущую цен-
ность некоторой суммы денег как современную ценность этой суммы, если
вложение денег происходило в прошлом. Поэтому понятие современной
ценности денег мы распространим и на деньги, включенные в оборот t
лет назад. Таким образом, понятие современная ценн о с ть денег являет-
ся теперь обобщением двух понятий: вкладываемая сумма и наращенная
сумма.
Из приведенных формул следует, что современная ценность суммы де-
нег, которая будет получена в будущем, меньше этой суммы, а современ-
ная ценность суммы денег, которая была включена в оборот в прошлом,
больше этой суммы. В первом случае сумма умножается на дисконтный
множитель — и операция нахождения ее современной ценности называ-
ется дисконтированием, а во втором случае сумма умножается на нара-
щивающий м ножитель.
Ситуацию с определением современной ценности денег можно изоб-
разить графически. Начертим ось времени, на которой время указано в
периодах начисления процентов. Современный момент обозначим нулем.
Над осью будем указывать суммы, которые рассматриваются в соответ-
ствующие моменты времени. Приведем сначала графическое изображение
ситуации в примере 5.1:
-
0
P
1 2 3 4 5 6 7 8
5 000
tm
Далее приведено графическое изображение ситуации в примере 5.2:
94 5. Современная ценность денег
-
-8 -7 -6
10 000
-5 -4 -3 -2 -1 0
S
tm
В качестве современного момента времени может быть выбран любой
момент, совпадающий с концом какого-либо периода начисления процен-
тов. Так, в примере 5.1 современная ценность суммы 5 000 руб. в момент
t = 4 будет вычисляться по формуле:
P V = 5 000×
1 +
0.06
4
−4
= 4 710.92 руб.,
а в примере 5.2 современная ценность суммы в 10 000 руб. в момент t = −3
равна
P V = 10 000×
1 +
0.08
2
3
= 11 248.64 руб.
Если в качестве современного момента времени выбран момент T 6= 0,
то для обозначения современной ценности суммы S может использовать-
ся обозначение P V
T
(S).
5.2. Некоторые применения понятия современной
ценности денег
Рассмотрим ситуацию, когда банк выплачивает на вложенные в него
деньги определенный процент через равные промежутки времени. Пусть
делается несколько вкладов S
1
, . . . , S
n
и несколько изъятий R
1
, . . . , R
k
определенных сумм в известные моменты времени (являющиеся концами
периодов начисления процентов). Суммарная современная ценность всех
вкладов равна суммарной современной ценности всех изъятий и остатка
W на счету после всех указанных операций. То есть, имеет место равен-
ство:
P V
T
(S
1
) + . . . + P V
T
(S
n
) = P V
T
(R
1
) + . . . + P V
T
(R
k
) + P V
T
(W ).
Доказательство этого утверждения можно выполнить методом мате-
матической индукции по двум переменным, n и k. Мы не будем его при-
водить, а проиллюстрируем это утверждение двумя примерами. Сделаем
предварительно следующее замечание.
5.2. Некоторые применения 95
Если с некоторыми суммами денег V
1
и V
2
производятся финансовые
операции (вложение, изъятие или фиксирование остатка) в один и тот
же момент времени t, то для любого момента времени T имеет место
равенство:
P V
T
(V
1
+ V
2
) = P V
T
(V
1
) + P V
T
(V
2
).
Действительно, в любой момент T ценность суммы V , над которой про-
изводится некоторая операция в момент t, равна:
P V
T
(V ) = V (1 + i)
T −t
.
Подставив в последнюю формулу V = V
1
+ V
2
, получаем:
P V
T
(V
1
+ V
2
) = (V
1
+ V
2
)(1 + i)
T −t
=
= V
1
(1 + i)
T −t
+ V
2
(1 + i)
T −t
=
= P V
T
(V
1
) + P V
T
(V
2
).
Пример 5.3. Со счетом, на который начисляется i% сложных за каж-
дый период времени, были проведены следующие операции: в момент 2
сделан вклад S; в момент 5 снята сумма R, после чего на счете осталась
сумма W . Покажем, что верна формула:
P V
0
(S) = P V
0
(R) + P V
0
(W ).
Решение . Изобразим ситуацию, описанную в задаче, на оси времени,
записывая сумму вклада над осью, а изъятие и остаток — под осью:
-
0 1 2
S
3 4 5
R + W
6 7
t
Выразим сумму R + W через S. Согласно (3.1), имеем равенство:
R + W = S(1 + i)
3
.
Используя это равенство и формулу (3.3), получаем:
P V
0
(R + W ) = (R + W )(1 + i)
−5
= S(1 + i)
3
(1 + i)
−5
=
= S(1 + i)
−2
= P V
0
(S).
96 5. Современная ценность денег
Выше было показано, что
P V
0
(R + W ) = P V
0
(R) + P V
0
(W ),
поэтому получаем равенство, которое и требовалось доказать:
P V
0
(S) = P V
0
(R) + P V
0
(W ).
Пример 5.4. Со счетом, на который начисляется i% сложных за каж-
дый период времени, были проведены следующие операции: в момент 3
сделан вклад S
1
; в момент 7 сделан вклад S
2
; в момент 5 со счета снята
сумма R
1
; в момент 11 со счета снята су мма R
2
. После этого на счете
осталась сумма W . Покажем, что верна формула:
P V
0
(S
1
) + P V
0
(S
2
) = P V
0
(R
1
) + P V
0
(R
2
) + P V
0
(W ).
Решение . Изобразим ситуацию, описанную в задаче, на оси времени,
указывая вклады над осью, а изъятия и остаток — под осью:
-
0 1 2 3
S
1
4 5
R
1
6 7
S
2
8 9 10 11
R
2
+ W
t
Выразим сумму R
2
+ W через S
1
, S
2
и R
1
. В момент t = 5 на счете будет
сумма, равная
S
1
(1 + i)
2
− R
1
.
Вычислим сумму, которая будет на счете в момент t = 7:
(S
1
(1 + i)
2
− R
1
)(1 + i)
2
+ S
2
= S
1
(1 + i)
4
− R
1
(1 + i)
2
+ S
2
.
В момент t = 11 эта последняя сумма обращается в сумму:
(S
1
(1 + i)
4
− R
1
(1 + i)
2
+ S
2
)(1 + i)
4
= S
1
(1 + i)
8
− R
1
(1 + i)
6
+ S
2
(1 + i)
4
.
Так как в момент t = 11 на счете была сумма R
2
+ W , имеем равенство:
R
2
+ W = S
1
(1 + i)
8
− R
1
(1 + i)
6
+ S
2
(1 + i)
4
.
5.2. Некоторые применения 97
Приведем обе части последнего равенства к моменту 0:
P V
0
(R
2
+ W ) = P V
0
(S
1
(1 + i)
8
− R
1
(1 + i)
6
+ S
2
(1 + i)
4
) =
= (S
1
(1 + i)
8
− R
1
(1 + i)
6
+ S
2
(1 + i)
4
)(1 + i)
−11
=
= S
1
(1 + i)
−3
−R
1
(1 + i)
−5
+ S
2
(1 + i)
−7
=
= P V
0
(S
1
) − P V
0
(R
1
) + P V
0
(S
2
).
Используя равенство
P V
0
(R
2
+ W ) = P V
0
(R
2
) + P V
0
(W ),
получаем:
P V
0
(R
2
) + P V
0
(W ) = P V
0
(S
1
) − P V
0
(R
1
) + P V
0
(S
2
),
откуда получаем формулу, которую требовалось доказать:
P V
0
(S
1
) + P V
0
(S
2
) = P V
0
(R
1
) + P V
0
(R
2
) + P V
0
(W ).
Используя только что доказанную формулу, можно решать различные
задачи финансовых расчетов. Рассмотрим два примера.
Пример 5.5. Предприниматель вложил в банк 700 руб. Банк выпла-
чивает проценты по ставке j
4
= 6%. Через 6 месяцев вкладчик снял со
счета 300 руб., а через 2 года после этого закрыл счет. Какую сумму он
получил при закрытии счета?
Решение . Изобразим ситуацию, описанную в примере, на оси времени.
Суммы, которые предприниматель снимал со счета, изобразим под осью
времени, а сумму, которую он вложил, — над осью. Одно деление оси
времени равно одному кварталу (таков период начисления процентов).
-
0
700
1 2
300
3 4 5 6 7 8 9 10
x
11
t
98 5. Современная ценность денег
Обозначим сумму, полученную при закрытии счета x. Ранее было до-
казано, что суммарная современная ценность снятых со счета денег равна
современной ценности вложенных денег, поэтому имеем следующее урав-
нение:
700 = 300(1 + i)
−2
+ x(1 + i)
−10
.
Подставляя i = 0.06/4 = 0.015, находим из этого уравнения x:
x = 700(1 + i)
10
− 300(1 + i)
8
=
= 700(1.015)
10
− 300(1.015)
8
=
= 474.43 руб.
Пример 5.6. Г-н Петров положил 2 года назад 600 руб. в банк, вы-
плачивающий проценты по ставке j
12
= 5%. Восемь месяцев тому назад
он снял со счета 400 руб., а сегодня снял еще 100 руб. Через 3 месяца
он желает вложить некоторую сумму так, чтобы через год от сегодняш-
него момента закрыть счет, получив 500 руб. Какую сумму он должен
вложить?
Решение . Ситуация, описанная в задаче, изображена на рисунке:
−24
600
−23
....
−9 −8
400
−7
....
−2 −1 0
100
1 2 3
....
x
11 12
-
500
t месяцев
Как и в предыдущем примере, под осью изображены суммы, снима-
емые со счета, а над осью — су ммы, положенные на счет. Современная
ценность тех и других (в любой момент времени) одинакова. Выберем в
качестве современного момента конец третьего периода начисления про-
центов, то есть момент, когда вносится искомая сумма x. Приравнивая в
этот момент ценности сумм, внесенных на счет, и сумм, снятых со счета,
получаем уравнение:
600(1 + i)
27
+ x = 400(1 + i)
11
+ 100(1 + i)
3
+ 500(1 + i)
−9
.
5.3. Эквивалентность контрактов 99
Подставляем в последнее уравнение i = 0.05/12 = 0.00417 и определяем
значение x:
x = 400×1.00417
11
+ 100×1.00417
3
+ 500×1.00417
−9
− 600×1.00417
27
=
= 400×1.04684 + 100×1.01256 + 500×0.96324 −600×1.11891 =
= 330.265 .
Следовательно, через 3 месяца надо вложить 330.27 ру б.
5.3. Эквивалентность контрактов
В реальной жизни по тем или иным причинам приходится менять усло-
вия контракта. Рассмотрим сначала ситуацию, когда изменяются толь-
ко сроки платежей. При этом возникает законный вопрос, как должны
измениться суммы платежей. Если мы предполагаем, что стоимость де-
нег не будет меняться за время действия контракта (и равна i сложных
процентов за один период), то принцип эквивалентности состоит в том,
что суммы новых платежей должны быть такими, чтобы их современ-
ная ценность равнялась современной ценности платежей из контракта.
В рассматриваемой ситуации это выражается с помощью двух простых
формул.
Если срок платежа увеличивается на t периодов, новая сумма платежа S
1
получается из старой S
0
по формуле:
S
1
= S
0
(1 + i)
t
, (5.2)
Если срок платежа сокращается на t периодов, новая сумма платежа S
1
получается из старой S
0
по формуле:
S
1
= S
0
(1 + i)
−t
, (5.3)
Пример 5.7. Фермер должен вернуть банку 12 000 ру б. 1 июля 1998 го-
да. Какую сумму он должен внести в банк: а) 1 января 1997 года; б) 1 ян-
варя 1999 года? Банк дает ссуды под 8% годовых (сложных).
Решение . а) Так как платеж делается на 1.5 года раньше срока, фермер
должен внести в банк меньшую сумму:
S = 12 000×(1 + 0.08)
−1.5
= 12 000×0.8910 = 10 692.00 руб.
100 5. Современная ценность денег
б) В этом случае платеж делается на 0.5 года позже срока, поэтому в
банк придется внести сумму, б´ольшую, чем 12 000 руб.:
S = 12 000×(1 + 0.08)
0.5
= 12 000×1.0392 = 12 470.40 руб.
Рассмотрим теперь ситуацию объединения (консолидации) платежей:
требуется свести несколько платежей S
1
, . . . , S
k
со сроками выплаты
t
1
, . . . , t
k
, соответственно, в один платеж S
0
. При этом могут возник-
нуть две задачи: определить величину объединенного платежа S
0
, если
он должен быть сделан в заданный момент времени t
0
; определить срок
t
0
платежа S
0
. Изобразим рассматриваемую ситуацию на оси времени:
0
t
1
S
1
t
2
..........
S
2
t
0
..........
S
0
t
k
-
S
k
t периодов
Для эквивалентности замены платежей необходимо, чтобы в момент 0
ценность платежа S
0
(его современная ценность) была равна сумме цен-
ностей всех платежей S
1
, . . . S
k
, то есть должно выполняться равенство:
S
0
(1 + i)
−t
0
=
k
X
l=1
S
l
(1 + i)
−t
l
. (5.4)
Если требуется определить величину объединенного платежа S
0
, ре-
шим это уравнение относительно S
0
:
S
0
= (1 + i)
t
0
k
X
l=1
S
l
(1 + i)
−t
l
. (5.5)
Если требуется определить срок t
0
платежа S
0
, решим уравнение (5.4)
относительно t
0
. Для этого прологарифмируем обе части этого уравнения
и выполним необходимые преобразования:
ln S
0
(1 + i)
−t
0
= ln
k
X
l=1
S
l
(1 + i)
−t
l
;
ln S
0
− t
0
ln(1 + i) = ln
k
X
l=1
S
l
(1 + i)
−t
l
;
5.3. Эквивалентность контрактов 101
t
0
=
ln S
0
− ln
P
k
l=1
S
l
(1 + i)
−t
l
ln(1 + i)
. (5.6)
Пример 5.8. Кооператор должен выплатить поставщику сырья через
полгода после поставки 800 000 руб., еще через полгода — 1 500 000 руб. и
еще через 8 месяцев — 1 300 000 руб. Эти платежи решено объединить в
один платеж и выплатить весь долг через год после поставки сырья. Ка-
кую су мму надо выплатить, если на долг начисляется 6% годовых (слож-
ных)?
Решение . Приводя все платежи к настоящему моменту времени, полу-
чаем по формуле (5.5):
S
0
= (1 + 0.06)
1
[ 0.8(1 + 0.06)
−0.5
+ 1.5(1 + 0.06)
−1
+ 1.3(1 + 0.06)
−1.(6)
] =
= 3 574 118.97 руб.
Пример 5.9. Кооператор из предыдущего примера хочет выплатить
долг одним платежом, равным 3 600 000 руб. В какой момент он должен
сделать такой платеж?
Решение . По формуле (5.6) находим значение t
0
:
t
0
=
ln 3.6 − ln(0.8×1.06
−0.5
+ 1.5×1.06
−1
+ 1.3×1.06
−1.(6)
)
ln 1.06
=
= 1.1238 года = 1 год 45 дней.
Следовательно, 3 600 000 руб. надо выплатить через 1 год 45 дней после
поставки сырья.
Заметим, что при решении предыдущих задач мы использовали урав-
нения эквивалентности. Приведем примеры более сложных изменений ус-
ловий контрактов, для расчета которых также применяются уравнения
эквивалентности.
Пример 5.10. По контракту г-н А обязан уплатить г-ну Б 1 000 руб.
сегодня и 1 306 руб. через 3 года. Г-н А хочет изменить контракт, вер-
нув долг двумя равными платежами: сделав первый платеж через год
и второй — через 4 года, считая от сегодняшнего дня. Какой величины
должен быть каждый из этих платежей, если деньги приносят кредитору
проценты по ставке j
2
= 6%?