Бухвалов А.В. Финансовые вычисления для профессионалов. Настольная книга финансиста
Подождите немного. Документ загружается.
182 8. Некоторые операции с финансовыми контрактами
по ставке i
e
, равна цене покупки облигации Q. Составим уравнение для
определения i
e
.
Современная ценность номинальной стоимости облигации N, которая
будет получена покупателем через n лет, равна N (1 + i
e
)
−n
. Ежегодно
покупатель получает по купонам сумму N g. Современная ценность этой
ренты, согласно формуле (7.2), равна Nga
n; i
e
, если проценты выплачива-
ются один раз в год (годовая рента), или Nga
(p)
n; i
e
, если купонные платежи
выплачиваются равными долями p раз в год (p -срочная рента). Следова-
тельно, значение i
e
следует искать из уравнения:
N(1 + i
e
)
−n
+ N ga
n; i
e
= Q,
или уравнения:
N(1 + i
e
)
−n
+ N ga
(p)
n; i
e
= Q.
Разделив все члены этих уравнений на N и у множив на 100, получим
окончательный вид уравнений для определения значения i
e
:
((1 + i
e
)
−n
+ ga
n; i
e
)100 = Q
k
, (8.11)
((1 + i
e
)
−n
+ ga
(p)
n; i
e
)100 = Q
k
. (8.12)
Если облигация приобретена не в момент ее выпуска, то при состав-
лении уравнений (8.11) и (8.12) в качестве n следует брать число лет от
момента приобретения до момента погашения (выкупа) облигации.
Пример 8.11. Облигация куплена по курсу 95 и будет погашена че-
рез 10 лет после покупки. Проценты по облигации (купонные платежи)
выплачиваются один раз в год, в конце года, по ставке 5% годовых от но-
минальной стоимости облигации. Определить доходность приобретения
этой облигации.
Решение . Купонные платежи образуют годовую ренту, поэтому зна-
чение i
e
ищем, решая уравнение (8.11), которое в данном примере имеет
вид:
(1 + i
e
)
−10
+ 0.05
1 − (1 + i
e
)
−10
i
e
!
100 = 95.
Решив это уравнение, получаем: i
e
= 5.68%.
8.6. Стоимость привлечения кредита 183
8.6. Стоимость привлечения кредита
Государство, выпуская облигации, то есть делая заем, кроме расхо-
дов на выплату процентов и выкуп облигаций по истечении срока их
обращения, несет еще некоторые расходы N
r
по эмиссии (выплата сбо-
ров, налогов, комиссионных, оплата типографских услуг и т. п.). Стои-
мостью привлечения средств (стоимостью кредита) называют такую
ставку сложных процентов i
k
, при которой современная ценность всех
расходов организации, выпускающей заем (в расчете на одну облигацию)
равна продажной цене облигации. Если выплата процентов производится
один раз в год в конце года, то значение i
k
определяется из уравнения:
N(1 + i
k
)
−n
+ N ga
n; i
k
+ N
r
= Q.
Если выплата купонных платежей производится p раз в году, то значение
i
k
определяется из уравнения:
N(1 + i
k
)
−n
+ N ga
(p)
n; i
k
+ N
r
= Q.
Все обозначения в этих уравнениях те же, что и в п. 8.5.
Разделив все члены этих уравнений на N и умножив обе части каж-
дого уравнения на 100, получим:
((1 + i
k
)
−n
+ ga
n; i
k
)100 = Q
k
− Q
r
, (8.13)
((1 + i
k
)
−n
+ ga
(p)
n; i
k
)100 = Q
k
− Q
r
, (8.14)
где Q
r
= (N
r
/N)100 — доля (в процентах) дополнительных расходов по
выпуску облигаций от номинальной цены одной облигации.
Эти уравнения отличаются от уравнений (8.11) и (8.12) только пра-
выми частями. Если бы дополнительных расходов не было, то есть при
Q
r
= 0, стоимость привлечения средств была бы равна ставке помещения
i
e
.
8.7. Доходность портфеля облигаций
Покупатель облигаций может составить портфель, состоящий из обли-
гаций, различных по номинальной стоимости, срокам погашения и усло-
виям выплаты процентов. Причина формирования портфеля из различ-
ных финансовых инструментов лежит в идее диверсификации риска. Здесь
184 8. Некоторые операции с финансовыми контрактами
под риском мы понимаем отклонение доходности финансового инструмен-
та от среднего значения доходности. Концепция управления портфелем
фондовых активов (ценных бумаг) лежит в основе современной теории
финансов. Мы не касаемся этого сложного вопроса в нашей книге — ему
посвящена специальная литература. Однако расчет доходности портфе-
ля (в отличие от расчета риска) вполне элементарен, этим мы сейчас и
займемся.
Доходность портфеля облигаций для владельца портфеля измеряется
ставкой сложных процентов i
e
, при которой современная ценность всех
выплат, полученных по облигациям портфеля, равна сумме затрат на
приобретение облигаций, составляющих портфель. То есть величина i
e
определяется из уравнения:
X
t
R
t
(1 + i
e
)
−t
=
X
j
n
j
Q
j
, (8.15)
где
t — сроки получения выплат по облигациям,
R
t
— величина выплаты в момент t,
n
j
— число облигаций j-го вида в портфеле,
Q
j
— цена, по которой была куплена облигация j-го вида.
Пример 8.12. Приобретен портфель облигаций трех видов: А, Б и В.
Определить доходность этого портфеля для его владельца. В следующей
таблице приведены данные об облигациях, входящих в портфель, и усло-
виях приобретения этих облигаций владельцем портфеля:
Вид Коли- Номи- Срок Купон- Число Цена
обли- чество: нальная пога- ный выплат при-
гации n
j
стои- шения: доход: в год обре-
мость: t
j
g
j
тения:
N
j
(лет) (%) Q
j
А 20 200 5 10 2 180
Б 30 100 6 6 1 90
В 10 100 3 8 1 100
Решение . Стоимость приобретения этого портфеля равна:
X
j
n
j
Q
j
= 180×20 + 90×30 + 100×10 = 7 300 руб.
8.7. Доходность портфеля облигаций 185
Опишем сначала поток выплат, которые получит держатель данного
портфеля облигаций.
По облигациям вида А владелец портфеля облигаций будет получать
каждые полгода, начиная с t = 0.5 до t = 4.5 по 10%/2 = 5% от номи-
нальной стоимости каждой облигации. Таким образом, получаемая в эти
моменты сумма равна:
20×200×0.05 = 200 руб.
В момент t = 5, кроме процентов, он дополнительно получит номиналь-
ную стоимость облигаций. Таким образом, вся сумма, полученная в мо-
мент t = 5 по облигациям вида А равна:
200×20 + 200 = 4 200 руб.
По облигациям вида Б владелец портфеля облигаций получит в мо-
менты t = 1, 2, 3, 4, 5 по 6% от номинальной стоимости каждой облигации.
Таким образом, получаемая в эти моменты сумма равна:
30×100×0.06 = 180 руб.
В момент t = 6, кроме процентов, он получит номинальную стоимость
облигаций. Таким образом, вся сумма, полученная в момент t = 6 по
облигациям вида Б равна:
30×100 + 180 = 3 180 руб.
По облигациям вида В владелец портфеля облигаций получит в мо-
менты t = 1 и t = 2 по 8% от номинальной стоимости облигации. Таким
образом, получаемая в эти моменты сумма равна:
10×100×0.08 = 80 руб.
В момент t = 3, кроме процентов, он получит номинальную стоимость
облигаций. Таким образом, вся сумма, полученная в момент t = 3 по
облигациям вида В равна:
10×100 + 80 = 1 080 руб.
186 8. Некоторые операции с финансовыми контрактами
Для проведения вычислений по формуле (8.15) удобно использовать
следующую таблицу:
Чис- Выплаты по об- Об- R
t
(1 + i)
−t
ло лигациям (руб.) щие
лет вып- i = i = i =
t А Б В латы 10% 11% 10.6%
R
t
1 2 3 4 5 6 7 8
0.5 200 – – 200 190.60 189.80 190.20
1.0 200 180 80 46 0 418.14 414.46 415.84
1.5 200 – – 200 173.40 171.00 172.00
2.0 200 180 80 46 0 379.96 373.52 376.28
2.5 200 – – 200 157.60 154.00 155.40
3.0 200 180 1080 1460 1 096.46 1067.26 1078.94
3.5 200 – – 200 143.20 138.80 140.60
4.0 200 180 – 380 259.5 4 250.42 253.84
4.5 200 – – 200 130.20 125.00 127.00
5.0 4200 180 – 4380 2719.98 2597.34 2645.52
6.0 – 3180 – 3180 17 93.52 1701.30 1736.28
В столбце 5 приведенной выше таблицы записаны величины R
t
— сум-
марные выплаты, которые владелец портфеля облигаций получит в мо-
мент t по всем облигациям. Эти суммы образуют поток выплат.
Введем обозначения:
X
t
R
t
(1 + i
e
)
−t
= f(i
e
),
X
j
n
j
Q
j
= Q.
В этих обозначениях уравнение (8.15) примет вид:
f(i
e
) = Q , или f(i
e
) = 7 300.
Вычислим значение f(i
e
) при i
e
= 10% и i
e
= 11%:
f(10%) = 7 462.6 , f(11%) = 7 182.9.
Промежуточные вычисления представлены в столбцах 6–7 приведенной
выше таблицы.
Упражнения 187
Из монотонности функции f(i
e
) следует, что решение находится где-то
между этими значениями. Применим любой из описанных ранее методов
для нахождения корня уравнения и получим:
f(10.6%) = 7 291.9.
Следовательно, если точность вычислений устраивает, i
e
= 10.6%. Заме-
тим, что именно это значение i
e
находит и команда Подбор параметра в
Excel.
Упражнения
1. Фирма
”
Химик“ продала 5 т химикатов фермеру з а 300 000 руб., заключив
контракт, по кото рому фермер обязался выплатить ей эту сумму 6 рав-
ными ежемесячными вы платами по 50 000 руб. Желая получить деньги
немедленно, фирма продала этот контракт банку, получающему на ссу-
жаемые деньги проценты по ставке j
12
= 8 %. Какую сумму заплатил банк
фирме за контракт?
2. Акционерное общество приобрело у строит е льной компании комплекс до-
мов за 5 0 млн. руб., обязавшись оплатить его ра вными ежегодными плате-
жами в течение 25 лет, выплачивая за долг 5% годовых. Компания желает
получить деньги немедленно и продает этот контракт банку, который по-
лучает на ссуженные деньги 8 % годовых. Сколько должен заплатить банк
за этот контракт?
3. Компания
”
Шахтер“ собирается купить шагающий экскаватор, который
она может приобрести на одном из двух за водов. Перв ы й завод продает
экскаватор за 15 млн. руб. и требует 2 авансовых платежа по 2 млн. руб.
каждый: первый — в момент заключения контракта на покупку, второй —
через год после этог о. Поставка экскаватора осуществляется после второго
авансового платежа. Кредит дается на 4 г ода, считая с момента постав-
ки трактора, под 5% годовых и погашается единовременным платежом в
конце срока кредита. Второй завод продает экскаватор за 18 млн. руб.,
требует один авансовый платеж в 3 млн. руб. в момент заключения кон-
тракта, поставляет экскаватор немедленно, как только сделан авансов ый
платеж. Покупателю предоставляется кредит на 5 лет, начиная с момента
покупки, под 3% годовых, который погашается единовременным плате-
жом в конце срока кредита. Какой контракт выгоднее для покупателя?
Сравнение произведите по ставке сравнения i = 10%.
4. На сколько лет должен увеличить срок кредита второй завод (из преды-
дущего упражнения), чтобы компании стало выгоднее купить экскаватор
у него?
188 8. Некоторые операции с финансовыми контрактами
5. Покажите, что в условиях упра жнения 3 при уменьшении ставки процен-
тов, начисляемых вторым за водом, выгодность контракта с этим заводом
повышается, но даже если эти проценты вообще не начисляются, контракт
с первым заводом остается для компании выгоднее.
6. Фирма желает построить здание под офис. Она получила предложение
от двух строитель ных организаций построить подходящее для нее здание.
Первое здание сто ит 20 млн. руб., строители требуют два авансовых пла-
тежа по 5 млн. руб.: первый — в момент заключения контракта, вто рой
— через 2 года после этого. Гото вое зда ние сдается после второго авансо-
вого платежа и на оставшу юся сумму предоставляется кредит на 3 года
под 6% годовых, который должен погашаться равными ежегодными пла-
тежами. Второе здание стоит 22 млн. руб. Строит е ли желают получить
три авансовых платежа по 2 млн. руб.: первый — в момент заключения
контракта, второй—через год и третий —еще через год. Готовое здание
сдается после третьего авансовог о платежа и на оставшуюся сумму стро-
ители предоставляют фирме кредит на 5 лет под 4% годовых, который
должен погашать ся равными ежегодными срочными уплатами. Какой кон-
тракт выгоднее для фирмы? Сравнение произведите по ставке сравнения
i = 10%.
7. Первая строите льная организация из описанных в предыдущем упражне-
нии, желая победить в конкурсе с о второй организацией, увеличивает сро к
кредита до 5 лет. Одержит ли первая организация победу в конкурсе?
8. Первая из двух организаций, описанных в упражнении 6, изменяет кон-
тракт, требуя только один ав ансовый платеж в 10 млн. руб . через два года
после заключения контракта в момент сдачи готового здания. Станет ли
при этом контракт с первой организацией выгоднее для фирмы-заказчика,
чем со второй?
9. Решите предыдущее упра жнение, ес ли первая организация треб ует только
одного авансового платежа в 10 млн. руб. через год после заключения
контракта.
10. Хозяин рыболовецкой организации ищет судостроитель ную фирму, ко-
торая может построить для нее с удно. По с тупили предложения от двух
фирм. Обе берутся постро ить нужное судно за 2 года. Ц е на судна пер-
вой фирмы — 8 млн. руб., фирма требует четыре авансовых платежа по
1 млн. руб.: первый — в момент заключения контракта, второй — через
полгода, третий — еще через полгода и четвертый — еще через полгода.
На остальную сумму в момент сдачи судна фирма открывает кредит на
2 года под 6% годовых, который должен погашаться равными срочными
уплатами через каждые полгода. Вторая фирма требует за судно 10 млн.
руб. и до вольствуется одним а вансовым плате жом в 5 млн. руб. в момент
сдачи судна. На оставшуюся сумму фирма предоставляет рыболовам кре-
дит на 4 года под 5% годовых, который должен быть в ыплачен равными
Упражнения 189
ежегодными срочными уплатами. Какой контракт выгоднее для рыбаков?
Ставка сравнения — 10%.
11. Станет ли контракт с о второй фирмой из предыдущего упражнения вы-
годнее, чем с первой, если в контракт со второй фирмой внести одно из
следующих изменений:
а) срок кредита увеличивае тся до 8 лет;
б) проценты за кредит уменьшаются до 3% годовых;
в) цена судна уменьшается до 9 млн. руб.;
г) одновременно цена судна уменьшается до 9 млн. руб., а срок кредита
увеличивается до 8 лет?
12. Банк выдал ссуду фермеру на 5 лет под 20% просты х годовых. Какова
доходность для банка этой операции, если:
а) комиссионные не взимаются,
б) удерживаются комиссионные в размере 0.2% о т суммы ссуды,
в) при условии б) срок ссуды 8 лет?
13. Банк выдал ссуду торговой организации на 2 года под сложные проценты
по ставке j
4
= 1 2%. К акова доходность для ба нка это й операции, если:
а) комиссионные не взимаются,
б) удерживаются комиссионные в размере 0.5% о т суммы ссуды,
в) при условии пункта б) срок ссуды 3 года?
14. Банк учитывает вексель за 6 месяцев до срока его оплаты по простой
учетной ставке d
s
= 5%. Определить доходность этой операции для банка,
если:
а) комиссионные не удерживаются,
б) удерживаются комиссионные в размере 0.3% от суммы, выплачивае-
мой за вексель,
в) удерживаются комиссионные в размере 0.3% от суммы, выплачивае-
мой за вексель, и период времени до оплаты векселя — 9 месяцев?
15. Банк учитывает портфель, состоящий из 8 векселей по 500 руб. каждый,
погашаемых один з а другим с интервалом в один месяц. Учетная став-
ка банка — 4% годовых (простых). Какую сумму выплатит банк за этот
портфель?
16. Решите предыдущее упражнение, если учетная ставка банка равна 7% го-
довых (простых).
17. Какова доходность для банка операции, описанной в упражнении 15?
190 8. Некоторые операции с финансовыми контрактами
18. Какова доходность для банка операции, описанной в упражнении 16?
19. Банк учел по ставке 4% годовых (простых) портфель, состоящий из 5 век-
селей, каждый по 1 тыс. руб ., причем по каждому дополнительно выплачи-
вается 6% годовых (простых), которые погашаются поквартально. Какую
сумму выплатил банк за этот по ртфель?
20. Решите предыдущее упражнение, если учетная ставка банка равна 10% го-
довых (простых).
21. Какова доходность для банка операции, описанной в упражнении 19?
22. Какова доходность для банка операции, описанной в упражнении 20?
23. Домостроительная фирма продала дом за 12 млн. руб., предоставив по-
купателю пот ребительский кредит на 3 года, который должен быть пога-
шен ежегодными равными выпла тами. За кредит взимается 10% годовых
(простых). Определить доходность э той операции для домостроите льной
фирмы.
24. Решите предыдущее упражнение, если кредит выдан: а) на 5 лет, б) на
10 лет, в) на 20 лет. Как изменяется доходность потребительского кредита
для кредитора с увеличением срока кредита?
25. При каком сроке (в целых годах) доходность потребительского кредита,
описанного в упражнении 23, наибольшая?
26. Магазин продал автомобиль за 6 млн. руб., получив в момент продажи
2 млн. руб. и предоставив покупателю кредит на 4 млн. руб. под 8% годо-
вых (просты х), который покупатель должен погасить в течение трех лет
равными уплатами по полугодиям. Определить доходность этой сделки
для магазина.
27. Решите предыдущее упражнение, если покупатель выплачивает кредит
равными поквартальными уплатами. Как влияет частота уплат на доход-
ность кредита для кредитора?
28. Решите упражнение 26 при условии, что срок кредита — 5 лет, и при усло-
вии, что срок кредита — 10 лет. Как влияет срок кредита на доходность
операции для кредитора?
29. Докажите, что с ростом ставки процентов (простых), под которые предо-
ставляется потребительский кредит, доходность кредита для кредитора
возрастает.
30. В упражнении 28 кредитор, уве личивая с рок кредита с трех до пяти лет,
увеличивает его доходность. На сколько он может уменьшить взимаемый
за кредит процент, чтобы доходность сделки для него осталась такой же,
какой она была до увеличения срока кредита, то есть такой же, какой она
была вычислена при решении упражнения 26?
Упражнения 191
31. Облигация куплена по курсу 90 и будет погашена через 8 лет после покуп-
ки. Купонные платежи выплачиваются один раз в год по ставке 6% годо-
вых. Определите доходность этой покупки.
32. Решите упражнение 31 , если купонные платежи выплачиваются четыре
раза в год равными долями (при то й же годовой ставке 6%).
33. Решите упражнение 31, е с ли купонные платежи выплачиваются ежеме-
сячно равными долями (при той же годовой ставке 6%).
34. Казначейство выпустило облигации. Номинальна я цена каждой из них —
1 0 00 руб. и срок — 15 лет. Ежегодно по облигациям выплачивается 5% ку-
понных платежей (от номинальной цены облигации). Курс продажи обли-
гаций равен 95. Дополнительные расходы по выпуску облигации равны 3%
от ее номинальной стоимости. Определите стоимость привлечения средств
(цену кредита).
35. Решите упражнение 34, если дополнительные расходы составляют 5% но-
минальной стоимости облигации. Покажите, как изменяется цена привле-
чения средств (цена кредита) с увеличением дополнительных расходов по
выпуску облигаций?
36. Г-н Иванов приобрел портфель облигаций, сост оящий из облигаций четы-
рех видов: А, Б, В, Г. В следующей таблице приведены данные об о блига-
циях, составляющих портфель , и об условиях их приобретения:
Вид Коли- Но ми- Срок Купон- Число Цена
обли- чество нальная по га- ный выплат при-
гации обли- стои- шения: доход: в год обре-
гаций: мость: t
j
g
j
тения:
n
j
N
j
(лет) (%) Q
j
А 10 500 10 6 2 400
Б 20 300 8 12 4 300
В 15 1000 5 15 2 1200
Г 30 200 6 8 1 180
Определите доходность э того портфеля для его владельца.