Бухвалов А.В. Финансовые вычисления для профессионалов. Настольная книга финансиста

Подождите немного. Документ загружается.

102 5. Современная ценность денег

Решение . Изобразим условия задачи на оси времени, помещая над

осью платежи по первоначальному контракту, а под осью — по новому

контракту. Буквой x обозначена искомая величина новых платежей:

1 000

1 2

3 4 5 6

1 306

7 8

t полугодий

Так как оба контракта должны быть равноценны для кредитора Б,

то приведенные к моменту 0 (как и к любому другому моменту) ценно-

сти сумм, стоящих над осью, и сумм, стоящих под осью, должны быть

равны. Приравнивая приведенные ценности старого и нового контрактов,

получаем уравнение:

1 000 + 1 306(1 + i)

−6

= x(1 + i)

−2

+ x(1 + i)

−8

Подставим в него i = 0.06/2 = 0.03 и найдем значение x:

x(1.03

−2

+ 1.03

−8

) = 1 000 + 1 306×1.03

−6

;

x = 1 208.87 .

Итак, г-н А должен сделать два платежа по 1 208.87 руб.

Заметим, что тот же результат мы получим, взяв в качестве современ-

ного момента любой другой. Например, если принять момент 4 за совре-

менный момент, то получаем уравнение:

1 000(1 + i)

+ 1 306(1 + i)

−2

= x(1 + i)

+ x(1 + i)

−4

Разделив все члены этого уравнения на (1+i)

, получим то же уравнение,

что и раньше.

В практике финансовых операций распространена сделка, которая на-

зывается продажей контракта. Она заключается в следующем. Некото-

рый су бъект (или организация) имеет на руках контракт, по которому он

должен получить с другого субъекта определенные суммы денег в опреде-

ленные сроки. Владелец контракта желает получить деньги немедленно

и для этого продает этот контракт банку (или другому лицу), который

будет получать деньги по этому контракту в будущем. Сколько следует

заплатить за этот контракт? Из принципа эквивалентности следует, что

за контракт следует заплатить его стоимость в момент покупки, то есть

его современную ценность. Рассмотрим пример.

Упражнения 103

Пример 5.11. Фермер Иванов купил у колхоза сарай, заключив кон-

тракт, в соответствии с которым обязуется заплатить 1 000 руб. через

27 месяцев и еще 3 000 руб. — через 5 лет. Колхоз, нуждаясь в деньгах,

хочет продать этот контракт финансовой организации, которая согласна

его купить при условии начисления на свои деньги процентов по ставке

= 8%. Сколько должна заплатить компания колхозу за этот контракт?

Решение . Изобразим условия контракта на оси времени, на которой

каждый процентный период соответствует кварталу (3 месяца). В 27 ме-

сяцах содержится 9 процентных периодов, а в 5 годах — 20 процентных

периодов. Стоимость контракта в момент 0 обозначена буквой x:

1 000

3 000

t кварталов

Организации следует заплатить за контракт его стоимость в м омент 0,

следовательно, должно выполняться равенство:

x =

1 000

(1 + i)

3 000

(1 + i)

Подставим в него i = 0.08/4 = 0.02 и найдем значение x:

x =

1 000

(1 + 0.02)

3 000

(1 + 0.02)

= 1 000×0.8368 + 3 000×0.6730 =

= 2 855.8 руб.

В общем виде уравнение эквивалентности двух контрактов можно за-

писать следующим образом:

q=1

k=1

. (5.7)

Ниже приведен список обозначений, которые использовались в последней

формуле:

104 5. Современная ценность денег

, . . . , R

— платежи по старому контракту;

, . . . , t

— сроки, в которые должны быть произве-

дены эти платежи;

, . . . , S

— платежи по новому контракту;

, . . . , p

— сроки, в которые должны быть произве-

дены эти платежи;

V = 1 + i, если соответствующие платежи произво-

дятся ранее момента, к которому приво-

дятся платежи;

V = (1 + i)

−1

, если соответствующие платежи произво-

дятся позднее момента, к которому при-

водятся платежи;

i — ставка процентов, начисляемых на день-

ги, находящиеся в обороте.

Упражнения

1. Какова современная ценность 10 000 руб., если:

а) эта сумма будет получена через 3 года 6 месяцев,

б) эта сумма была получена 2 года 9 месяцев тому назад,

в) эта сумма получена в настоящий момент времени?

Стоимость денег — 8% (то есть на деньги, находящиеся в обороте, начис-

ляются 8% годовых (сложных)).

2. Банк начисляет на вложенные в него деньги проценты по ставке j

= 6%.

Какова современная ценность суммы денег в 25 000 руб., которая:

а) была вложена в этот банк 5 лет 4 месяца тому назад,

б) будет вложена в банк через 1 год 8 месяцев?

