Бугай П.Т. Теорія помилок і спосіб найменших квадратів

Подождите немного. Документ загружается.

\pab] (.£j) + [pbb\ (x 2)~p... 4- \pbt\ (xt )-)-

4~P2^r -\-\pbl\=Q,

[pat^x^lpbt] (x2)+...+ [ptt) {xt )+ a , A5j+pt V K - - +

+Р/ k r -\-\ptl\=0,

а1 (-*-l)~}~a2 (-^2) ! (Xt 0,

Pi (-^О^Рз (■^2)_Ь '” _ЬР< (xt )~\~'W2== 0,

........................................................................... (84,8)

Pi (-^lJ-bPa (JC2)H—‘— P^ (xt )~\rwr — 0,

яка цілком достатня для визначення t невідомих величин

\Xj) і г корелат k\, k%, . . . , k r .

Система рівнянь (84,8) відрізняється від звичайно! систе

ми нормальних рівнянь лише тим, що у ній в решті г рівнянь

відсутні члени з невідомими корелатами k\, k 2, . . . , k r.

Але ці члени можна приписати з коефіцієнтами, рівними

нулю.

Тоді легко помітити, що система рівнянь (84,8) стане ц іл

ком подібною до звичайної системи нормальних рівнянь, і

її можна рішати в схемі Гаусса— Д улітля.

Недоліком способу корелат є те, що при великій кіль

кості відшукуваних невідомих і умовних рівнянь доведеться

рішати велику кількість нормальних рівнянь (84,8). У цьому

випадку застосовують груповий метод врівноваження посе

редніх вимірів, зв’язаних умовами, відомий під назвою ме

тоду Бесселя.

§ 85. ГРУПОВИЙ МЕТОД ВРІВНОВАЖЕННЯ

ПОСЕРЕДНІХ ВИМІРІВ, ЗВ’ЯЗАНИХ УМОВАМИ

Суть цього методу полягає в тому, що спочатку розв'я

зують рівняння помилок при умові [vv] = minimum (при

рівноточних вимірах), не беручи до уваги умовних рівнянь, і

знаходять наближені значення поправок. Потім визначають

додаткові поправки при умові, щоб суми відповідних набли

жених і додаткових поправок дорівнювали поправкам, які

одержали б при сумісному розв’язуванні рівнянь помилок і

умовних рівнянь.

Теорія методу така. Розглядаючи рівняння помилок (84,3)

незалежно від умовних рівнянь (84,4), візьмемо систему нор

мальних рівнянь, яка відповідає лише рівнянням помилок.

Вана матиме такий вигляд:

[aa] (x0l) 4 - [ab] (х 02) + ... + [at] (xot) + [al] =0,

[ab] (xM) + [bb\ (■%>) + . . .4 [bt] (xot) + [bl]=0, (85,1)

[at] (x 01) + [bt] (x o2) + ... + [« ] (*0/) + [«] =0.

Розв’язавши ТІ, знайдемо наближені значення поправок

(л;01), (jc0, i, ..., (x0t), які. очевидно, не дорівнюватимуть по

правкам (лтД (х2)

.......

( л Л . що ми їх одержали б при су

місному розв’язуванні рівнянь помилок і умовних рівнянь.

Знайдемо тепер такі додаткові поправки 8хь З х > , Ьх t,

щоб

(*oi) + s*i = (*i).

( х 02)-+ 5х 2 = (х 2), (8 5 ,2 )

(лъЛ + 8-*/ = (x t),

враховуючи при цьому також і умовні рівняння (84,4). Для

цього перетворимо рівняння (84,4) і (84,7) так, щоб у них

входили додаткові поправки. Підставивши (85,2) в (84,4),

одержимо:

(ZjSXj + а.,Ьх2 + ... 4~ ® ? 8jc / 4- а і(-^оі) *2(^02) Н- ••• +

+ at (л-оЛ + W ^ O ,

PiS-Kj 4- Р28х2 + ••• + Р18х t + Pi(JCoi) + •• • +

+ P / (xot) +®2= 0, (85,3)

р1ол:1 + р28л:2 + ...4-р<5^/ + p ,(x 01) + p2(x 02) + ...+

+ P t(Xot) + Wr = 0,

або, ввівши позначення

tXi(Xoi) + а2(л-02) 4-... 4- a , (Xot) + w ^ w f,

Pi(*oi) + P2( * 0 2 ) + • • ■ + P t(xot) + Щ = w2°,

Pl(^0l) + P2(^02) + --- + P t(Xot) + Wr = wr°,

рівняння (85,3) можна записати так:

ajSXj 4- + ... + a t Ьх t + w\ = 0,

4~ p28x2 + ... 4- P t 8jc t -\-w2> = 0,

P iS xj + PjSXg-l-.. + Р / 8 x t 4* w r 0 — 0.

Так само, підставивши значення (85,2) в рівняння (84,7)

і беручи до уваги рівняння (85,1), одержимо:

[аа\ 8*! + [ab] 8х> + ... + [af] lxt 4- a ,^ + p,fe2 + ... 4 -

■+■ Pi kr * 0,

(85,4)

(85,5)

[л&] -Ь [bb] -Ь... 4 [bt] t 4-аз^і 4 •••

4 - р2^г = 0, (85,6)

[д^] oXj + [йґ] ЬХо 4-... 4- [^] 8х ^ 4- & t k\-V Р 1 • •• 4-

+ Р t kr = О.

Введемо позначення

aA + PlM ~-+ P A = [1].

а2^1_Ьр2^2“Ь---_|_р2^'' = [2]« (85,7)

* tk{-\-§ t k -4-р<&/- — [П-

Тоді рівняння (85,6) можна записати так:

[aa] o X j-f-[ ib] S,хг2 —^—... —(— [с?/] 8jc^ —j— [1] = 0,

[ab] bx {-\-[bb] 3x2-f ...-)-[&/] 8jc # -f-[2] = О, (85,8)

[af] 8jt2-|—...-|-[^^] 8 x*-}-М = 0.

Таким чином, ми замість системи рівнянь (84,8) одержали

рівняння (85,5) і (85,8), в які входять лише додаткові по

правки bxj ( /= 1, 2, . ., t). Зауважимо при цьому, що зна

чення вільних членів рівнянь (85,8) нам поки що невідомі,

тому що вони визначаються через невідомі корелати за до

помогою рівнянь (85,7).

Далі розв’язуватимемо задачу в такий спосіб. Виразимо

невідомі додаткові поправки Ьх j у ф ункції вагових коефі

цієнтів і вільних членів рівнянь (85,8) подібно до того, як

ми це робили в § 59 (див. формули (59,3) і (59,10) або

(64,5). Будемо мати:

— 8.x:, =- [1] Q u-|-[2] Qi t,

— OX2= [l] Q21“b[2] Q-22H- • • I- ] Qzt' (85,9)

— 8 x t = [1 ] Q /!-)-[■-] Qtt,

де вагові коефіцієнти визначаються з систем рівнянь (59,2),

(59,7), (59,8), (59,9). Підставимо далі значення (85,7) у рів

няння (85,9); після простих перетворень одержимо вирази

для поправок %х, через корелати і вагові коефіцієнти:

— (a iQ u 1 *2Q i2 + ••■ + */ Q't)k і —

—(PiQu + P2Q12 + P* Qi/ —

8 ^2 =— (аіС?21 + a2Q22 + ‘” + Я* Qtf )^ l“~

— (P1Q2I + f32Q22 + -" + fit Q2< )^2“

— (P1Q 2I+ P2Q 22 + - - + Р/ Q 2/ )kr ,

......................................................... (85,10)

bXt —— (a-iQt 1 i-^Q t 2~\~ Qtt)kt

— (P1Q/14" P2Q / гЧ-- " Qtt)k2~~

— (piQ /i “I- p2Q< Q tt)kr ■

Введемо позначення для виразів у круглих дужках:

— (aiQ ii_ba2Qi2H~-"H_a/ Qit )—аі'<

— (alQ21 + a2Q22_b -” + a/ Q2/) = aJ> (85,11)

— (aiQ « _ba2Q ^г- !~— ~ Q «) = ®*';

— (PiQu_bp2Qi2+” ,+P< Qi/) =

— (P1Q 21+ P 2Q22_b -” _bP/ Qit ) ==fV>

(85,12)

— Qtt) =“ P t ’\

~~(PiQu4"P2Qi2_b---_bp/ Q i/)“ pi’»

~ '(P iQ 2i + P2Q22 + --*4_P-/ Qit ) = Рг/>

........................................................................ (85,13)

—■ ( P1 Q^l ~і- P2 Q«“ - .-j—

Тоді будемо мати

OX^ = Oli k\”ЬР)/^ 2 Pi kr t

8лГ2 = «2^1 + §2 •--JrV2 kr ,

......................................

...............

(85,14)

OXt — a / t ,^2-t-,,-'4“P t 'kr ■

[aa'l&j-j-fap ]Л2"Ь ” -_Ь[аР \^r 0,

^ і—}— [(3j3']jfe2—(—. . [рр']kr -)-да2п = 0, (85,15)

[ p z '\ k l-\-[{>$'\k2~\-...-\-[pp']kr ~ \ - W г ° — 0 ,

в яких коефіцієнти, розташовані симетрично відносно діаго

нальних коефіцієнтів [aa'J, IP P'J

[рр'], рівні між собою. Щоб

довести це, покажемо, наприклад, що [aP'J = f(3 х ]. Д ля цьо

го помножимо рівняння (85,12). відповідно на а,, а.,,л( і до

бутки підсумуємо по стовпчиках:

[aP/] = — (alQ n + a2Q21_r ," _b a^ Qn )Рі"~

(aiQi2_ba2Q22“b ,--_b a^ Q^)p2~■

................................................................. (85,16)

— (a 1Q w-|-a2Q 2 / -| -...+ a< Q tt)h ■

Але, беручи до уваги властивість вагових коефіцієнтів

Qkj=Qjk, легко помітити, що в рівнянні (85,16) вирази в

дужках, взяті з оберненим знаком згідно з позначеннями

(85,11), дорівнюють а',, а'2,.Л, as.'t відповідно. Через те [сф'] =

= [ра']> Щ° й треба було довести.

Розв’язавши рівняння (85,15), знайдемо значення коре

лат. Підставивши їх в рівняння (85,14), одержимо значення

додаткових поправок bxj . І, нарешті, за формулами (85,2) об

числимо найімовірніші поправки до наближених значень від

шукуваних невідомих і самі невідомі

*1=-*01 + (-*і). *2 = •%>+( *2), — >

Xt =*■ xQt + ( X t ). (85,17)

Таким чином, при врівноваженні посередніх вимірів, зв’я

заних умовними рівняннями, обчислення за методом Бес

селя проводять в такому порядку:

1) складають рівняння помилок (84,3) і умовні рівняння

(84,4);

2) складають (нормальні рівняння, що відповідають рів

нянням помилок (84,3); рішають їх в схемі Гаусса— Д улітля

і знаходять наближені значення поправок (х0і), (*02)

...........

(x0<)‘> одночасно знаходять і вагові коефіцієнти Qkj {k, j —

= 1, 2, ...,*);

3) за формулами (85,4) обчислюють вільні члени wі0, w2°,

.... w г° умовних рівнянь (85,5);

4) за формулами (85,11), (85,12); ..., (85,13) обчислю

ють коефіцієнти а/, р/, ... , р/;

6) за знайденими значеннями корелат обчислюють додат

кові поправки Ьх/ за формулами (85,14) і остаточні поправ

ки (Xj) за формулами (85,17).

§ 86. ОЦІНКА ТОЧНОСТІ ВИМІРІВ І ФУНКЦІЙ

ВРІВНОВАЖЕНИХ ВЕЛИЧИН

В § 84 було показано, що задачу на врівноваження посе

редніх вимірів, зв’язаних умовами, можна звести до задачі

врівноваження посередніх вимірів без умовних рівнянь, як

що з рівнянь помилок (84,2) за допомогою умовних рівнянь

(84,3) виключити г невідомих поправок. У цьому випадку

кількість незалежних між собою поправок дорівнюватиме

t— г, а кількість додаткових вимірів — п — (t— r)=n— t-\-r

Отже, середні квадратичні помилки одного виміру т (при

рівноточних вимірах) або одиниці ваги ^ (при нерівноточних

вимірах) можна визначити за формулами

Суму [pvv], що входить у формулу (86,2), так само як і

суму [уо] , можна визначити одним із таких відомих вже нам

способів.

1. Знайдені після підстановки значень невідомих (*і),

(х2), .... (xt) у рівняння помилок (84,3) найімовірніші по

правки 0 і, v2, ..., vn до результатів безпосередніх вимірів

множать ВІДПОВІДНО НЯ РiOj. P2V2, .... рп vn .Підсумовуючи до

бутки, одержують [pvv].

2. Множимо праві і ліві частини рівнянь (84,3) спочатку

на ріІи р212, ■ ■ ■, pjn а потім на p\Vu p2v2, ... , pnVn відповід

но. Взявши кожен раз суму добутків, одержимо:

\pal\{Xi)Jr\pbl]{x2)Jr...-\-\ptl\{xt )-\-\pll] = {plv\, (86,3)

\pav\(xl)-^r\pbv]{x2)-\r.:.-\-\ptv}(xt)-\-\plv\ = \pvv\. (86,4)

Але з рівнянь (84,7)

(85,15);

(86,1)

(86,2)

\pav] = -( а А + Р А + — + Р А )»

[pbv] = — (® A + p 2*2+ ...+ p 2kr),

\ptv\=>— (а< Л2+ — +Р< kr )•

— ( * A 4 -P iM ----+ p A ) (-^і)-

— (а2^1”ЬР2^2 + " -“1~Р2^/- ) (Х2) —

— (at *х + Р/ * 2 + —Рt kr)(Xt )-\-\plv\=*\pw],

або, розкривши дужки і беручи до уваги рівняння (86,3),

після приведення подібних членів по корелатах матимемо:

[pal\(xl)-\-[pbl\(x2)Jr ...-f-[/?£/](Xf )-\-\pll] —

— {а^ х^ + а2(ЛГ2) + ...+а< (Xt )}ky —

~Ш *і)+Ш 2) + - + & (Xt )}k,~ (86,6)

— {P l(* l)-f ?2(x2) + — + ?t (Xt )}kr = \pwj.

Але вирази у фігурних дужках, згідно з рівняннями

(84,4), дорівнюють — ом, — w2, .... —wr відповідно. Отже,

для визначення [pvv] будемо мати таку остаточну ф орм улу

[pvv] - [pal](xl) + \pbl](x2)-\--... + \ptl](xt )+[/>//] +

+wlkl+w.,k2+...+wr kr , (86,7)

або

[pvv]^ [pvl] + [kw[. (86,8)

3. Якщо до рівнянь (84,8) приєднаємо рівняння (86,7) і

в схемі Гаусса— Д улітля будемо послідовно виключати не

відомі

(Хі), (х2), ... , (xt ), k lt k2, ... , kr ,

то після виключення останньої корелати kr одержимо

\ p ll.(t+r)]^ [pv v ], (86,9)

або в розгорнутому виді

\nw\~\nm ([раІ]г 1[рЬІЛ]і I j

\роо] [pH] ^ аа]+ [рШ] Ч-...Н іріЦі-\)ї)

(lw.tr , [®.(f+l)]> , , [Ю.(/+Г-1)]Я\ ,ое 1 т

- І М + I P W + -• ш + г - 1Л )■ (86,10)

Д ля визначення оберненої величини ваги функції арівно-

зажених величин

F=’fo-\-f\(x1)-\-f2(x2)Jr...Jrft (Xt ) (86,11)

можемо застосувати загальну теорію, викладену в § 56 і

§ 57, і формулу (57,16),, яка для даного випадку матиме та 

кий вид:

і Л* , [ЛЛГ , , \ft (*-1)]’ ,

PF [раа] '[рЬЬ.Ц 'Г - " _Г [ptt.(t—\)\

[fM -tY .[ft+2-(t+')¥ [ft+ Л '+ г - 1)]2 . 0

[aa.t] “*■ [pp.(+lj] [pp.(f+r-l)] *

Тут необхідно зауважити, що у формулі (86,12), так са

мо, як і в (86,10), коефіцієнти [аа.£], [РР-(£+1)]»•••, [рр.(£+г—

— І)] є від’ємні.

Всі величини, які входять у формулу (86,12), можна одер

жати при розв’язуванні системи рівнянь (84,8). Д ля цього

необхідно вагову функцію (86,11) розглядати як умовне рів

няння і умовно приписати йому корелату kp. Якщо це рів

няння поставимо в системі рівнянь (84,8) на останньому міс

ці і будемо послідовно виключати невідомі, то після виклю

чення корелати kp в схемі Гаусса— Д улітля одержимо сим

волічне співвідношення

■ J- =[ft+r-u (*+г)], (86,13)

еквівалентне формулі (86,12).

ОЦІНКА ТОЧНОСТІ

З ВРАХУВАННЯМ ПОМИЛОК ВИХІДНИХ ДАНИХ

§ 87. ВИЗНАЧЕННЯ СЕРЕДНЬОЇ

КВАДРАТИЧНОЇ ПОМИЛКИ ФУНКЦІЇ

ВРІВНОВАЖЕНИХ ВЕЛИЧИН З ВРАХУВАННЯМ ПОМИЛОК

ВИХІДНИХ ДАНИХ ПРИ ВРІВНОВАЖЕННІ

УМОВНИХ ВИМІРІВ

Кожен елемент тригонометричної, нівелірної чи полігоно-

метричної сітки майже завжди визначається як функція ви

хідних даних та найімовірніших значень результатів безпо

середніх вимірів. Так, наприклад, довжина будь-якої сторо

ни тріангуляційної сітки визначається по вихідній стороні

та по врівноважених кутах ряду трикутників.

При врівноваженні геодезичних сіток вихідні дані принт

маються за безпомилкові. Але в дійсності вони теж, як і ве

личини безпосередньо виміряні, містять помилки, які в тій

а.бо іншій мірі спотворюють результати врівноваження.

До цього часу при визначенні середньої квадратичної по

милки та оберненої величини ваги функції врівноважених

величин ми не брали до уваги помилок вихідних даних. Од

нак в геодезичній практиці часто потрібно знати, як вплив а

ють на елементи геодезичної сітки і ці помилки.

Візьмемо функцію врівноважених величия xJt х2, хп та

вихідних даних а, [3, f :

/ = / (х 1( х2, ... , хп, а, р, т). (87,1)

Приведемо її спочатку до лінійного виду. Для цього по

значимо через х/, х2 , ... , х п' результати безпосередніх

вимірів, 8ха, ... , Ьхп — найімовірніші поправки до них,

а0, р0, Y0 — значення вихідних даних, 8а, 8(3, 8у — їх помил

ки, які повинні бути нам відомі.

При цьому, очевидно,

jr ^ x ^ + bxi, а=л0-\-Ьх,

х2= х 2'+Ъх2, (8 7,2 ) р = р()+ 8р, (87,3)

..........................................

T = T u + & Y .

Хц —- X /і 8Хп ,

Підставивш и в (8 7,1) замість хи х2, xn,<*,p,j їх зна

чення (87,2) і (87,3) і розвиваю чи ф ункцію (8 7,1) у рядок

Тейлора, будемо мати:

/ = / (х/, х2',..., х а0,

+ . ..+ ^ S x , + f 8 I + f 8P+ | .8 -r,

або, ввівши позначення

f(x j , х 2 , , , хп , o,q, Ро, Yo) fo> ^хТ f ‘ ’

% - f - % = f x % = fi- <87’4>

/ = / o + / iS a :1+ / 28x 2- [ - ...+ / n 8x„ -j~ / “ 8я+ / р 8p + / v 8T- (87,5 )

Д л я визначення середньої квадратичної помилки ф ункції

(87,5) її необхідно виразити у ф ункції результатів безпосе

редніх вимірів та вихідних даних, а потім обчислити серед

ню квад ратичну пом илку або обернену величину ваги ф унк

ції за відомими з теорії помилок ф ормулами.

Д л я цього замінимо в (87,5) залежні м іж собою поправ

ки Ьхі результатами безпосередніх вимірів.

Я к відомо, найімовірніш і поправки обчислю ються за ф ор

м улами:

&xl= — (a1kl-{-blk.i-\-...-{-r1kr ),

Рі

Ьх2= — {a2klJrb2k2-\-...-\-r2kr )> j 0^

8х п= —-~{ап k^-\-bn k2-\-...-\-rn kr ).

Рп

Підставивш и (87,6) в (87,5 ), після простих перетворень

матимемо:

/ = / о + 1 у К + [ у К + - + 1 Y Ь + f £ 8a+ § J8P + § ^7 -

(8 7 ,7 )

Корел ати k\, k2, kr' теж залежні м іж собою, а том у

виключимо і їх. Д л я цього пом нож имо нормальні рівняння

корелат