Бояршинова А.К., Фишер А.С. Теория инженерного эксперимента. Текст лекций

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 5.1. Схема корреляционного анализа

Независимыми называются такие переменные величины, у которых при изме-

нении одной величины другая остается постоянной.

Стохастически зависимые – это такие величины, у которых каждому значе-

нию одной величины соответствуют различные значения другой, которые явля-

ются

случайными и могут быть описаны законами распределения.

Установление причинной обусловленности связей

между изучаемыми признаками

Отбор наиболее существенных признаков и установ-

ление формы связи

(формирование корреляционной модели)

Парная корреляция

Множественная

корреляция

Линейная Криволинейная Линейная Криволинейная

Определение параметров связи

(коэффициентов регрессии и корреляции)

Статистическая оценка показателей связи, получен-

ных по выборочным совокупностям

Корреляционная зависимость – частный случай стохастической, каждому зна-

чению одной величины соответствуют различные средние значения другой.

Функционально зависимыми называются такие величины, у которых каждому

значению одной величины соответствует вполне определенное значение другой.

(Функциональная зависимость – частный случай корреляционной, когда мера тес-

ноты связи между переменными, определяемая коэффициентом корреляции, рав-

на единице).

Стохастические

связи могут быть сложными. Наиболее простым и имеющим

важное практическое значение видом стохастической связи является корреляци-

онная, которая выражается в том, что на изменение одной случайной величины

другая реагирует изменениями своего математического ожидания или среднего

значения.

Таким образом, понятие корреляционной связи по сравнению со стохастиче-

ской более узко, так как математическое

ожидание является только одним из па-

раметров распределения и не определяет закона распределения в целом.

Найти математическое описание этих взаимосвязей – значит получить матема-

тическую модель объекта. В задачу корреляционно-регрессионного анализа вхо-

дят получение на основании экспериментальных данных математической модели

объекта (процесса) и её анализ. Ценность математической модели заключается в

том, что с её помощью можно решать задачи оптимизации процесса и предсказа-

ния результатов при изменении условий его протекания (вторую задачу называют

интерполяционной).

Методы корреляционно-регрессионного анализа применимы только для таких

параметров, которые при изучении физической природы объекта являются взаи-

мосвязанными. На первом этапе применения этих методов обычно оценивают

степень тесноты

взаимосвязи значений функции отклика с одной или нескольки-

ми независимыми переменными.

Удобно иллюстрировать сказанное геометрически, для чего рассмотрим сис-

тему из двух случайных величин: X (х

, х

, …, х

) и Y (y

, y

, …, y

Предположим, что в результате выполненных исследований различных систем

случайных величин X и Y получены некоторые результаты, которые графически

представлены на рис. 5.2.

Расположение точек на графике (поле корреляции) указывает на существова-

ние или отсутствие связи между факторными (X) и результативными (Y) призна-

ками.

В первом случае (рис. 5.2,а) каждому значению х

соответствует значение y

причем, полученные случайные точки разбросаны на поле координат x, y хаотич-

но и никакой закономерности не просматривается. График наглядно показывает,

что величины X и Y не коррелированны (не связаны). Вместе с тем еще нельзя ут-

верждать, что случайные величины также не зависимы. В теории вероятностей

доказывается, что условие независимости случайных

величин существенно более

жесткое, чем условие некоррелированности.

Во втором случае (рис. 5.2,б)) при изменении случайной величины X (возрас-

тании) величина Y имеет тенденцию также изменяться, убывать. Это убывание, в

общем, несмотря на значительный разброс точек, достаточно ясно видно. И хотя

для каждой, отдельно взятой пары х

и y

возможны различные отступления от

общей тенденции (например, при

должно было бы быть

yy <

а на гра-

фике

yy > ), но для всей совокупности точек она сохраняется. В данном случае

имеем слабо выраженную отрицательную корреляцию.

Рис.5.2. Корреляция случайных величин X и Y:

а – корреляция отсутствует; б – слабая корреляция; в – сильная

положительная корреляция; г – функциональная линейная

зависимость; д, е – функциональные

нелинейные зависимости

В третьем случае (рис. 5.2,в) очевидна ярко выраженная положительная кор-

реляция, так как при возрастании случайной величины X и величина Y также в

общем или в среднем возрастает.

Четвертый случай (рис. 5.2,г) иллюстрирует практически функциональную

линейную зависимость величины Y от величины X, причем, эта зависимость по-

ложительная.

Количественная

оценка степени взаимной связи (принято говорить о тесноте

или силе связи) дается с помощью так называемого коэффициента корреляции.

Коэффициент парной корреляции

)

б)

в)

г)

д)

е)

SnS

)xx)(yy(

−−

∑

, (5.1)

где

y ,

– средние арифметические значения x

и y

в рассматриваемой выбор-

ке; S

– их средние квадратические отклонения; n – объем выборки (обычно

200...50=n ).

Обозначим зависимую переменную цифрой 1, а независимые цифрами 2, 3, …,

m, тогда коэффициенты парной корреляции запишутся так: r

, r

, …r

, r

, ...,

а коэффициент множественной корреляции между y и x

, x

, ..., x

– R

1,23

...

Коэффициент множественной корреляции с использованием метода определи-

телей находятся по формуле

1123,1

/1 DDR −= , (5.2)

где D – определитель, составленный из всех коэффициентов парной корреляции,

rrr

mmm

321

22321

11312

KKKKK

– определитель, получающийся из D исключением нулевого (первого слева)

столбца и нулевой (верхней) строки:

332

223

KKKK

D = .

В случае трех переменных

231312

23,1

rrrrr

−

−+

. (5.3)

Значения

xxxy

находятся в пределах от –1 до +1. Если они достовер-

ны, т.е. существенно отличаются от нуля, значит, между исследуемыми фактора-

ми имеется линейная корреляционная зависимость. В противном случае эта зави-

симость отсутствует либо является существенно нелинейной. Если

или

xxxy

равны +1 или –1, что встречается крайне редко, между исследуемыми

факторами существует функциональная взаимосвязь. Знаки

xxxy

гово-

рят о прямом (+) или обратном (

−) характере взаимосвязей между исследуемыми

факторами.

Если корреляционным анализом подтверждено наличие взаимосвязей между

исследуемыми факторами, то на следующем этапе обработки экспериментальных

данных с помощью регрессионного анализа выбирают математическую модель, в

наилучшей степени описывающую указанные взаимосвязи. Уравнение, по кото-

рому могут быть найдены числовые значения выборочных средних функций от-

клика при соответствующих значениях независимых переменных, называется

уравнением регрессии. В общем случае оно может быть записано в виде

),...,,(

21 m

ххxfy

Операция замены одной функции другой, в каком-то смысле эквивалентной,

называется аппроксимацией. При аппроксимации неизвестных функций отклика в

математической статистике наиболее часто используют полиномиальные модели.

Степень полинома определяется максимальной степенью входящих в него пере-

менных.

Выпишем полиномы различных степеней для случая двух факторов:

нулевой степени

, (5.4)

первой степени

22110

xbxbby

, (5.5)

второй степени

222

111211222110

xbxbxxbxbxbby +++++=

, (5.6)

третьей степени

2222

1111

211222

1112

222

111211222110

xbxbxxbxxbxbxbxxbxbxbby +++++++++= . (5.7)

Уравнения регрессии вида (5.4) и (5.5) называются линейными, а вида (5.6)

и (5.7) – нелинейными. Линейные уравнения регрессии можно использовать на

первом этапе исследований нелинейных корреляционных связей с тем, чтобы в

дальнейшем ввести в них необходимые поправки.

С позиции статистики полиномиальная модель удобна, так как позволяет

увеличить степень точности аппроксимации за счет повышения порядка полино-

ма. При этом аппроксимирующая функция остается линейной по параметрам, что

облегчает все статистические операции (применение метода наименьших квадра-

тов для оценки параметров, выбор оптимального расположения уровней факторов

в области их изменения и т. д.).

Применение корреляционно-регрессионного анализа правомерно и эффек-

тивно при соблюдении следующих условий:

параметр оптимизации y есть случайная величина с нормальным зако-

ном распределения;

дисперсия y не зависит от абсолютных значений величины y, остается

постоянной или однородной при различных наблюдениях

значения независимых переменных x

, x

, …, x

измеряются с

пренебрежимо малыми ошибками по сравнению с ошибкой в

определении

переменные x

, x

, …, x

линейно независимы;

5) процесс изменения зависимой переменной y является стацио-

нарным случайным;

экспериментальные данные получены из ряда независимых ис-

пытаний, наблюдений и образуют случайную выборку из данной

генеральной совокупности.

Пятое и шестое условия характерны для пассивного эксперимента, осталь-

ные – как для пассивного, так и для активного.

Корреляционное поле характеризует вид связи между

x и y. По форме поля

можно ориентировочно судить о форме графика, характеризующей прямолиней-

ную или криволинейную зависимости. Даже для вполне выраженной формы кор-

реляционного поля вследствие статистического характера связи исследуемого яв-

ления одно значение

x может иметь несколько значений y.

Поэтому оптимальной будет такая функция, в которой соблюдаются усло-

вия наименьших квадратов:

∑

=− min)(

, (5.8)

где

– фактические ординаты поля; y – среднее значение ординаты с абсцис-

сой

При прямолинейной корреляции поле корреляции аппроксимируется урав-

нением прямой

bxay

. (5.9)

Определим коэффициенты

a, b так, чтобы выполнялось условие (5.8). Как

известно, необходимым условием того, что функция приобретает минимальное

значение, является равенство нулю её первой производной (или частных произ-

водных для функции многих переменных).

Обозначим

∑

−−=

bxay

)(

, определим производные

a∂

∂

b∂

∂

и при-

равняем их к нулю:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=⋅−−

=−−

∑

iii

xbxay

bxay

,0][2

откуда

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=+⋅

∑∑∑

∑∑

===

.yxxbxa

,yxbna

(5.10)

Решая систему (5.10) относительно

a и b, получаем:

;

)(

∑

−

xxn

yxxyn

b (5.11)

xxn

xyxxy

iiiii

∑∑

∑

∑∑∑∑

−=

−

)(

. (5.12)

Критерием близости корреляционной зависимости между

x и y к линейной

функциональной зависимости является коэффициент корреляции

r. Он показыва-

ет степень линейности связи

x и y:

;

])([])([

2222

∑∑∑∑

∑

−⋅−

−

±=

iiii

yynxxn

yxyxn

(5.13)

;

))((

yyxx

σσ

∑

−

±=

(5.14)

)(

yxyx

σσ

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

±=

∑

(5.15)

где n – число измерений;

, – среднеквадратичные отклонения.

Несмотря на громоздкость формулы (5.13), она наиболее простая для вы-

числений. Значение коэффициента корреляции всегда меньше единицы. При

r =

=1,0 величины x и y связаны функциональной связью (в данном случае линейной),

т.е. каждому значению x соответствует одно значение y. Если

r < 0,5, то линей-

ной связи не существует, однако может существовать нелинейная регрессия.

Обычно считают тесноту связи удовлетворительной при

r ≥ 0,5, хорошей − при

r ≥ 0,8…1,0.

Метод наименьших квадратов может использоваться и в случае нелинейных

функций. Так, при определении параметров квадратичной зависимости

cbxaxy ++=

, (5.16)

используя метод наименьших квадратов, получаем систему нормальных уравне-

ний:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=++

∑∑∑∑

∑∑∑

====

===

.yxxcxbxa

,yxxcxbxa

,yncxbxa

111

(5.17)

Из этой системы можно найти параметры

a, b, c.

6. ЭКСПЕРТНЫЕ ОЦЕНКИ В ИНЖЕНЕРНЫХ

ИССЛЕДОВАНИЯХ

Работу, связанную с получением экспертных оценок, можно разделить на не-

сколько этапов.

Подбор группы экспертов и выбор способа работы с экспертами.

Выбор метода упорядочивания альтернатив.

Составление анкет.

Проведение опроса.

Анализ и обработка полученной информации.

6.1. Методы экспертных оценок для принятия решений

Чтобы получить представление о мнении специалистов по какому-либо вопро-

су, можно поступить по-разному. Можно, например, организовать дискуссию.

Здесь есть опасения, что мнения наиболее авторитетных или просто «напори-

стых» участников окажет значительное влияние на суждение остальных. Одним

из методов получения объективной информации от группы специалистов является

метод экспертных оценок.

Составляется

список компетентных в рассматриваемой области лиц, который

служит основой для выбора экспертов. При малом числе экспертов на групповую

оценку оказывает излишнее влияние оценка каждого из экспертов, в то же время

при очень большом числе экспертов труднее выявить их согласованное мнение и

может снизиться достоверность групповой оценки вследствие уменьшения «ере-

тических»

мнений, отличающихся от мнения большинства, но далеко не всегда

оказывающихся неправильными.

Один из способов отбора экспертов заключается в составлении специальных

анкет, отвечая на вопросы которых кандидаты в эксперты должны показать свою

эрудицию и аналитические способности. Ответ на каждый из поставленных во-

просов дается в короткое время (порядка десяти минут); кроме того

, выполняется

«самооценка» своих знаний в области заданного вопроса в виде числа.

Подобные анкеты позволяют судить как о действительных знаниях эксперта,

так и о его способности критически оценить собственные возможности.

Другим способом отбора наиболее компетентных экспертов являются расче-

ты достоверности и точности их оценок.

Рассматривая эксперта как своеобразный «прибор», определяют достоверность

(надежность) и точность его оценок по результатам прошлой деятельности. Для

этого рассчитывают степень надежности эксперта, под которой понимается отно-

сительная частота случаев, когда эксперт приписал наибольшую вероятность ги-

потезам, впоследствии оказавшимися верными, т.е. подтвердившимися. Расчет

ведется по формуле

= (6.1)

где

– число случаев, в которых эксперт, встретившись с несколькими альтер-

нативными гипотезами, приписал наибольшую вероятность той, которая подтвер-

дилась;

– общее число случаев, когда эксперт производил оценку.

Однако, учитывая, что эксперт обычно работает в коллективе, вводится поня-

тие об его относительной надежности. Относительная надежность рассчиты-

вается по формуле

R =

′

(6.2)

где

– степень надежности («абсолютная») данного эксперта;

R – средняя сте-

пень надежности, исчисленная для некоторой группы экспертов.

Необходимо, чтобы условия опроса создавали возможность получения наибо-

лее достоверных оценок. С целью обеспечения независимости оценок следует

устранять возможное взаимовлияние экспертов и уменьшается воздействие по-

сторонних факторов. Большое значение имеют правильная формулировка вопрос-

ников (анкет), позволяющая выразить ответ на каждый из

вопросов в виде коли-

чественной оценки, и согласование оценок, полученных от различных экспер-

тов.

Существует несколько способов использования группы экспертов. Один из

них (индивидуальный, или метод согласования оценок) заключается в том,

что каждый эксперт дает оценку независимо от других, а затем с помощью како-

го-либо приема эти оценки объединяются в

одну обобщенную (согласо-

ванную). Второй способ (групповой) основан на совместной работе экспер-

тов и получении суммарной оценки от всей группы в целом. При третьем спосо-

бе (так называемый метод Дельфы) согласование индивидуальных оценок

сочетается с последовательным ознакомлением каждого эксперта с оценками

остальных.

Наиболее распространено использование группы экспертов по методу согла-

сования оценок. Тогда, если речь идет о вероятности какого-либо события или ги-

потезы и

i -й эксперт указывает для этой вероятности число

P , простейший спо-

соб получения обобщенной оценки состоит в вычислении средней вероятности:

......

PPPP

(6.3)

где

P,...,P,P

– оценки , полученные от экспертов; n — число экспертов, уча-

ствующих в оценке.

Можно рассчитать и средневзвешенное значение вероятности, если попытать-

ся учесть вес мнения самого эксперта, который определяется либо на основе оце-

нок предыдущей деятельности эксперта, например, степени надежности, либо с

учетом квалификации, эрудиции, должности или академического звания эксперта.

Средняя взвешенная оценка вычисляется по формуле

RRR

PRPRPR

+++

...

2211

, (6.4)

где

R,...,R,R

– веса, приписываемые каждому эксперту;

PPP ,...,,

– оценки

вероятности, полученные соответственно от каждого эксперта.

6.2. Анкетирование и опрос экспертов

Кант писал, что если вопрос сам по себе бессмыслен и требует бесполезных

ответов, то, кроме стыда для вопрошающего, он имеет иногда еще тот недостаток,

что побуждает неосмотрительного слушателя к нелепым ответам и создает смеш-

ное зрелище: один доит козла, а другой держит под ним решето [8].

По своему характеру вопросы, включаемые в

анкеты, могут быть разделены на

следующие типы:

1) вопрос, ответ на который заключается в выборе одного из нескольких точно

сформулированных мнений. Каждому из мнений может быть приписан опреде-

ленный балл;

2) вопрос о поведении эксперта в конкретной ситуации. Ответы фиксируют

наличие или отсутствие определенного действия;

3) вопрос, требующий оценить численное значение или

вероятность какой-

либо величины;

4) вопрос, цель которого замаскирована относительно измеряемой качествен-

ной переменной. Измерение заключается в системе оценок, производимых анали-

тиками в зависимости от ответов, данных экспертами.

Опрос может проводиться заочно, когда личный контакт аналитиков с экс-

пертами отсутствует, либо очно, когда заполнение анкеты осуществляется

при личной беседе с экспертом

. Преимуществами заочного опроса являют-

ся его относительная простота и дешевизна; однако здесь возможны случаи не-

правильного заполнения анкет. При личной беседе этот недостаток исключается,

но требуются значительные затраты труда и времени. Кроме того, аналитик,

проводящий личный опрос, может сознательно или бессознательно влиять на

ответы эксперта.

При заполнении анкет определенную роль

играют порядок постановки вопро-

сов и их фразеологическая формулировка. Вопросы не должны допускать двойно-

го толкования или стремления заставить эксперта выразить свое мнение в облас-

ти, где он недостаточно компетентен. Мера конкретизации вопросов должна учи-

тывать реальную возможность эксперта дать правильный ответ. Излишняя кон-

кретизация создает иллюзию точности, тогда как в

самом деле она подготавливает

почву для получения заведомо неверных ответов. Установлено, что сначала луч-

ше требовать ответ на наиболее сложные и общие вопросы, а затем постепенно

переходить к более простым и частным. При этом не следует формулировать во-

просы так, чтобы обеспечить ответы, гарантирующие «единодушие» экспертов.

Набор вопросов в анкете

должен иметь логическую связь, однако эксперт мо-

жет менять некоторые из них, если они не учитывают все важные, с его точки

зрения, критерии. Кроме ясности и точности вопросов, требуется, чтобы каждый

из них «работал» на выяснение всей проблемы в целом.