3. В условиях примера 5.3, рассмотренного в п. 5.2, докажите, что:

а) P V

(S) = P V

(R) + P V

(W ),

б) P V

(S) = P V

(R) + P V

(W ),

в) P V

(S) = P V

(R) + P V

(W ),

г) P V

(S) = P V

(R) + P V

(W ).

4. В момент 2 в банк вложена сумма S

, в момент 4 — сумма S

, в момент 7

— сумма S

, в момент 14 — сумма S

. В момент 6 со счета снята сумма R

в момент 10 — сумма R

и в момент 17 — с умма R

. П осле этого на счету

осталась сумма W . Докажите, что

P V

) + P V

) =

= P V

) + P V

(W ).

Упражнения 105

5. Вкладчик положил в банк, выплачивающий проценты по годовой ставке

i = 5% (сложных), сумму 12 000 руб. Через 1 год 6 месяцев он снял со

счета 4 500 руб., а еще через 2 года положил на свой счет 2 000 руб. После

этого через 3 года 6 месяцев он закрыл счет. Какую сумму он получил при

закрытии счета?

6. Решить предыдущее упражнение при условии, что банк выплачивает про-

центы по ставке j

= 5%.

7. Вкладчик положил 3 года назад 5 000 руб. в банк, выплачивающий про-

центы по ставке j

= 8%. Год назад он положил еще 2 000 руб., а через

3 года 6 месяцев после этого снял со счета 3 500 руб. Еще через 6 месяцев

он желает положить на свой счет такую сумму, чтобы еще через год на

счету было 10 000 руб. Какую сумму о н должен положить на свой счет в

последний раз?

8. Вкладчик положил в банк некоторую сумму. Через 2 года он положил на

свой счет такую же сумму, а еще через 1 год 6 месяцев — снова такую же

сумму. Через 2 года 6 месяцев после этого на его счету было 25 000 руб.

Какую сумму вносил в банк вкладчик каждый раз, если банк начисляет

на вложенные деньги процент ы по годовой ставке i = 5%(сложных)?

9. Решить предыдущее упражнение, если ба нк выплачивает проценты по

ставке j

= 5 %.

10. Решить упражнение 8, если банк выплачивает непрерывные проценты с

силой роста δ = 5%.

11. Фермер взял в банке кредит на сумму 5 млн. руб. под 8% годовых (слож-

ных). Че рез год он вернул ба нку 3 млн. ру б., а ещ е через год взял кредит

в сумме 2 млн. руб. Через 2 года после этого фермер вернул полученные

кредиты полностью. Какую сумму он при эт ом в ы платил банку?

12. Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий проценты по ставке

= 10 %, чтобы иметь возможность снять со счета 2 000 руб. через 1 год

6 месяцев и еще 3 000 руб. через 1 год 6 месяцев после этого?

13. Решите предыдущее упражнение, приведя вс е суммы к моменту послед-

него изъятия денег.

14. Фермер приобрел трактор, который стоит 25 000 руб., в кредит под 12%

годовых (сложных). Через 1 год 6 месяцев он уплатил 15 000 руб., а еще

через 6 месяцев полностью погасил долг. Какую сумму он при этом вы-

платил?

15. Предприниматель взял в банке кредит в 12 тыс. руб. под 15% годовых

(сложных). Через 6 месяцев он вернул банку 4 500 руб., а еще через 6 ме-

сяцев — 2 500 руб. Спустя 6 месяцев после этого он в з я л еще ссуду в 3 тыс.

руб., и через 2 года с момента получения этой ссуды полнос тью погасил

долг. Какую сумму со с тавляет последняя упла та?

106 5. Современная ценность денег

16. Строительный комбинат продает коттеджи с тоимостью 80 тыс. руб., предо-

ставляя покупателям кредит под 12% годовых (сложных). Г-н Иванов при-

обрел коттедж. Он выпла тил 20 тыс. руб. через 3 месяца пос ле по ку пки,

30 тыс. руб. — еще через 6 месяцев, 10 тыс. руб. — в конце первого года

с момента покупки и по гасил весь долг через 1.5 года с момента покупки.

Какую сумму составил последний платеж?

17. Г-н Петров приобрел коттедж у строительного комбината из предыдущего

упражнения. Он выплатил в момент по ку пки 30 тыс. руб., через год —

20 тыс. руб., еще через год — 20 ты с . руб. и ос таток долга погасил через

2.5 года от момента покупки. Чему равен последний платеж?

18. Г-н Сидоров тоже приобрел коттедж у строите льного комбината из упраж-

нения 16, обязавшись выплатить долг в течение трех лет равными упла та-

ми по полугодиям (первая уплата — через полгода от момента по ку пки).

Чему равна каждая уплата?

19. Строительный комбинат из упражнения 16 учредил банк, аккумулирую-

щий средства на строительство коттеджей и выплачивающий по вложен-

ным в него деньгам также 12% г одовых (сложных). Г-н Федоров внес в

этот банк некоторую сумму за 2 года до приобретения коттеджа, такую

же сумму — в момент приобретения коттеджа, еще 25 тыс. руб. — через

год и 30 тыс. руб. — через 2 года с момента приобретения коттеджа, пога-

сив, тем самым, свой долг полностью. Какие суммы вносил г-н Федоров в

банк до и в момент приобретения коттеджа?

20. Г-н Николаев внес в банк, описанный в предыдущем упражнении, 30 тыс.

руб. за год до получения коттеджа и еще 30 тыс. руб. — через год после

получения коттеджа. Еще через год он внес некоторую сумму, а еще через

2 года погасил долг, внеся 10 т ыс. руб. Какую сумму он внес через 2 года

после получения коттеджа?

21. Фермер должен вернуть банку 2 000 руб. 1 января 1994 года. Ссуда дана

под 15% годовых (сложных). Какую сумму должен уплатить фермер, если

он вернет долг: а) 1 июля 1993 года, б) 1 июля 1995 года, в) 1 января

1996 года?

22. Торговая фирма обязалась уплатить фермеру за купленное у него зерно

3 5 00 руб. через 2 месяца после покупки, 3 000 — еще через 2 месяца и 5 200

— еще через 3 месяца. Стороны договорились объединить эти платежи в

один и выплатить его через 5 месяцев по с ле покупки. Чему равен этот

платеж, если на деньги начисляется 8% годовых?

23. Торговая фирма из предыдущего упражнения желает выплатить весь долг

одним платежом, равным 12 000 руб. В какой срок, считая с момента по-

купки, она должна это сделать?

Упражнения 107

24. Торговая фирма из упражнения 22 желает выплатить долг двумя равными

уплатами через 3 и через 6 месяцев после поку пки. Какова должна быть

величина каждой из этих уплат ?

25. Г-н А должен уплат ить г-ну Б три раза по 25 000 руб. через каждые пол-

тора года от настоящего момента. Г-н А предложил заплатить 30 000 руб.

через 2 года, а остальное — еще через 2 года. Какую сумму он должен

уплатить в последний раз, если деньг и ст оят 9% годовых (сложных)?

26. Г-н Васильев купил у г-на Дмитриева автомобиль, подписав контракт, в

соотв е тствии с которым обязался уплатить 15 000 руб. через 8 месяцев

после момента покупки и 20 000 руб. через 18 месяцев после момента по-

купки. Г-н Дмитриев желает продать этот контракт банку, получающему

6% годовых (сложных) на свои деньги. Какую сумму заплатит банк за

этот контракт, если купит его в момент его заключения?

27. В условиях предыдущего упражнения, какую сумму должен заплатить

банк за контракт, покупая его через полгода после заключения?

6. Финансовые ренты

6.1. Поток денежных платежей

В финансовой деятельности нередко делается несколько следующих

друг за другом платежей — пот о к денежных платежей. Таковы, напри-

мер, ежегодные выплаты процентов по облигациям, периодические вкла-

ды в банк для образования страхового фонда, ежемесячные выплаты дол-

га по потребительскому кредиту, получение ежемесячной стипендии от

благотворительного фонда и тому подобные платежи. При всех таких

платежах происходит начисление процентов на находящиеся в обороте

деньги. При изучении потока платежей могут возникнуть две основные

задачи: найти наращенную сумму потока платежей или, напротив, по на-

ращенной сумме определить величину отдельного платежа. Для частного

вида потока платежей — финансовых рент — разработаны математиче-

ские методы решения подобных задач. Эти методы рассмотрены ниже.

При выводе различных формул, относя щихся к расчетам финансовых

рент, мы будем применять формулу суммы первых n членов геометриче-

ской прогрессии. Напомним, что геометрической прогре с с ией называется

последовательность чисел

, b

, . . . , b

в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умно-

женному на одно и то же число q, которое называется знаменателем про-

грессии. Сумма S

первых n членов геометрической прогрессии, у которой

q 6= 1, вычисляется по формуле:

− 1)

q − 1

. (6.1)

6.2. Финансовые ренты. Функция s

n; i

109

6.2. Финансовые ренты. Функция s

n; i

Финансовой рентой называется последовательность платежей, произ-

водящихся через равные промежутки времени.

Рассмотрим общий случай: делается n платежей, например, вкладов

в банк, каждый из которых равен R; периоды времени между платежами

одинаковы, и в конце каждого из них на все сделанные до этого момен-

та платежи начисляются сложные проценты по ставке i. Изобразим эту

ренту на оси времени:

0 1

..........

n−1

число периодов

Выведем формулу вычисления наращенной к моменту n суммы ренты,

которую будем обозначать буквой S.

Платеж, сделанный в момент n, входит в наращенную сумму без изме-

нения, то есть в размере R. Сумма, наращенная к моменту n на платеж,

сделанный в момент n−1, равна R(1+i). Сумма, наращенная к моменту n

на платеж, сделанный в момент n −2, равна R(1 + i)

и т. д. Сумма, нара-

щенная к моменту n на платеж, сделанный в момент 2, равна R(1 + i)

n−2

Сумма, наращенная к моменту n на платеж, сделанный в момент 1, рав-

на R(1 + i)

n−1

. Следовательно, наращенная сумма всей ренты в момент n

будет равна:

S = R + R(1 + i) + R(1 + i)

+ . . . + R(1 + i)

n−2

+ R(1 + i)

n−1

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии,

первый член которой b

= R, знаменатель q = 1 + i, и число членов равно

n. По формуле (6.1) находим сумму первых n членов этой геометрической

прогрессии:

S =

− 1)

q − 1

R[(1 + i)

− 1]

1 + i − 1

= R

(1 + i)

−1

Для коэффициента, на который умножается R в получившейся фор-

муле, принято использовать следующее обозначение:

n; i

(1 + i)

− 1

. (6.2)

110 6. Финансовые ренты

Тогда наращенная сумма финансовой ренты выражается формулой:

S = Rs

n; i

. (6.3)

Ранее для выполнения расчетов по формуле (6.3) использовались спе-

циальные таблицы значений функции s

n; i

. Следуя этой традиции, мы

включили в Приложении Б таблицу значений этой функции для некото-

рых значений n и i (Таблица 2). Однако, мы рекомендуем при решении

примеров и упражнений использовать, если это возможно, финансовый

калькулятор или программу Excel.

Пример 6.1. Фирма создает фонд помощи ветеранам труда, вклады-

вая ежегодно 2 500 руб. в банк, выплачивающий 5% годовых (сложных).

Какая сумма будет на счету фонда через 8 лет?

Решение . Вклады в банк образуют финансовую ренту (далее просто

ренту), в которой R = 2 500 руб., n = 8, i = 5%. Вычисляем наращенную

сумму ренты по формуле (6.3):

S = 2 500s

8; 5%

По Таблице 2 находим, что s

8; 5%

= 9.54911. Подставляем это значение в

формулу и получаем ответ:

S = 2 500×9.54911 = 23 872.77 руб.

Пример 6.2. Предприниматель вкладывает 100 руб. в конце каждого

месяца в банк, выплачивающий проценты по ставке j

= 9%. Какую

сумму он накопит за 2 года?

Решение . Вклады в банк, которые делает предприниматель, образуют

финансовую ренту, в которой R = 100, n = 24 (2 года по 12 месяцев),

i = 0.09/12 = 0.0075. Находим наращенную сумму ренты по формуле (6.3):

S = 100×

(1 + 0.0075)

− 1

0.0075

= 100s

24; 0.75%

По Таблице 2 находим, что s

24; 0.75%

= 26.18847. Подставляем это значение

в формулу и получаем ответ:

S = 100×26.18847 = 2618.85 руб.

6.3. Вычисление платежей финансовой ренты 111

6.3. Вычисление платежей финансовой ренты

Иногда требуется определить величину платежа R по наращенной

сумме S. Выразим значение R через S из формулы (6.3):

R =

n; i

. (6.4)

Рассмотрим пример применения последней формулы.

Пример 6.3. Г-н Петров желает накопить за 8 лет 5 000 руб., делая

ежегодные равные вклады в банк, который выплачивает проценты по го-

довой ставке i = 5%(сложных). Сколько он должен вкладывать каждый

раз?

Решение . По условию задачи: S = 5 000, n = 8, i = 0.05. По Таблице 2

находим, что s

8; 5%

=9.54911. По формуле (6.4) получаем:

R =

5 000

9.54911

= 523.61 руб.

Следовательно, ежегодный вклад в банк г-на Петрова должен быть равен

523.61 руб.

6.4. Виды финансовых рент

Рассмотрим виды финансовых рент, которые встречаются в практике

финансовых расчетов.

6.4.1. Ренты с начислением процентов в конце года

Годовая рента

Так называется рента, в которой платеж, равный R, выплачивается

в конце каждого года, и в конце каждого года на накопленную сумму

начисляются сложные проценты по ставке i. Наращенная за n лет сум-

ма S и величина платежа R рассчитываются по формулам (6.3) и (6.4),

выведенным выше.

p -срочная рента

Так называется рента, при которой p раз ежегодно через равные про-

межутки времени производятся платежи, равные R/p. На накопленную

сумму начисляются сложные проценты по годовой ставке i. Изобразим

такую ренту на оси времени: