Бухвалов А.В. Финансовые вычисления для профессионалов. Настольная книга финансиста

Подождите немного. Документ загружается.

202 9. Принцип отсутствия арбитражных возможностей

Пример 9.10. Пусть в условиях примера 9.9 безрисковая ставка про-

цента на 3 месяца равна 7%, а на 6 месяцев — 9%. Найдем цену поставки.

Решение . Применяя формулу (9.3) при r

= 0.07, r

= 0.09, получим:

K = (100 − 15×(1 + 0.07)

−0.25

− 15×(1 + 0.09)

−0.5

)(1 + 0.09)

0.5

= (100 − 14.75 − 14.37)×1.04 = 73.72 руб.

Сравнивая решения примеров 9.9 и 9.10 между собой, замечаем, что

увеличение безрискового процента увеличивает цену поставки.

Если цена поставки отличается от цены, вычисленной по формулам (9.2)

и (9.3), то можно провести арбитражную операцию. Приведем примеры.

Пример 9.11. Пусть в условиях примера 9.8 цена поставки установ-

лена выше 72.77 руб., например, 73 руб. Покажем, что продавец А может

совершить арбитражную операцию.

Решение . Продавец А заключает форвардный контракт, обязуясь по-

ставить акцию, описанную в примере 9.8, через 6 месяцев за 73 руб. Одно-

временно он занимает 100 руб. и покупает такую акцию. Из этих 100 руб.

он 14.78 руб. занимает только на три месяца. Эта часть долга через 3 ме-

сяца будет равна:

14.78×(1 + 0.06)

0.25

= 15 руб.

Продавец А отдаст эту часть долга из полученного дивиденда. Другую

часть долга, равную

100 − 14.78 = 85.22 руб. ,

он занимает на 6 месяцев. Через 6 месяцев этот долг станет равен:

85.22×(1 + 0.06)

0.5

= 87.73 руб.

В этот момент продавец А получает 15 руб. дивидендов и продает акцию

по форвардному контракту за 73 руб., то есть получает 15 + 73 = 88 руб.

и отдает долг 87.73 руб. Доход продавца А равен:

88 − 87.73 = 0.27 руб.

9.3. Цена поставки 203

Пример 9.12. Покажем, что если в условиях примера 9.8 цена постав-

ки установлена ниже 72.77 руб., например, 72 руб., то покупатель Б может

совершить арбитражную операцию.

Решение . Покупатель Б занимает у брокера данную акцию, обязуясь

выплатить брокеру дивиденды, которые выплачиваются по этой акции,

и вернуть акцию через 6 месяцев. Затем Б продает акцию за 100 руб. и

заключает форвардный контракт, обязуясь купить акцию через 6 месяцев

за 72 руб. Из полученных 100 руб. Б инвестирует 14.78 руб. на три месяца

под безрисковый процент, равный 6%, чтобы выплатить брокеру первый

дивиденд, равный 15 руб. За инвестированные 14.78 руб. через три месяца

Б получит сумму, равную

14.78×(1 + 0.06)

0.25

= 15 руб.

Остальную часть занятых денег, равную

100 − 14.78 = 85.22 руб. ,

покупатель Б инвестирует на 6 месяцев под 6% годовых. В конце срока

действия контракта покупатель Б получает от инвестиций сум му, равную

85.22×(1 + 0.06)

0.5

= 87.74 руб.

Из этих денег он покупает акцию за 72 руб., отдает ее брокеру и выпла-

чивает брокеру второй дивиденд, равный 15 руб. В результате он получит

доход, равный

87.74 −15 −72 = 0.74 руб.

Аналогичные арбитражные операции можно производить и в услови-

ях, когда безрисковая ставка изменяется в течение действия контракта.

Пример 9.13. Пусть в условиях примера 9.9 цена поставки больше

73.72 руб., например, 75 руб. Безрисковая ставка процента равна 7% за

3 месяца и 9% за 6 месяцев. Покажем, что продавец А может провести

арбитражную операцию.

Решение . Продавец А заключает форвардный контракт, обязуясь по-

ставить акцию через 6 месяцев за 75 руб. Одновременно он занимает

100 руб. и покупает такую акцию. Из 100 руб. он занимает 14.75 руб.

на три месяца под 7%. Эта часть долга через 3 месяца станет равна

14.75×(1 + 0.07)

0.25

= 15 руб.,

204 9. Принцип отсутствия арбитражных возможностей

и А отдаст эту часть долга, получив первый дивиденд. Остальной долг,

равный

100 − 14.75 = 85.25 руб. ,

он занимает на 6 месяцев под 9% годовых. Через 6 месяцев эта часть долга

станет равна

85.25×(1 + 0.09)

0.5

= 89.00 руб.

В этот момент продавец А получает 15 руб. дивидендов, продает акцию

за 75 руб. и отдает долг, равный 89.00 руб. При этом продавец А получает

доход, равный

15.00 + 75.00 − 89.00 = 1.00 руб.

Пример 9.14. Пусть в условиях примера 9.9 цена поставки меньше

73.72 руб., например, 73 руб. Безрисковая ставка процента равна 7% за

3 месяца и 9% за 6 месяцев. Покажем, что покупатель Б может провести

арбитражную операцию.

Решение . Покупатель Б занимает у брокера акцию на 6 месяцев, обя-

зуясь выплатить ему дивиденды, которые выплачиваются по этой акции.

Затем Б продает акцию за 100 руб. и заключает форвардный контракт,

обязуясь купить акцию у продавца А через 6 месяцев за 73 руб. Из полу-

ченных 100 руб. Б инвестирует 14.75 руб. на три месяца под 7% годовых

и остальные

100 − 14.75 = 85.25 руб.

на 6 месяцев под 9% годовых.

Через 3 месяца Б получает с процентами сумму, инвестированную 3

месяца назад:

14.75×(1 + 0.07)

0.25

= 15 руб.,

и выплачивает брокеру первый дивиденд, равный 15 руб.

Через 6 меся цев Б получает с процентами сумму, инвестированную 6

месяцев назад:

85.25×(1 + 0.09)

0.5

= 89 руб.,

и выплачивает брокеру второй дивиденд, равный 15 руб., покупает акцию

за 73 руб., возвращает ее брокеру. При этом покупатель Б получает доход,

равный

89 − 15 − 73 = 1 руб.

9.4. Форвардная цена и ценность контракта 205

9.4. Форвардная цена и ценность

форвардного контракта

Если нет вторичного рынка форвардных контрактов, то есть каждый

контракт доживает у сторон до своего исполнения, то мы в предыдущем

пункте решили все возникающие задачи. Однако форвардный контракт

является финансовым инструментом. В момент своего заключения фор-

вардный контракт не имел никакой ценности, так как стороны обоюдно

согласились с ценой поставки. Однако с изменением спот-цены контракт

начинает обретать меновую ценность для продавца или для покупателя в

зависимости от направления движения цены. Это вызывает к жизни вто-

ричный рынок форвардных контрактов (в случае фьючерсов такой рынок

предполагается по самой технологии контракта). Рассмотрим вопрос о

том, как меняется ценность форварда с изменением спот-цены. Подчерк-

нем, что речь идет не о цене, а о ценност и форварда как финансового

контракта, существующего отдельно от базисного актива. Цена форварда

по определению равна цене поставки на конкретный срок в данный тор-

говый день. Эта цена — общая как для вновь заключенных контрактов,

так и для контрактов, заключенных ранее на других условиях — важна

только дата исполнения.

Ценность, в отличие от цены, может быть любого знака и зависит уже

не только от даты исполнения, но и от того, по какой цене контракт был

заключен его нынешним владельцем. Напомним, что при нашем упрощен-

ном изложении, владелец контракта никому ничего не платил и никому

ничего не поставлял — он только занимает позицию, связанную с выпол-

нением соответствующих операций в будущем. Положительная ценность

соответствует тому, что сторонний агент хочет купить такого рода кон-

тракт (открыть позицию). Отрицательная ценность соответствует тому,

что данный агент хочет продать такой контракт (закрыть занимаемую

позицию). Цена поставки по уже заключенному контракту не может из-

мениться, но цена контракта будет меняться ежедневно согласно логике

вторичного рынка форвардов.

Рассмотрим форвардный контракт, описанный в п. 9.2. Будем назы-

вать его первым контрактом. Пусть в момент t (0 ≤ t ≤ T ) заключа-

ется новый форвардный контракт на поставку в тот же момент T того

же актива, что и в первом контракте. Цена поставки, указанная в новом

контракте является текущей форвардной ценой, будем обозначать ее F (t).

Естественно считать, что F (0) = K — цене поставки в первом кон-

тракте, то есть отождествлять новый контракт, заключенный в момент

206 9. Принцип отсутствия арбитражных возможностей

0, с первым контрактом. Форвардная цена может отличаться от K, так

как меняется конъюнктура рынка данного актива. Арбитражные опера-

ции с новым контрактом в момент t будут исключены, если современная

ценность форвардной цены F (t) в момент t будет равна текущей рыноч-

ной цене товара S

. Каждый раз, когда речь идет о современной ценности

какой-либо суммы, предполагается, что известна безрисковая ставка про-

цента (r).

Ограничим наше рассмотрение случаем, когда форвардный контракт

заключен на актив, не приносящий в течение времени действия контракта

доход. Изобразим рассматриваемую ситуацию на оси времени.

F (t)

t лет

Форвардная цена должна удовлетворять равенству:

F (t)

(1 + r)

T −t

= S

Из этого равенства находим значение F(t):

F (t) = S

(1 + r)

T −t

. (9.4)

Приведем пример ситуации, в которой цена форвардного контракта

определяется по формуле (9.4).

Пример 9.15. Пусть первый форвардный контракт является контрак-

том, рассмотренным в примере 9.6. Через 2 месяца после его заключения

заключается новый форвардный контракт на поставку той же акции M

в тот же срок. Цена акции M в момент заключения нового контракта

на рынке равна 105 руб. Определим форвардную цену акции M в новом

контракте, исключающую возможность арбитража. Безрисковая ставка

процента та же, что в примере 9.6, то есть r = 10%.

Решение . Применяя формулу (9.4) при t = 2 месяцам = 1/6 года, S

105 руб., получаем:

F (t) = 105×(1 + 0.1)

1/4−1/6

= 105.84 руб.

9.4. Форвардная цена и ценность контракта 207

Теперь рассмотрим ситуацию покупки форвардного контракта в мо-

мент t (0 < t < T ) новым покупателем: некоторый покупатель В хочет

иметь этот актив. У него есть две возможности: купить актив сейчас за

рыночную цену S

или купить форвардный контракт, заключенный в мо-

мент 0 и предоставляющий ему этот актив в момент T за цену K. Сколько

В должен заплатить за этот контракт?

Арбитражная операция будет невозможна, если В заплатит за кон-

тракт такую цену C

, что сумма современной ценности в момент t цены

контракта C

(она равна C

) и современной ценности в этот момент цены

поставки K будет равна рыночной цене актива в момент t. Это означает,

что цена контракта C

определяется уравнением:

+ K

(1 + r)

T −t

= S

Из этого у равнения и уравнения (9.4) находим значение ценности кон-

тракта (на покупку):

= S

− K(1 + r)

t−T

F (t) − K

(1 + r)

T −t

. (9.5)

Заметим, что ценность контракта на продажу равна той же величине,

но с противоположным знаком.

Значение C

, определяемое формулой (9.5), и является ценоностью

форвардного контракта в момент t, о которой мы говорили в начале

данного пункта. Рассмотрим пример.

Пример 9.16. Вернемся к форвардному контракту, описанному в при-

мере 9.6. Вычислим ценность этого контракта через 2 месяца после его

заключения, если рыночная цена акции M в этот момент равна 107 руб.

Решение . Из условия примера 9.5 имеем: r = 0.1, T = 0.25 года , t =

1/6 года, S

= 107 руб. При решении примера 9.5 мы нашли цену поставки

S = 105.48 руб.

Применяем формулу(9.5) и получаем ответ:

= 107 − 105.48×(1 + 0.1)

1/6−1/4

= 2.35 руб.

Замечание. Изобразим ситуацию, описанную в примере 9.16, на оси

времени:

208 9. Принцип отсутствия арбитражных возможностей

1/41/61/12

t лет

Заплатив за контракт 2.35 руб., покупатель В приобретет в момент t =

1/4 года акцию M за 105.48 руб. Современная ценность его затрат на эту

акцию в момент T будет равна:

105.48 + 2.35×(1 + 0.1)

1/4−1/6

= 107.85 ру б.

Современная ценность в момент T рыночной цены этой акции, кото-

рую она имела в момент t = 2 месяца = 1/6 года, равна:

107×(1 + 0.1)

1/4−1/6

= 107.85 руб.

Таким образом, покупателю В безразлично, купить ли акцию M в мо-

мент t за рыночную цену или купить в момент t форвардный контракт за

цену, вычисленную по формуле (9.5). Он не может провести арбитражную

операцию, выбрав один из этих вариантов.

9.5. Операции с облигациями

Облигация — это ценная бумага, которая выпускается эмитентом (го-

сударством или корпорацией) на срок T лет (срок погашения), имеет номи-

нальную цену N и приносит инвестору, купившему эту облигацию, опре-

деленный доход. Обычно при наступлении срока погашения инвестор по-

лучает номинальную цену облигации.

В зависимости от того в какой форме выплачивается инвестору доход

облигации делятся на купонные и бескупонные (

”

с нулевым купоном“ ).

Купонная облигация продается в момент выпуска по номинальной цене

N. К купонной облигации прилагаются купоны, по каждому из которых

в определенные сроки (k раз в год, k = 1, 2 или 4) эмитент выплачивает

инвестору доход в виде процентов от номинальной цены облигации. Этот

процент может быть фиксирован на весь срок T или (особенно в условиях

инфляции) объявляться на следующий купон после оплаты предыдущего.

По окончанию срока T инвестору выплачивается доход по последнему

купону и номинальная цена облигации.

9.5. Операции с облигациями 209

Поток платежей по купонной облигации с выплатой купонного дохода

два раза в год можно изобразить на оси времени следующим образом:

−N

2T −2

2T −1

+ N

0 1 2

T −1 T

t лет

···

Если процент, указанный на купоне, постоянен и равен r, то купонный

доход также постоянен и вычисляется по формуле:

= rN.

Если процент по i-ому купону равен r

, то купонный доход вычисля-

ется по формуле:

= r

N ,

где i = 1, . . . , kT .

За T лет купонная облигация принесет инвестору доход D:

D =

i=1

N. (9.6)

Пример 9.17. Купонная облигация с номинальной ценой 100 руб. вы-

пущена сроком на 5 лет с выплатой два раза в год купонного дохода по

ставке 5%. Вычислим доход инвестора, купившего одну облигацию.

Решение . По формуле (9.6) при постоянном проценте r = 0.05, полу-

чаем:

D = 2×5×0.05×100 = 50 руб.

Бескупонная облигация продается в момент выпуска со скидкой от

номинальной стоимости (с дисконтом), а выкупается в момент окончания

срока T по номинальной стоимости. Доход по бескупонной облигации D

равен разности между ее номинальной стоимостью и дисконтом:

D = N − C, (9.7)

где N — номинальная цена облигации, C — величина скидки (дисконт).

Дисконт на бескупонную облигацию тем больше, чем больше срок T , на

который выпущена облигация.

210 9. Принцип отсутствия арбитражных возможностей

Пример 9.18. Бескупонная облигация, номинальная цена которой рав-

на 100 руб., выпущена сроком на 5 лет с дисконтом, равным 20%. Каков

доход инвестора, купившего эту облигацию?

Решение . Скидка с номинальной цены облигации равна:

100×0.2 = 20 руб.,

следовательно, она куплена инвестором за 80 руб. Доход инвестора равен:

100 − 80 = 20 руб.

Облигация в течение всего срока (от момента эмиссии до момента по-

гашения) обращается на рынке ценных бумаг, где имеет рыночную цену,

меняющуюся в зависимости от срока, прошедшего с момента эмиссии, и

от общей конъюнктуры рынка. Обычно эта цена (р ыночная котировка)

указывается в процентах от номинальной цены облигации.

Рыночная цена облигации зависит от ее надежности (финансовой ста-

бильности эмитента), от купонной ставки или от дисконта и, конечно,

от времени, оставшегося до погашения облигации или до очередной вы-

платы купонного дохода. С приближением к моменту погашения или к

моменту выплаты процентов цена облигации, вообще говоря, растет. Фи-

нансовая стабильность эмитента стимулирует повышение рыночной цены

облигации. Однако, чем выше финансовая стабильность эмитента, тем,

как правило, ниже купонный процент (или дисконт). Самыми надежны-

ми считаются облигации, выпущенные государственными у чреждениями.

В США за все время существования этого вида ценных бумаг не было

ни одного случая неплатежа по ним. Такие случаи возможны в условиях

политической нестабильности государства и экономических трудностей.

Для группы бескупонных облигаций одной степени надежности, оди-

накового уровня ликвидности и других характеристик по статистическим

данным можно построить функцию, выражающую зависимость доходно-

сти бескупонной облигации от времени, оставшегося до момента погаше-

ния. Доходность облигации выражается в процентах, которые составляет

доход, полученный от данной облигации, к расходам на ее приобретение,

то есть к ее рыночной цене. Эта функция может иметь различный харак-

тер.

Облигация с купонным доходом может быть представлена, как несколь-

ко бескупонных облигаций, которые принесут те же доходы и в те же

сроки, что и купонная облигация. Приведем пример.

9.5. Операции с облигациями 211

Пример 9.19. Облигация с купонным доходом имеет номинальную

цену N и погашается через 4 периода времени, в каждый из которых по

купону выплачивается доход, равный D. Определим пакет бескупонных

облигаций, которые принесут инвестору тот же доход в те же сроки, что

данная бескупонная облигация.

Решение . Изобразим денежный поток, соответствующий данной ку-

понной облигации, на оси времени:

−N

D D D

N + D

0 1 2 3 4

периоды

Пусть b

, b

— положительные числа, каждое из которых меньше

D, и b

< N. Составим следующий пакет бескупонных облигаций:

1-я облигация: номинальная цена — D, цена приобретения — b

(дис-

конт равен D − b

), срок погашения — первый период;

2-я облигация: номинальная цена — D, цена приобретения — b

(дис-

конт равен D − b

), срок погашения — второй период;

3-я облигация: номинальная цена — D, цена приобретения — b

(дис-

конт равен D − b

), срок погашения — третий период;

4-я облигация: номинальная цена — (N + D) , цена приобретения —

(N − b

− b

) (дисконт равен D + b

+ b

), срок погашения

— четвертый период.

Изобразим на осях времени потоки платежей по этим четырем беску-

понным облигациям:

1-я облигация:

−b

0 1

периоды

2-я облигация:

−b

0 1 2

периоды