Бухвалов А.В. Финансовые вычисления для профессионалов. Настольная книга финансиста

Подождите немного. Документ загружается.

132 6. Финансовые ренты

18. Какую сумму должен вкладывать владелец мастерской из упражнения 17,

чтобы за 6 лет накопить 7 тыс. руб.?

19. Фермер взял в банке 5 тыс. руб. под 15% годовых на 5 лет. Для погашения

долга он образовал страховой фонд, внося в него равные ежегодные взносы

и получая на эти деньги 10% годовых. Найдите ежегодную срочную упла ту

по долгу.

20. Решите предыдуще е упражнение при условии, что на деньги, вкладывае-

мые в страховой фонд, начисляются 8% годовых.

21. Решите упражнение 19 при условии, что в фонд делаются равные ежегод-

ные взносы и на них начисляются проценты по ставке j

= 10%.

22. Решите упражнение 19 при условии, что в фонд делаются равные ежеквар-

тальные взносы и на них начисляются проценты по ставке 10% годовых.

23. Решите упражнение 19 при условии, что в фонд делаются равные ежеквар-

тальные взносы, на которые начисляются проценты по ставке j

= 10% го-

довых.

24. Владелец магазина получил в банке ссуду 2 млн. руб. сроком на 3 года.

Банк за ссуженные деньг и взимает 12% в год. Одновременно владелец ма-

газина создал страховой фонд для погашения ссуды, внося в него равные

ежегодные взносы и получая на эти деньги проценты по ставке j

= 8%.

Какова ежегодная срочная уплата по долгу?

25. Какова ежегодная срочная уплата владельца магазина из упражнения 24,

если на деньги, внесенные в фонд, начисляются непрерывные проценты с

силой роста δ = 8%?

26. Нефтедобывающая компания по ку пает нефте носный участок, который бу-

дет приносить в течение 20 лет доход 5 млн. руб . ежегодно, после чего

запасы нефти истоща тся. Компания желает получать 12% ежегодного до-

хода на вложенную сумму. Одно временно она образует страхово й фонд,

чтобы к моменту истощения запасов нефти на участке накопить сумму,

которую она заплатила за этот участок. На деньги, вложенные в ф онд,

она получает 8% в год. Какую сумму компания должна заплатить з а уча-

сток?

27. Компания из упражнения 26 заплатила за участок 50 млн. руб. Какую

сумму она должна ежегодно вносить в страховой фонд и каким будет ее

ежегодный чистый доход? Сколько процентов от вложенной суммы соста-

вит чистый годовой доход?

28. Обозначим через S(p; m) наращенную сумму финансовой p -срочной ренты

(при p = 1 это годовая рента), в кото рой проценты начисляются по ставке

Упражнения 133

(при m = 1 это годовая ставка i). Проверьте, что при i = j = δ, одном и

том же значении R, и одном и том же значении n справедливы неравенства:

S(1; 1) < S(1; m) < S(1; ∞) < S(p; 1)

p>1

< S(p; m)

p>m>1

< S(p; m)

p=m>1

< S(p; m)

m>p>1

< S(p; ∞).

Для реш е ния этого упражнения возьмите фиксированные для всех слу-

чаев значения R, n, i, j

, δ и проверьте эти неравенства при конкретных

значениях p и m.

7. Современная ценность финансовой

ренты

7.1. Определение современной ценности

финансовой ренты. Функция a

n;i

В пунктах 2.6 и 5.1 рассматривался вопрос о современной ценности

денежного потока. Такая же задача может быть поставлена отн оситель-

но финансовой ренты. Например, желая создать фонд для ежемесячной

выплаты стипендий, основатель фонда должен знать, какую су мму необ-

ходимо вложить в этот фонд. Эта сумма равна современной ценности

финансовой ренты, которую составляют выплаты стипендий.

Рассмотрим ренту, состоящую из n платежей, каждый из которых ра-

вен R и делается в конце каждого периода начисления процентов. Если

за каждый период начисляются сложные проценты по ставке i, то на-

ращенная сумма этой финансовой ренты, согласно формуле (6.2), равна

S = Rs

n; i

. Современная ценность ренты равна современной ценности ее

наращенной суммы, следовательно, современная ценность ренты, соглас-

но формуле (3.3), равна:

P V = S(1 + i)

−n

= Rs

n; i

(1 + i)

−n

= R

(1 + i)

− 1

(1 + i)

−n

= R

1 − (1 + i)

−n

Применяя обозначение P V для современной ценности денег в момент 0

(см. формулу (5.1)), будем обозначать современную ценность ренты, со-

стоящей из n членов, равных R, символом P V (R, n), а если из контекста

значения R и n ясны, то просто P V .

В финансовых вычислениях для величины, на которую умножается R

7.1. Определение современной ценности ренты 135

в последней формуле, принято использовать следующее обозначение:

n; i

1 − (1 + i)

−n

. (7.1)

Тогда современная ценность ренты, состоящей из n периодических плате-

жей, равных R каждый, на которые начисляются сложные проценты по

ставке i за каждый период, выразится формулой:

P V (R, n) = P V = Ra

n; i

(7.2)

Раньше для выполнения вычислений, использующих функцию a

n; i

применялись специальные таблицы этой функции для различных значе-

ний n и i. Следуя этой традиции, мы привели таблицу значений этой

функции для некоторых значений ее аргументов в Таблице 3 Приложе-

ния Б. Однако для выполнения упражнений, приведенных в конце этого

раздела, могут понадобиться значения функции, отсутствующие в табли-

це. Предполагается, что в таком случае значение функции легко может

быть подсчитано по формуле (7.2) на калькуляторе или в Excel.

Покажем, что формулу (7.2) можно вывести, не используя форму-

лу (6.3). Изобразим ренту, состоящую из n платежей, на оси времени:

0 1

..........

n−1

номера платежей

По формуле (3.3) имеем: ценность первого платежа в момент 0 равна

R(1 + i)

−1

; ценность второго платежа в момент 0 равна R(1 + i)

−2

и т.д.;

ценность n-го, последнего платежа, в момент 0 равна R(1 + i)

−n

. Суммар-

ная ценность всех платежей в момент 0 (современная ценность ренты)

равна:

P V (R, n) = R(1 + i)

−1

+ R(1 + i)

−2

+ . . . + R(1 + i)

−n

Теперь применим формулу суммы первых n членов геометрической про-

грессии с первым членом b

= R(1 + i)

−1

и знаменателем q = (1 + i)

−1

Выполнив некоторые преобразования, получим формулу (7.2):

136 7. Современная ценность финансовой ренты

P V (R, n) =

− 1)

q − 1

R(1 + i)

−1

[(1 + i)

−n

− 1]

(1 + i)

−1

− 1

R(1 + i)

−1

[(1 + i)

−n

−1]

1 − (1 + i)

1 + i

= R

1 − (1 + i)

−n

= Ra

n; i

7.2. Как обеспечить получение ренты в будущем

К той же формуле (7.2) приводит и следующая задача: какую сумму

надо вложить в настоящее время под i%, чтобы иметь возможность по-

лучать сумму R в конце каждого из n периодов начисления процентов?

Графическое изображение ситуации задачи такое же, как и в предыдущем

пункте.

Чтобы получить в момент 1 сумму R, необходимо вложить в момент 0

сумму R(1 + i)

−1

. Чтобы получить в момент 2 сумму R, необходимо вло-

жить в момент 0 сумму R(1 + i)

−2

и т. д. Чтобы получить в момент n

сумму R, необходимо вложить в момент 0 сумму R(1 + i)

−n

. Эти величи-

ны совпадают с полученными в п. 7.1. Следовательно, суммируя их, как

и там, получим формулу (7.2). Но теперь эта формула выражает сумму,

которую надо вложить в момент 0, чтобы получить впоследствии n пла-

тежей, равных R каждый.

Пример 7.1. Фирма посылает служащих на учебу и желает положить

в банк, который выплачивает 10% годовых (сложных), такую сумму, что-

бы иметь возможность снимать с этого счета ежегодно по 10 000 руб. для

выплаты стипендии. Вклад должен быть исчерпан к концу пятилетне-

го срока учебы (деньги снимаются в конце каждого года). Какую сумму

фирма должна положить в банк?

Решение . Искомая сумма равна ценности в момент 0 ренты, состоя-

щей из пяти платежей по 10 000 руб. каждый, при i = 10% = 0.1. По

формуле (7.2) имеем:

P V = Ra

n; i

По Таблице 3 находим: a

5; 10%

= 3.79079. Подставив найденное значение в

7.3. Современная ценность различных рент 137

формулу, получаем ответ:

P V = 10 000×3.79079 = 37 907.90 руб.

7.3. Современная ценность различных рент

Рассмотрим современную ценность финансовых рент различного ви-

да: с начислением процентов в конце года, m раз в год, с непрерывным

начислением процентов, вечной ренты.

7.3.1. Ренты с начислением процентов в конце года

Годовая рента

Современная ценность этой ренты определяется по формуле (7.2), где

n — число лет, i — годовая ставка сложных процентов.

p -срочная рента

Используя формулы (3.3) и (6.6), находим современную ценность P V

этой ренты:

P V = S(1 + i)

−n

= Rs

(p)

n; i

(1 + i)

−n

= R

(1 + i)

− 1

p[(1 + i)

− 1]

(1 + i)

−n

= R

1 − (1 + i)

−n

p[(1 + i)

− 1]

Введем обозначение:

(p)

n; i

1 − (1 + i)

−n

p[(1 + i)

− 1]

Тогда формула для P V принимает вид:

P V = Ra

(p)

n; i

. (7.3)

Коэффициент a

(p)

n; i

можно представить в виде произведения:

(p)

n; i

1 − (1 + i)

−n

p[(1 + i)

− 1]

138 7. Современная ценность финансовой ренты

то есть верна формула:

(p)

n; i

= a

n; i

p; i

, (7.4)

где K

p; i

— коэффициент, определяемый формулой (6.7). Следовательно,

значения множителя a

(p)

n; i

можно вычислять, используя таблицу значений

n; i

(Таблица 3) и таблицу значений K

p; i

(Таблица 4).

Рента с периодом больше года

Используя формулу (3.3) и выражение для наращенной суммы S, по-

лученное при выводе формулы (6.8), найдем значение современной цен-

ности этой ренты:

P V = S(1 + i)

−n

= R

(1 + i)

−1

(1 + i)

− 1

(1 + i)

−n

= R

1 − (1 + i)

−n

(1 + i)

− 1

Разделив числитель и знаменатель последней дроби на i, получим:

P V = R

1 − (1 + i)

−n

(1 + i)

− 1

= R

n; i

r; i

Итак, современная ценность ренты с периодом больше года равна:

P V = R

n; i

r; i

. (7.5)

Для вычисления современной ценности ренты по формуле (7.5) можно

использовать Таблицу 2 и Таблицу 3.

7.3.2. Ренты с начислением процентов m раз в год

Годовая рента

Используя формулу (3.4) и выражение для наращенной суммы S, по-

лученное при выводе формулы (6.9), находим значение современной цен-

ности этой ренты:

P V = S



1 +



−nm

= R



1 +



− 1



1 +



− 1



1 +



−nm

7.3. Современная ценность различных рент 139

= R

1 −



1 +



−nm



1 +



− 1

Разделив числитель и знаменатель последней дроби на j

/m, получим:

P V = R

1 −



1 +



−nm



1 +



− 1

= R

nm;

Итак, современная ценность рассматриваемой ренты может быть вычис-

лена по формуле:

P V = R

nm;

. (7.6)

p -срочная рента

Применяем формулу (3.4) к наращенной сумме S, полученной при вы-

воде формулы (6.10):

P V = S



1 +



−nm



1 +



− 1



1 +



− 1



1 +



−nm

1 −



1 +



−nm



1 +



− 1

Разделив числитель и знаменатель на j

/m, получим:

P V =

1 −



1 +



−nm



1 +



− 1

nm;

;

Итак, современная ценность ренты в данном случае равна:

P V =

nm;

;

. (7.7)

140 7. Современная ценность финансовой ренты

Частный случай p -срочной ренты при p = m

В п. 6.4 было показано, что s

1; j

= 1, поэтому формула (7.7) при-

нимает вид:

P V = R

nm;

. (7.8)

Рента с периодом больше года

Применяем формулу (3.4) к наращенной сумме S, полученной при вы-

воде формулы (6.12):

P V = S



1 +



−nm

= R



1 +



− 1



1 +



− 1



1 +



−nm

= R

1 −



1 +



−nm



1 +



− 1

Разделив числитель и знаменатель на j

/m, получим:

P V = R

1 −



1 +



−nm



1 +



− 1

= R

nm;

mr;

Итак, современная ценность ренты в данном случае равна:

P V = R

nm;

mr;

. (7.9)

7.3.3. Рента с непрерывным начислением процентов

Годовая рента

Применяя формулу (3.6) к наращенной сумме, которая вычисляется по

формуле (6.13), получаем современную ценность рассматриваемой ренты:

P V = Se

−δn

= R

δn

− 1

−δn

= R

1 − e

−δn

− 1

Итак, современная ценность ренты равна:

P V = R

1 − e

−δn

− 1

. (7.10)

7.3. Современная ценность различных рент 141

p -срочная рента

Применяя формулу (3.6) к наращенной сумме, приведенной в форму-

ле (6.14), получаем современную ценность данной ренты:

P V = Se

−δn

δn

− 1

×e

−δn

1 − e

−δn

− 1

Таким образом, современная ценность ренты равна:

P V =

1 − e

−δn

− 1

. (7.11)

Рента с периодом больше года

Применяем формулу (3.6) к выражению наращенной суммы из фор-

мулы (6.15):

P V = Se

−δn

= R

δn

− 1

δr

− 1

−δn

= R

1 − e

−δn

δr

− 1

Современная ценность ренты равна:

P V = R

1 − e

−δn

δr

−1

. (7.12)

Приведем теперь примеры, при решении которых используются выве-

денные выше формулы.

Пример 7.2. Какую сумму необходимо положить в начальный мо-

мент в банк, чтобы иметь возможность в течение следующих 8 лет еже-

годно снимать со счета 2 500 руб., исчерпав счет полностью к концу срока.

Банк начисляет на вложенные в него деньги проценты по ставке: а) го-

довой i = 5%, б) j

= 5%, в) непрерывной δ = 5%?

Решение . Во всех случаях требуется найти современную ценность го-

довой ренты. В случае а) проценты начисляются в конце года. Применяем

формулу (7.2):

P V = Ra

n; i

= 2 500 a

8; 5%

По Таблице 3 находим a

8; 5%

= 6.46321 и подставляем в формулу:

P V = 2 500×6.46321 = 16 158.78 руб.