Бухвалов А.В. Финансовые вычисления для профессионалов. Настольная книга финансиста
Подождите немного. Документ загружается.
232 10. Инвестиции
реализация новой продукции принесет доход в размерах, соответственно,
70 тыс. руб., 180 тыс. руб. и 90 тыс. руб. В пятом году продукция переста-
нет быть популярной, и доход упадет до 10 тыс. руб. Дальнейший выпуск
этой продукции не предполагается.
Изобразим этот проект на оси времени и на диаграмме.
Решение . На оси времени данный проект может быть изображен так
(числа над осью обозначают тысячи рублей):
-
109018070
−100−100
543210
t лет
На диаграмме этот же проект может быть изображен следующим об-
разом:
-
6
−100
100
200
5432
10
t лет
тыс. руб.
Конечно, могут существовать и нерегулярные инвестиционные проек-
ты, когда после нескольких притоков денежных средств снова произво-
дятся инвестиции, то есть происходят оттоки денежных средств, напри-
мер, такой проект:
10.2. Средняя норма прибыли на инвестиции 233
-
100150
−60−50
80
−50−100
6543210
t лет
Таким может быть проект двухстадийного строительства жилого ком-
плекса: сначала строится первая очередь комплекса, и от нее начинают
поступать доходы, а затем строится вторая очередь, требующая больших
вложений, и лишь позднее доходы снова превосходят расходы.
Если с некоторого момента инвестиции в проект постоянно превосхо-
дят доходы, то есть с некоторого момента t все C
t
< 0, то такой проект,
как правило, не может быть принят. Реализацию таких проектов может
позволить себе только государство в целях развития науки, обороны, со-
циального обеспечения и тому подобного.
Для оценки инвестиционных проектов применяются разные критерии.
Каждый из них дает фирме определенную информацию к размышлению,
позволяет выбрать тот или иной из альтернативных проектов. В следую-
щих параграфах мы рассмотрим различные критерии оценки инвестици-
онных проектов.
10.2. Средняя норма прибыли на инвестиции
Средней нормой прибыли на инвестиции называется отношение сред-
негодовой прибыли к величине инвестиций в проект, выраженное в про-
центах . Приведем пример.
Пример 10.2. Рассчитаем среднюю норму прибыли на инвестиции в
проекте, описанном в примере 10.1.
Решение . Среднегодовая балансовая прибыль за пятилетие равна:
70 + 180 + 90 + 10
5
= 70 тыс.руб.
Инвестиции в данный проект составляют 100 + 100 = 200 тыс.руб. Сред-
няя норма прибыли на инвестиции равна:
70
200
×100% = 35%.
234 10. Инвестиции
При оценке проекта средняя норма прибыли на инвестиции сравнива-
ется со средней нормой прибыли аналогичных проектов, осуществленных
в последнее время. Если первая не меньше последних, то проект оценива-
ется положительно.
Если сравниваются несколько альтернативных проектов, то предпо-
чтение отдается тому, у которого средняя норма прибыли на инвестиции
больше.
Недостаток этого метода состоит в том, что он не учитывает времени
притока и оттока средств, и доходы за более дальние года реализации про-
екта учитываются наравне с доходами, полученными раньше. Рассмотрим
пример.
Пример 10.3. Имеется три инвестиционных проекта: А, Б, В. Данные
о них приведены на оси времени:
-
-
-
1 000
2 000
3 000
2 000
2 000
2 000
3 000
2 000
1 000
−15 000
−15 000
−15 000
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
t лет
t лет
t лет
А:
Б:
В:
Вычислим среднюю норму прибыли на инвестиции по каждому из проек-
тов.
Решение . Среднегодовая норма прибыли по всем трем проектам одна
и та же :
3 000 + 2 000 + 1 000
3
=
3×2 000
3
=
1 000 + 2 000 + 3 000
3
= 2 000 ру б.
Величина инвестиций по каждому из проектов равна 15 000 руб. Следо-
вательно, у них совпадают и среднегодовые нормы прибыли:
2 000
15 000
×100% = 13.3%.
10.3. Период окупаемости 235
Однако, не все инвесторы оценят эти проекты одинаково. Большинство
из них предпочтут проект А, который обеспечивает максимальный доход
в первый год реализации проекта.
Рассмотренный пример показывает, что среднегодовая прибыль мало
пригодна для выбора лучшего инвестиционного проекта.
10.3. Период окупаемости
Метод окупаемости инвестиций заключается в вычислении периода,
в течение которого доходы покрывают вложения. Период окупаемости
инвестиционного проекта — это число лет, необходимых для возмещения
инвестиционных расходов.
Если годовой приток денежных средств (доходы) одинаков и равен Q,
а исходные инвестиции равны P , то период окупаемости равен P/Q. На-
пример, если инвестируется 18 000 руб., а ежегодный доход равен 5 700 руб.,
то период окупаемости равен:
18 000
5 700
= 3.16 лет.
Если годовые доходы не одинаковы, то период окупаемости рассчитать
сложнее. Приведем пример.
Пример 10.4. Вычислим период окупаемости проекта из примера 10.1.
Решение . Инвестиции в проект равны 200 тыс. руб. К концу второго
года окупится 70 тыс.руб. и останется 130 тыс. ру б., которые окупятся
за часть третьего года, равную 130/180 = 0.72 года. Период окупаемости
инвестиционного проекта равен 2 + 0.72 = 2.72 года.
Если рассчитанный период окупаемости больше максимально допусти-
мого для фирмы, то проект отвергается, в противном случае он должен
быть исследован по другим критериям.
Главный недостаток метода окупаемости состоит в том, что не учи-
тываются денежные потоки после срока окупаемости. Другой недостаток
этого метода заключается в том, что, как и в п.10.2, даже в пределах
срока окупаемости не учитывается распределение денежного потока во
времени. Методы, рассмотренные в двух следующих пунктах в полной
мере учитывают распределение инвестиций и доходов во времени.
236 10. Инвестиции
10.4. Метод чистой современной ценности
Инвестиционный проект ассоциируется с потоком платежей:
C
0
, C
1
, C
2
, . . . , C
n
в годы t = 0, 1, . . . , n. При этом знак C
t
может быть как положительным,
так и отрицательным.
В простейшем случае можно отождествлять C
0
с начальным капита-
ловложением I, то есть C
0
= −I < 0, а C
t
при t ≥ 1 считать чистым
доходом от производства, связанного с этим проектом.
Каждый член потока платежей, порожденного инвестиционным про-
ектом, имеет свою современную ценность в момент 0. Учитывая взаимо-
связь этих платежей, важной характеристикой проекта является су мма
современных ценностей в момент 0 всех членов денежного потока, начи-
ная с C
1
, которую называют современной ценностью инвестиционно го
проекта
9
:
P V =
n
X
t=1
C
t
1
(1 + r)
t
, (10.1)
где r — ставка дисконтирования (discount rate).
В том случае, когда учитывают и вложения C
0
в момент 0, говорят о
чистой современной ценн ости инвести ци онного проекта:
NP V =
n
X
t=0
C
t
1
(1 + r)
t
. (10.2)
Чистую современную ценность принято обозначать аббревиатурой NP V
(от английского Net Present Value).
В качестве ставки дисконтирования r может быть принята безриско-
вая ставка процента или ставка прибыли для проектов той же степени
риска, или средняя отраслевая норма доходности. Иногда за ставку дис-
контирования принимается необходимая с точки зрения фирмы норма
прибыли.
Если NP V проекта отрицательна, то принимать такой проект не име-
ет смысла. Из нескольких альтернативных проектов следует принять тот,
который имеет более высокую NP V при одной и той же ставке дисконти-
рования. Рассмотрим пример.
9
Для обозначения этой величины в литературе используются также термины: со-
временная величина, современная стоимость, капитализированная стоимость.
10.4. Метод чистой современной ценности 237
Пример 10.5. Найдем чистую современную ценность инвестиционно-
го проекта из примера 10.1, если ставка дисконтирования r = 10%.
Решение . По формуле (10.2) получаем:
NP V = − 100 −
100
(1 + 0.1)
+
70
(1 + 0.1)
2
+
180
(1 + 0.1)
3
+
+
90
(1 + 0.1)
4
+
10
(1 + 0.1)
5
= 69.86 тыс.руб.
Величина чистой современной ценности проекта зависит от ставки
дисконтирования, то есть, NP V есть функция r. Следующий пример ил-
люстрирует зависимость NP V от r.
Пример 10.6. Построим график функции NP V (r) инвестиционного
проекта, описанного в примере 10.1.
Решение . Вычислим по формуле (10.2) значения функции NP V (r) при
r = 0%, 20%, 30%, 40%. Результаты вычислений запишем в таблицу:
r% 0 10 20 30 40
NP V (r) 150 69.86 16.90 − 19.37 −44.83
График функции NP V (r), построенный по найденным точкам, приве-
дён на рис. 12.
Функция NP V (r) регулярного инвестиционного проекта является убы-
вающей функцией. Это объясняется тем, что в регулярном проекте ин-
вестиции происходят раньше доходов, то есть в моменты времени более
близкие к 0, чем доходы, и потому с ростом ставки дисконтирования r
инвестиции (отрицательные члены потока платежей) уменьшаются менее
интенсивно, чем доходы (положительные члены потока платежей). В ре-
зультате вся сумма уменьшается.
Более строго это можно пояснить следующим рассуждением. Если
ставка дисконтирования r увеличивается, то множитель 1/(1 + r) умень-
шается. При этом положительные слагаемые NP V уменьшаются, а отри-
цательные — увеличиваются, так как уменьшается их абсолютная вели-
чина (модуль). Но положительные слагаемые уменьшаются интенсивнее,
238 10. Инвестиции
-
6
a
a
a
a
a
.
.
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
.
..
.
.
..
.
.
.
..
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
−50
50
100
150
403020100
r%
NP V (r)
Рис. 12. График функции NP V (r) проекта из примера 10.1
чем увеличиваются отрицательные. Это объясняется тем, что у положи-
тельных слагаемых показатель степени t больше, чем у отрицательных
(в регулярном потоке доходы получают позже инвестиций), следователь-
но, множитель 1/(1 + r)
t
для положительных членов меньше, чем для
отрицательных. Из сказанного следует, что график функции NP V (r) ре-
гулярного инвестиционного проекта имеет вид, приведенный на рис. 12.
Величина NP V (r) регулярного проекта зависит от принятой ставки
дисконтирования. В рассмотренном примере при ставке дисконтирования
r = 20% проект имеет положительную NP V и будет принят, а при став-
ке дисконтирования r = 30% проект имеет отрицательную NP V и будет
отклонен. Это, разумеется, понижает практические достоинства метода
NP V . Чтобы применение этого метода было оправдано, надо очень тща-
тельно выбирать ставку дисконтирования.
Важно понимать, что при сравнении двух проектов по критерию NP V
можно прийти к разным выводам при различных ставках дисконтирова-
ния. Рассмотрим пример.
10.4. Метод чистой современной ценности 239
Пример 10.7. Компания рассматривает два проекта организации вы-
пуска новой продукции в течение четырех лет: А и Б. Первоначальные
вложения по обоим проектам одинаковы и равны 23 616 руб., а доходы
различны. По проекту А ежегодно в течение четырех лет будет получен
доход по 10 000 руб. в год. По проекту Б в первый год дохода не будет, во
второй год будет получено 5 000 руб. дохода, в третий год — 10 000 руб.,
а в четвертом году доход будет равен 32 675 руб.
Построим график функции NP V (r) этих проектов и сравним их по
критерию NP V при различных значениях ставки дисконтирования r.
Решение . Изобразим оба проекта на осях времени:
-
-
10 000
32 675
10 000
10 000
10 000
5 000
10 000
0
−23 616
−23 616
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
t лет
t лет
Проект А:
Проект Б:
Применяя формулу (10.2), вычислим значения функции NP V (r) обоих
проектов при различных значениях r. Результаты вычислений приведены
в следующей таблице:
r% NP V
А
(r) NP V
Б
(r)
0 16 384 24 059
10 8 083 10 347
20 2 271 1 400
30 − 1 954 − 4 665
50 − 7 567 −11 976
Графики функций NP V (r) обоих проектов, построенные по найден-
ным точкам, приведены на рис. 13. Эти графики пересекаются в точке с
абсциссой, приблизительно равной 17%.
Таким образом, мы видим, что если NP V этих проектов вычислены
при ставке дисконтирования, меньшей 17%, например, при r = 10%, то
240 10. Инвестиции
-
6
−11 976
`
−7 567
`
−4 665
`
−1 954
`
1 400
`
2 271
`
8 083
`
10 347
`
16 384
`
24 059
`
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
..
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
..
.
..
.
.
..
.
..
.
..
.
.
..
.
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
50403020100
r%
NP V (r)
Проект А
Проект Б
Рис. 13. Графики функции NP V (r) проектов из примера 10.7
10.4. Метод чистой современной ценности 241
следует предпочесть проект Б, так как NP V проекта Б при этой ставке
дисконтирования больше, чем NP V проекта А:
NP V
А
(10%) = 10347 > 8083 = NP V
Б
(10%) .
Если же NP V этих проектов вычислены при ставке дисконтирования,
большей 17%, например, при r = 20%, то следует предпочесть проект А,
так как NP V проекта А при этой ставке дисконтирования больше, чем у
проекта Б:
NP V
Б
(20%) = 2271 > 1400 = NP V
А
(20%) .
Если инвестиционный проект не является регулярным, то функция
NP V (r) может быть возрастающей при всех допустимых значениях r, или
возрастающей на одних промежутках значений r и убывающей на других.
Приведем примеры.
Пример 10.8. Рассмотрим два нерегулярных инвестиционных проек-
та и построим для них графики функции NP V (r).
По проекту А в момент 0 инвестор берет кредит в банке в размере
1 000 руб. Используя эти деньги в биржевых операциях, в течение первого
года он зарабатывает 3 600 руб., которые вкладывает в проект. К концу
второго года инвестор получит 4 320 руб. дохода, а в третьем году понесет
1 728 ру б. убытка.
По проекту Б инвестор вкладывает в момент 0 в строительство шахты
4 000 руб. В течение первого года он получает 25 000 руб. дохода, но во
втором году запасы полезных ископаемых заканчиваются, и он вынужден
вложить 25 000 руб. в рекультивацию земли.
Решение . Изобразим оба проекта на оси времени:
-
-
−1 728
4 320
−25 000
−3 600
25 000
1 000
−4 000
32
2
1
1
0
0
t лет
t лет
Проект А:
Проект Б: