Бухвалов А.В. Финансовые вычисления для профессионалов. Настольная книга финансиста

Подождите немного. Документ загружается.

212 9. Принцип отсутствия арбитражных возможностей

3-я облигация:

−b

0 1 2 3

периоды

4-я облигация:

+ b

− N

N + D

0 1 2 3 4

периоды

В момент 0 инвестор тратит на покупку этого пакета из четырех бес-

купонных облигаций сумму N. В моменты 1, 2 и 3 он получает доход,

равный D, а в момент 4 он получает сумму N + D.

Таким образом, инвестор получает от составленного пакета бескупон-

ных облигаций тот же доход и в те же сроки, что и от одной купонной

облигации.

Будем говорить, что купонная облигация и пакет бескупонных облига-

ций являются равноценными, если по ним инвестор получает одинаковый

доход в одни и те же сроки. Из приведенного примера ясно, что для данной

купонной облигации существует бесконечно много равноценных пакетов

бескупонных облигаций, так как в качестве цен приобретения облигаций

подходят любые положительные числа b

, b

, удовлетворяющие нера-

венству b

+ b

< N.

Арбитражная операция будет невозможна, если доходность купонной

облигации и равноценного пакета бескупонных облигаций будут равны.

Если в какой-либо момент доходность купонной облигации не равна до-

ходности равноценного пакета бескупонных облигаций, то возникает воз-

можность арбитражной операции.

Из определения доходности следует, что рыночная цена облигации или

другой ценной бумаги обратно пропорциональна ее доходности.

Если доходность купонной облигации выше доходности равноценного

пакета бескупонных облигаций, то арбитражер покупает купонную об-

лигацию и продает равноценный пакет бескупонных облигаций . При этом

арбитражер получает прибыль, так как проданный им пакет бескупонных

облигаций имеет большую рыночную цену, чем купонная облигация.

Если доходность купонной облигации, которую имеет инвестор, ниже

доходности равноценного пакета бескупонных облигаций, то он продаст

купонную облигацию и купит равноценный пакет бескупонных облигаций.

При этом он получит арбитражный доход, так как на рынке купонная

облигация в этом случае дороже данного пакета.

9.5. Операции с облигациями 213

Введем следующие понятия.

Рыночной (спот) процентной ставкой r

для периода в t лет назовем

доходность бескупонной облигации, до погашения которой ос талось t лет.

Форвардной процентной ставкой называется ставка доходности беску-

понной облигации в будущем периоде времени, рассчитанная по ставкам

предыдущих периодов. Покажем, как рассчитать форвардную ставку, при

которой арбитражная операция с облигациями будет невозможна.

Пример 9.20. Рыночная ставка r

на один год равна 10%, рыночная

ставка r

на два года равна 12%. Какова должна быть форвардная став-

ка r на три года, чтобы арбитражная операция с купонной облигацией,

номинальной стоимости 100 руб. и до погашения которой осталось 3 го-

да, была невозможна? Купонный доход равен 6% в год, рыночная цена

облигации — 92 руб.

Решение . Арбитражная операция невозможна, если доходность дан-

ной купонной облигации и равноценного пакета бескупонных облигаций

одинаковы. Это будет выполнено, если современная ценность этого пакета

равна цене в настоящий момент купонной облигации, то есть, 92 ру блям.

Опишем пакет из трех бескупонных облигаций, равноценный данной

купонной облигации. Из условий примера следует, что номинальная цена

первой и второй облигаций — 6 рублей, третьей — 106 рублей.

Рыночная ставка r

на один год равна 10%, поэтому рыночная цена первой

бескупонной облигации в момент 0 равна:

1 + r

1 + 0.1

= 5.4545руб.

Рыночная ставка r

на два года равна 12%, поэтому рыночная цена второй

бескупонной облигации в момент 0 равна:

(1 + r

)

(1 + 0.12)

= 4.7832руб.

Теперь мы можем определить рыночную цену третьей бескупонной обли-

гации в момент 0:

92 − (5.4545 + 4.7832) = 81.7623 руб.

Изобразим потоки платежей, связанных с этим пакетом бескупонных об-

лигаций, графически (цены облигаций указаны с точностью до копеек):

214 9. Принцип отсутствия арбитражных возможностей

1-я облигация:

−5.45

0 1

t лет

2-я облигация:

−4.79

0 1 2

t лет

3-я облигация:

−81.76

106

0 1 2 3

t лет

Очевидно, что этот пакет бескупонных облигаций равноценен данной ку-

понной облигации: за него в момент 0 заплачено 92 руб., в каждый из

трех лет получен доход 6% (6 руб.), а в конце третьего года возвращена

и номинальная цена облигации — 100 руб. Современная ценность этого

пакета в момент 0 будет равна сумме:

1 + 0.1

(1 + 0.12)

106

(1 + r)

Форвардная ставка r является корнем уравнения:

1 + 0.1

(1 + 0.12)

106

(1 + r)

= 92.

Это уравнение равносильно уравнению:

5.4545 + 4.7832 +

106

(1 + r)

= 92.

Решая это уравнение, находим значение форвардной ставки r на три года:

r = 0.0904 ≈ 9%.

Запишем в общем виде уравнение, определяющее форвардную ставку,

исключающую возможность арбитражной операции с данной купонной

облигацией и равноценным пакетом бескупонных облигаций.

Пусть до погашения купонной облигации осталось t периодов, в каж-

дый из которых происходит оплата купонов. Номинальная цена облига-

ции — N, купонные платежи равны D

, . . . , D

. Известны рыночные

9.5. Операции с облигациями 215

ставки процента для бескупонных облигаций r

, r

, . . . , r

t−1

, когда срок

до погашения облигации равен 1, 2, . . . , t − 1 год соответственно. Цена

купонной облигации в настоящий момент равна P . Современная ценность

в момент 0 равноценного этой облигации пакета бескупонных облигаций

равна сумме:

1 + r

(1 + r

)

+ ··· +

t−1

(1 + r

t−1

)

t−1

N + D

(1 + r)

Значение форвардной процентной ставки r должно определяется из урав-

нения:

1 + r

(1 + r

)

+ ··· +

t−1

(1 + r

t−1

)

t−1

N + D

(1 + r)

= P. (9.8)

Рассмотрим сначала частный случай этого уравнения. Пусть в насто-

ящий момент рыночная ставка процентов для бескупонной облигации на

1 год равна r

, на 2 года — r

. Какова должна быть форвардная став-

ка r на 1 год в начале второго года, чтобы арбитражная операция была

невозможна?

Если инвестор покупает бескупонную облигацию, номинальная стои-

мость которой равна N и которая выпущена на два года, то в начале

двухлетнего периода он должен заплатить за нее сумму:

= N

(1 + r

)

Инвестор может поступить иначе: купить в настоящий момент беску-

понную облигацию сроком в 1 год, погасить ее через год и на полученные

деньги купить в начале второго года новую облигацию. Какова должна

быть форвардная ставка r на один год для новой облигации, чтобы инве-

стор получил за два года тот же доход, что и раньше, и тем самым была

исключена возможность арбитражной операции?

Во втором случае доход инвестора через два года будет равен N, если

r удовлетворяет уравнению:

N = N

(1 + r

)(1 + r).

Подставив значение N

в последнее уравнение, получим равенство:

N = N

(1 + r

)

(1 + r

)(1 + r),

216 9. Принцип отсутствия арбитражных возможностей

из которого получаем формулу для r:

r =

(1 + r

)

1 + r

− 1. (9.9)

Пример 9.21. Рыночная ставка процента для бескупонной облигации

на один год равна 8%, на два года — 12%. Найдем форвардную ставку r

на 1 год в начале второго года, исключающую арбитражную операцию.

Решение . Форвардную ставку r определяем по формуле (9.9):

r =

(1 + 0.12)

1 + 0.08

− 1, откуда r = 0.1615 ≈ 16.5%.

Рассмотрим теперь общую ситуацию. Пусть в момент 0 рыночные став-

ки процента для бескупонной облигации со сроком выкупа t лет равны r

(t = 1, . . . , n). Выясним, какова должна быть форвардная ставка r для

бескупонной облигации, эмитированной в момент n − 1 сроком на 1 год.

Изобразим эту ситуацию на рисунке:

n−1

1 2

.........

n − 1 n

t лет

Форвардная ставка r определяется равенством доходов инвестора за n лет

от вложения денег в момент 0 на n лет (нулевая стратегия) и какой-либо

другой стратегии.

Нулевая стратегия. Инвестор, чтобы получить в момент n сумму

N, вкладывает в момент 0 сумму N

, которая определяется по формуле:

(1 + r

)

Доход инвестора при этом равен N − N

9.5. Операции с облигациями 217

Поставим условием, чтобы при любой другой стратегии вложения де-

нег инвестор получил в момент n сумму N , вложив в момент 0 сумму N

Рассмотрим две возможные стратегии.

Первая стратегия. Инвестор вкладывает в момент 0 сумму N

сро-

ком на n −1 год. Тогда в конце n − 1-ого года он получит сумму, равную

(1 + r

n−1

)

n−1

Полученные деньги он вкладывает в момент n−1 на 1 год под форвардную

ставку r. При этом его доход будет равен:

(1 + r

n−1

)

n−1

(1 + r).

Согласно принятому условию, этот доход должен быть равен доходу, по-

лученному при реализации нулевой стратегии, то есть форвардная ставка

r определяется из у равнения:

N = N

(1 + r

n−1

)

n−1

(1 + r).

Подставив формулу для N

из нулевой стратегии, получим равенство:

N =

(1 + r

)

(1 + r

n−1

)

n−1

(1 + r),

откуда получаем формулу для значения r:

r =

(1 + r

)

(1 + r

n−1

)

n−1

− 1. (9.10)

Вторая стратегия. В момент 0 инвестор вкладывает сумму N

сро-

ком на t

лет (t

< n). В момент t

он получает сумму

(1 + r

)

Эту сумму он вкладывает на оставшиеся n −t

лет под форвардную став-

ку r, которая имеет место в момент t

для бескупонной облигации, до

погашения которой остается n − t

лет. Изобразим эту ситуацию на оси

времени:

t лет

218 9. Принцип отсутствия арбитражных возможностей

Следуя такой стратегии, в момент n инвестор получит сумму, равную

(1 + r

)

(1 + r)

n−t

Согласно принятому условию, эта сумма должна быть равна N , то есть

форвардная ставка r определяется уравнением:

N = N

(1 + r

)

(1 + r)

n−t

откуда получаем формулу для значения r:

r =

n−t

(1 + r

)

(1 + r

)

− 1. (9.11)

Заметим, что формула (9.9) является частным случаем формулы (9.11)

при t

= n − 1.

Пример 9.22. Рыночная ставка процента для бескупонной облигации

со сроком выкупа один год равна 10%, два года — 11%, три года — 12%,

четыре года — 14%. Найдем форвардную ставку в двух случаях:

а) инвестор вкладывает свои деньги в начале первого года на 3 года и

полученную сумму вкладывает в начале четвертого года на 1 год; какова

должна быть форвардная ставка в начале четвертого года для бескупон-

ных облигаций со сроком выкупа 1 год?

б) инвестор вкладывает свои деньги в начале первого года на 2 года и

полученную сумму вкладывает в начале третьего года на 2 года; какова

должна быть форвардная ставка в начале третьего года для бескупонных

облигаций со сроком выкупа 2 года?

Решение . а) В этом случае n = 4, r

= 12%, r

= 14%. Находим r по

формуле (9.10):

r =

(1 + 0.14)

(1 + 0.12)

− 1 =

1.68996

1.10493

−1 = 0.20217 = 20.22%.

б) В этом случае n = 4, t

= 2, r

= 14%, r

= 11%. По формуле (9.11)

находим r:

r =

4−2

(1 + 0.14)

(1 + 0.11)

−1 =

1.2996

1.11

− 1 = 0.1708 = 17.08%.

9.6. Используем Excel 219

9.6. Используем Excel

В Excel имеется много функций для выполнения расчетов и решения

задач, связанных с анализом ценных бумаг. Большинство из них имеют

аргументы, описание которых дано ниже в таблице.

Аргумент Назначение

базис способ вычисления дня:

0 (или опущен) — US 30/360

1 — фактический/фактический

2 — фактический/360

3 — фактический/365

4 — европейский 30/360

купон годовая процентная ставка для купонов

частота количество выплат по купонам в год:

1 — раз в год

2 — раз в полгода

4 — раз в квартал

сумма объем инвестиции в ценные бумаги

дата_вып дата выпуска ценной бумаги

дата_первой_выпл дата первой выплаты процентов

по ценной бумаге

дата_вступл дата погашения ценной бумаги

(окончания действия) или выкупа ее у инвестора

дата_согл дата соглашения по ценным бу магам

(выплата их стоимости при покупке)

номинал номинальная стоимость (п о умолчанию 100 руб.)

цена цена ц енной бумаги за 100 руб. нариц ательной стоимости

на момент покупки

ставка годовая ставка на момент выпуска ценных бумаг

погашение цена ценной бумаги за 100 руб. нарицательной стоимости

на момент погашения

доход годовой доход по ценным бумагам

При задании аргументов-дат надо придерживаться следующего пра-

220 9. Принцип отсутствия арбитражных возможностей

вила: все даты должны быть заданы в числовом формате

. Например,

дату 22 августа 1998 г. надо ввести как целое число 36029, а не в виде

22.08.98. Но не пугайтесь, так придется поступать только, если вы вво-

дите дату в явном виде (как аргумент-константу). Поэтому внесите эту

дату в любом допустимом для дат формате (например, 22/08/98) в сво-

бодную ячейку, а в качестве аргумента укажите адрес этой я че йки. Excel

автоматически преобразует дату в числовой формат. Напомним, что есть

несколько способов узнать числовой эквивалент даты — например, вос-

пользоваться функцией ДАТА.

В связи с тем, что в ряде стран курсы ценных бумаг (и ряд других

финансовых показателей) записываются как смешанные числа, дробная

часть которых правильная дробь

, а в других странах дробная часть этих

же величин записывается как десятичная дробь, имеется две функции для

преобразования одной формы записи в другую.

Функция РУБЛЬ.ДЕС преобразует цену, выраженную в виде обыкно-

венной дроби, в цену в виде десятичной дроби. Например, если цена равна

, чтобы перевести ее в десятичную дробь, надо написать формулу:

=РУБЛЬ.ДЕС(5.11;16)

Получим результат, равный 5.6875. Обратное преобразование выполнит

функция РУБЛЬ.ДРОБЬ(5.6875;16).

Обратите внимание, что при задании числителя и знаменателя ариф-

метической дроби должно указываться одинаковое число цифр. Напри-

мер, если цена равна 5

, то в формуле следует написать:

=РУБЛЬ.ДЕС(5.01;16)

Запись =РУБЛЬ.ДЕС(5.1;16) будет воспринята как 5

, и результат будет

равен 5.6250 (вместо 5.0625).

Далее приведена таблица, в которой, как и ранее, указаны имя функ-

ции (в русифицированной и англоя зычной версиях), ее аргументы и вы-

числяемая величина. В этой таблице приведены не все функции, имеющи-

еся в Excel и связанные с расчетами и анализом ценных бумаг, а только те,

которые имеют непосредственное отношение к материалу, изложенному в

этом разделе.

Подробнее об этом можно прочесть в Приложении А.

В этом случае знаменатель дроби является степенью числа 2 и не превосходит 32.

9.6. Используем Excel 221

Функция Аргументы Значение

РУБЛЬ.ДЕС (дробь;знаменатель) цена в виде

DOLLARDE десятичной дроби

РУБЛЬ.ДРОБЬ (десятичн_числ; цена в виде

DOLLARFR знаменатель) обычной дроби

ЦЕНА (дата_согл;дата_вступл; цена за 100 рублей

PRICE ставка;доход;погашение; нарицательной

частота;базис) стоимости ценной бумаги

ДОХОД (дата_согл;дата_вступл; годовая ставка дохода

YIELD ставка;цена;погашение; по ценной бумаге

частота;базис)

НАКОПДОХОД (дата_вып; накопленный доход

ACCRINT дата_первой_выпл; по ценной бумаге

дата_согл;куп он;номинал;

период;базис)

НАКОПДОХОДПОГАШ (дата_вып;дата_вступл; накопленный доход

ACCRINTM купон;номинал;базис) по ценной бумаге

к дате вступления

СКИДКА (дата_согл;дата_вступл; норма скидки

DISC цена;погашение;базис)

ДОХОДСКИДКА (дата_согл;дата_вступл; годовая ставка дохода

YIELDDISC цена;погашение;базис по ценной бумаге

ЦЕНАСКИДКА (дата_согл;дата_вступл; цена за 100 рублей

PRICEDISC скидка;погашение;базис) нарицательной

стоимости ценной бумаги

Рассмотрим теперь группу функций, которые предназначены для рас-

четов по ценным бумагам с купонами и погашением в конце срока дей-

ствия ценной бумаги по нарицательной стоимости (номиналу) или иной

выкупной цене.

Купонные облигации имеют три вида доходности: купонную (объяв-

ляется при выпуске облигации), текущую (на момент покупки), полную

(на момент погашения).

Функция ЦЕНА определяет стоимость облигации (точнее 100 руб. ее

нарицательной стоимости) на момент ее покупки, исходя из ее ожидаемой

доходности на момент покупки (аргумент доход).

Функция ДОХОД вычисляет ставку годового дохода от операции с

ценной бумагой. Доход состоит из купонных платежей и разницы курсов