Бухвалов А.В. Финансовые вычисления для профессионалов. Настольная книга финансиста

Подождите немного. Документ загружается.

172 8. Некоторые операции с финансовыми контрактами

Пример 8.5. Ссуда выдается сроком на 2 года под 12% простых го-

довых. Определить доходность этой операции при следующих условиях:

а) комиссионные не взимаются; б) удерживаются комиссионные в размере

0.5% от суммы ссуды; в) удерживаются комиссионные в размере 0.5% от

суммы ссуды и срок ссуды увеличен до 4 лет.

Решение . а) Доходность операции определяем по формуле (3.10):

√

1 + ni

− 1 =

√

1 + 2×0.12 − 1 = 0.1136 = 11.36%;

б) Доходность операции определяем по формуле (8.3):

1 + ni

1 − G

− 1 =

1 + 2×0.12

1 − 0.005

− 1 = 0.1163 = 11.63%;

в) Доходность операции определяем по формуле (8.3):

1 + ni

1 − G

− 1 =

1 + 4×0.12

1 − 0.005

− 1 = 0.1044 = 10.44%.

Рассмотренный пример показывает, что для кредитора взимание ко-

миссионных увеличивает доходность сделки, а увеличение срока ссуды

уменьшает ее доходность.

3. Ссуда в размере P выдана под ставку процентов j

сроком на n лет с

удержанием комиссионных в размере G% от суммы кредита. Это означает,

что заемщик получает на руки (P −P G) и должен вернуть через n лет, со-

гласно формуле (3.2), сумму, равную P (1+j

/m)

. Кредитор вычисляет

доходность операции, исходя из условия: наращенная сумма (на реально

выданную сумму) при эффективной ставке процентов (P − P G)(1 + i

)

равна возвращаемой заемщиком через n лет сумме P (1 + j

/m)

. То

есть доходность операции i

определяется из уравнения:

(P − P G)(1 + i

)

= P



1 +



Сократив на P и разделив обе части уравнения на 1 − G, получим урав-

нение:

(1 + i

)



1 +



1 − G

8.3. Доходность контракта для кредитора 173

откуда получаем формулу для вычисления i



1 +



√

1 − G

− 1. (8.4)

Пример 8.6. Ссуда выдается на 5 лет под проценты по ставке j

= 8%.

Определить доходность этой операции при следующих условиях: а) комис-

сионные не взимаются; б) удерживаются комиссионные в размере 0.6% от

суммы ссуды; в) удерживаются комиссионные в размере 0.6% от суммы

ссуды и срок ссуды увеличен до 10 лет.

Решение . а) Доходность операции определяем по формуле (3.21):



1 +



− 1 =



1 +

0.08



− 1 = 0.08243 = 8.24%.

б) Доходность операции определяем по формуле (8.4):



1 +



√

1 − G

− 1 =

(1 + 0.02)

√

1 − 0.006

− 1 = 0.08373 = 8.37%.

в) Доходность операции определяем по формуле (8.4):



1 +



√

1 − G

− 1 =

(1 + 0.02)

√

1 − 0.006

− 1 = 0.08308 = 8.31%.

Как и в предыдущем примере замечаем, что взимание комиссионных

увеличивает эффективность сделки для кредитора, а увеличение срока

ссуды уменьшает ее эффективность.

4. Банк учитывает вексель на сумму S за n лет до срока его оплаты

по простой учетной ставке d

, удерживая при этом G% комиссионных от

выплачиваемой за вексель суммы P = S(1−nd

) (см. формулу (2.5)). Это

означает, что фактически банк выплачивает сумму, равную (P − P G).

Через n лет банк получает по векселю сумму S = P/(1 −nd

). Эта сумма

должна быть равна сумме

(P −P G)(1 + i

)

которая является суммой, наращенной на реальную плату за вексель, если

на эту сумму начисляется i

% годовых. Приравняв эти суммы, получаем

уравнение для определения эффективности сделки i

(P −P G)(1 + i

)

1 − nd

174 8. Некоторые операции с финансовыми контрактами

Решив это уравнение относительно i

, получаем формулу:

(1 − nd

)(1 − G)

− 1 . (8.5)

Пример 8.7. Банк учитывает вексель за 3 месяца до срока его оплаты

по простой учетной ставке d

= 8%. Определить доходность этой операции

при следующих условиях: а) комиссионные не взимаются; б) удержива-

ются комиссионные в размере 0.6% от суммы, выплачиваемой за вексель;

в) удерживаются комиссионные в размере 0.6% от суммы, выплачиваемой

за вексель, и период времени до оплаты векселя — 6 месяцев.

Решение . а) Доходность операции определяем по формуле (3.25):

√

1 − nd

− 1 =

0.25

√

1 − 0.25×0.08

− 1 =

= 0.0842 = 8.42%.

б) Доходность операции определяем по формуле (8.5):

(1 − nd

)(1 − G)

− 1 =

0.25

(1 − 0.25×0.08)(1 − 0.006)

− 1 =

= 0.1106 = 11.06%

в) Доходность операции определяем по формуле (8.5):

0.5

(1 − 0.5×0.08)(1 − 0.006)

− 1 = 0.0982 = 9.82%.

Мы видим, что взимание комиссионных повышает доходность учета

для банка, а увеличение срока от момента у чета до момента оплаты век-

селя уменьшает доходность учета.

5. Продавец продал товар, стоимость которого равна C, получив в

уплату несколько векселей (портфель векселей), каждый из которых вы-

дан на сумму V . Сроки оплаты этих векселей наступают через равные

промежутки времени p раз в год в течение n лет, следовательно, всего

имеется np векселей. Продавец учитывает в банке все эти векселя одновре-

менно сразу после их получения по простой учетной ставке d

. Покажем,

8.3. Доходность контракта для кредитора 175

как рассчитать доходность этой операции для банка при годовой ставке

сложных процентов i

Найдем сначала по формуле (2.5) сумму Q , которую выплатит банк,

учитывая эти np векселей:

• за вексель, погашаемый первым (через 1/p часть года), банк выпла-

чивает сумму Q

= V



1 −

×d



;

• за вексель, погашаемый вторым (через 2/p часть года), банк выпла-

чивает сумму Q

= V



1 −

×d



Продолжая аналогичным образом, получаем на последнем шаге:

• за вексель, погашаемый последним (через np/p = n лет), банк вы-

плачивает сумму Q

= V



1 −

×d



За весь портфель векселей банк выплатит сумму Q:

Q =

i=1

= V

i=1



1 −

i×d



= V

np −

i=1

Выполнив суммирование, получаем формулу:

Q = V



np −

1 + np



или

Q = V np



1 −

1 + np



. (8.6)

Погашая эти векселя, банк получает p -срочную ренту, состоящу ю из p пла-

тежей ежегодно в течение n лет по V руб. каждый. Современная цен-

ность P V этой ренты, согласно формуле (7.3), равна:

P V = V pa

(p)

n; i

176 8. Некоторые операции с финансовыми контрактами

Эффективная ставка сложных процентов i

определяется из условия

равенства современной ценности суммы, полученной банком, и современ-

ной ценности су ммы Q, выплаченной банком за портфель векселей:

Q = V pa

(p)

n; i

Следовательно, для нахождения i

требуется решить уравнение:

(p)

n; i

V p

. (8.7)

Методы решение подобных уравнений уже обсуждались в п. 7.6. Рас-

смотрим пример.

Пример 8.8. Банк учитывает портфель, состоящий из 12 векселей по

100 тыс. руб. каждый, погашаемых ежеквартально. Простая учетная став-

ка банка равна 6%. Определить доходность этой операции для банка.

Решение . Вычислим сначала сумму Q, которую банк заплатил за порт-

фель векселей. Применим формулу (8.6) при p = 4, n = 3, V = 100,

= 6%:

Q = 100×3×4



1 −

1 + 3×4

2×4

0.06



= 1 083 тыс. руб.

Для нахождения i

требуется решить уравнение (8.7), которое с учетом

данных примера и подсчитанного значения Q принимает вид:

(4)

3; i

1 083

100×4

= 2.7075.

Используя в Excel команду Подбор параметра, можно найти значение эф-

фективной ставки сложных процентов: i

= 6.62%.

6. Рассмотрим случай, отличающийся от случая 5 лишь тем, что вексе-

ля, составляющие портфель, выданы не на одинаковые суммы, а на сум-

мы, возрастающие с увеличением промежутка времени от момента учета

до момента оплаты векселя по правилу простых процентов. Точнее, если

t — номер векселя в порядке его оплаты (t = 1, . . . , np), то на t-ом вексе-

ле указана сумма V (1 + tg), где g — ставка простых процентов, а сумма

V рассчитывается по формуле V =

. Оплата покупки таким портфе-

лем векселей распространена во внешней торговле. Она называется форфе

8.3. Доходность контракта для кредитора 177

(от фр. `a forfait — поставка, подряд). Найдем доходность операции учета

такого портфеля векселей для банка.

Сначала рассчитаем сумму, которую должен выплатить банк при уче-

те этого портфеля по простой учетной ставке d%:

• за первый вексель на сумму V (1 + g) банк заплатит при учете, со-

гласно формуле (2.5), сумму, равную V (1 + g)(1 − d);

• за второй вексель на сумму V (1 + 2g ) банк платит при учете сумму,

равную V (1 + 2g)(1 − 2d);

Продолжая аналогичным образом, получаем на последнем шаге:

• за последний np-й вексель на сумму V (1 + npg) банк платит при

учете сумму, равную V (1 + npg)(1 − npd).

Сумма Q, которую банк должен заплатить при учете всего портфеля век-

селей, равна сумме всех выплат:

Q = V [(1 + g)(1 − d) + (1 + 2g)(1 − 2d) +

+ . . . + (1 + npg)(1 − npd)] =

= V (1 + g −d −dg + 1 + 2g − 2d − 4dg +

+ . . . + 1 + npg − npd − (np)

dg) =

= V [(1 + . . . + 1)

| {z }

+g(1 + 2 + . . . + np) −

−d(1 + 2 + . . . + np) − gd(1 + 4 + . . . + (np )

Далее применим известные из школьного курса формулы:

1 + 2 + . . . + k =

1 + k

k ;

1 + 4 + . . . + k

k(k + 1)(2k + 1)

С учетом этих формул выражение для Q принимает следующий вид:

Q = V



np + g

1 + np

np − d

1 + np

np − gd

np(np + 1)(2np + 1)



Преобразуем его и получим формулу:

Q = V np



1 +

g − d

(np + 1) −

(np + 1)(2np + 1)



. (8.8)

178 8. Некоторые операции с финансовыми контрактами

Обозначив через i ставку сравнения, найдем современные ценности

сумм, которые получит банк, предъявив векселя портфеля к оплате:

• для первого векселя: P V = V (1 + g)(1 + i)

−1/p

;

• для второго векселя: P V = V (1 + 2g)(1 + i)

−2/p

;

Продолжая аналогичным образом, получаем на последнем шаге:

• для np-го векселя: P V = V (1 + npg)(1 + i)

−np/p

Эффективную ставку i

естественно искать из условия равенства со-

временной ценности суммы, полученной банком при предъявлении вексе-

лей портфеля к оплате, и суммы, выплаченной банком при учете портфе-

ля векселей:

t=1

V (1 + t g)(1 + i)

−

= Q. (8.9)

Это уравнение можно решить любым из обсуждавшихся ранее методов.

Рассмотрим пример.

Пример 8.9. Банк учел по простой учетной ставке 8% годовых порт-

фель, состоящий из 6 векселей, каждый на 50 тыс. руб. плюс 4% простых

годовых. Векселя погашаются по полугодиям. Найти доходность этой опе-

рации.

Решение . Найдем по формуле (8.8) сумму, выплаченную банком при

учете портфеля, при V = 50, p = 2, n = 3, g = 4%/2 = 2% = 0.02,

d = 8%/2 = 4% = 0.04:

Q = 50×3×2



1 +

0.02 − 0.04

(3×2 + 1) −

−

0.02×0.04

(3×2 + 1)(2×3×2 + 1)



= 275.36 тыс. руб.

Вычислим суммарную современную ценность суммы, которую банк

получит при предъявлении векселей портфеля к оплате:

t=1

V (1 + t g)(1 + i)

−

t=1

50(1 + 0.02t)(1 + i)

−

8.4. Доходность потребительского кредита для продавца 179

= 50(1 + 0.02)(1 + i)

−

+ 50(1 + 0.02×2)(1 + i)

−1

+50(1 + 0.02×3)(1 + i)

−

+ 50(1 + 0.02×4)(1 + i)

−2

+50(1 + 0.02×5)(1 + i)

−

+ 50(1 + 0.02×6)(1 + i)

−3

Подставляя полученное значение в уравнение (8.9), имеем:

51(1 + i)

−

+ 52(1 + i)

−1

+ 53(1 + i)

−

+ 54(1 + i)

−2

+55(1 + i)

−

+ 56(1 + i)

−3

= 275.36.

Введем обозначение: (1 + i)

−1

= x. Тогда последнее уравнение примет

вид:

51x

+ 52x + 53x

+ 54x

+ 55x

+ 56x

= 275.36.

Решив это уравнение любым из обсуждавшихся ранее методов, найдем

значение корня уравнения: x = 0.916. Далее находим i

из условия:

(1 + i)

−1

= 0.916.

Выполнив необходимые арифметические вычисления, получаем:

= 0.0917 = 9.17%.

Такова доходность операции у чета банком данного портфеля векселей.

8.4. Доходность потребительского кредита для

продавца

В п. 2.4 были описаны принятые в практике торговли условия предо-

ставления потребительского кредита. Рассмотрим теперь вопрос о доход-

ности потребительского кредита для продавца, то есть для кредитора.

Если цена проданного товара равна Q и покупателю предоставляется на

эту сумму кредит под i

% годовых (простых) на n лет, то вся сумма, ко-

торая должна быть выплачена покупателем, равна Q(1 + ni

). Ежегодно

он должен выплачивать сумму Q(1 + ni

)/n. Если выплаты производят-

ся p раз в году равными суммами, то эти суммы являются членами p -

срочной ренты. Современная ценность этой ренты при условии, что она

выплачивается под i

процентов, согласно формуле (7.3), равна

Q(1 + ni

)

(p)

n; i

180 8. Некоторые операции с финансовыми контрактами

Естественно искать доходность кредита для продавца (эффективная

ставка сложных процентов i

) из условия равенства современной ценности

ренты, которую получит продавец, и исходной цены товара Q. Следова-

тельно, имеем равенство:

Q(1 + ni

)

(p)

n; i

= Q.

Разделив обе части этого равенства на Q, получаем уравнение для опре-

деления значения i

(p)

n; i

1 + ni

. (8.10)

Проанализируем получившиеся уравнение (8.10). Во-первых, в урав-

нение не входит цена товара Q, то есть доходность потребительского кре-

дита i

не зависит от цены товара, а зависит от ставки начисляемых про-

центов i

, срока кредита n и частоты выплаты долга в течение года p.

Во-вторых, с ростом i

и p доходность кредита возрастает, а с ростом n

доходность кредита уменьшается. Объясним, почему это действительно

так.

С ростом i

дробь

1+ni

уменьшается, а функция a

(p)

n; i

убывает по

аргументу i. Следовательно, при уменьшении значения этой функции ве-

личина i

возрастает.

С ростом n дробь

1+ni

увеличивается, что следует из следующего

равенства:

1 + ni

+ i

При увеличении n дробь

и весь знаменатель уменьшаются, следователь-

но, увеличивается значение a

(p)

n; i

и, значит, i

уменьшается.

С ростом p функция a

(p)

n; i

возрастает, а так как при фиксированных

значениях i

и n значение этой функции, согласно уравнению (8.10), долж-

но быть постоянным, то при увеличении p должно увеличиваться и i

, так

как с ростом i

эта функция убывает.

Рассмотрим пример определения доходности потребительского креди-

та для продавца.

Пример 8.10. Продавец реализовал некоторый товар за 80 тыс. руб.

и предоставил покупателю кредит на всю эту сумму на срок 5 лет. Кре-

дит должен быть погашен равными ежемесячными платежами. За него

8.5. Доходность по облигациям 181

взимаются 6% годовых (простых). Определить доходность этой операции

для продавца.

Решение . Как было замечено, доходность потребительского кредита

не зависит от суммы кредита, то есть условие, что сумма кредита равна

80 тыс. руб., при решении задачи не используется.

Чтобы определить доходность кредита для продавца (кредитора), на-

до решить относительно i

уравнение (8.10):

(12)

5; i

1 + 5×0.06

= 3.84615.

Решая это уравнение любым из описанных ранее методов, находим, что

доходность кредита i

= 11.41%.

8.5. Доходность по облигациям

Рассмотрим, как определяется доходность приобретения облигаций.

Наиболее распространена форма выпуска облигаций с купонными плате-

жами. Государство (или финансовая компания) выпускает облигации, на

которых указана их номинальная стоимость N и срок n лет, по истечении

которого облигации выкупаются эмитентом по номинальной стоимости. К

облигации прилагаются купоны, по которым ежегодно или несколько раз

в год выплачиваются проценты от номинальной стоимости облигации по

указанной на них ставке g% годовых. Покупатель, приобретая облигацию,

предоставляет государству ссуду, то есть является кредитором. Рыночная

цена облигации Q может отличаться от ее номинальной стоимости N. Ве-

личина

×100%

называется курсом облигации. Курс облигации выражен в процентах от ее

номинальной стоимости и может быть различным в различные моменты

времени.

Покупатель облигации (кредитор) имеет доход двух видов: проценты

по купонам и разность между ценой погашения облигации N и ценой при-

обретения облигации Q. Доходность приобретения облигации характери-

зуется так называемой ставкой помещения (или нормой действительной

доходности) i

: это ставка сложных процентов, при которой современная

ценность всех доходов, полученных покупателем облигации, рассчитанная