Бояршинова А.К., Фишер А.С. Теория инженерного эксперимента. Текст лекций

Подождите немного. Документ загружается.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра «Автомобильный транспорт»

519.2(07)

Б869

Бояршинова А.К., Фишер А.С.

ТЕОРИЯ ИНЖЕНЕРНОГО

ЭКСПЕРИМЕНТА

Текст лекций

Челябинск

Издательство ЮУрГУ

2006

УДК 519.242(075.8)+519.23(075.8)+519.2(075.8)

Одобрено

учебно-методической комиссией

автотракторного факультета

Рецензенты:

д.т.н., проф. Суркин В.И., д.т.н., проф. Жилкин В.А.

Бояршинова, А.К.

Б689 Теория инженерного эксперимента: текст лекций/А.К. Бояршинова,

А.С. Фишер. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2006. – 85 с.

В тексте лекций

изложены основополагающие принципы и элемен-

ты научных исследований применительно к специфике технической

эксплуатации автомобилей.

Рассмотрены основные методы оптимального планирования экспе-

римента, основы теории ошибок измерений применительно к инженер-

ному эксперименту, современные методы математической обработки

результатов экспериментов. Приведена методика применения методов

экспертных оценок на примере сравнительной оценки потребительских

свойств автотранспортных средств. Учебное

пособие предназначено

для студентов специальностей 190601 – «Автомобили и автомобильное

хозяйство» и 190603 – «Сервис транспортных и технологических ма-

шин и оборудования (автомобильный транспорт)» очного обучения и

специальности 190603 – «Сервис транспортных и технологических ма-

шин и оборудования (автомобильный транспорт)» заочного обучения.

УДК 519.242(075.8)+519.23(075.8)+519.2(075.8)

Б869

1. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Цель изучения дисциплины – знакомство с существующими методами, подхо-

дами решения инженерных задач, с методами планирования, порядком проведе-

ния, обработкой и анализом результатов инженерного эксперимента.

Инженерная задача – это задача преобразования или перехода объекта из ис-

ходного состояния в требуемое конечное состояние при наличии объективных ог-

раничений: технических, технологических, энергетических, информационных, по

материальным ресурсам и т. д.

Инженерной задача может считаться только тогда, когда существует несколь-

ко альтернативных путей ее решения и инженеру нужно выбрать из этих путей

наиболее предпочтительный, удовлетворяющий сформулированным условиям и

ограничениям. На рис.1.1 приведена общая структурная схема решения инженер-

ной задачи [1].

Ошибка!

1.1. Эксперимент как предмет исследования

Для инженерного исследования характерно сочетание экспериментального и

аналитического методов изучения явлений и процессов.

Эксперимент – это метод познания, при помощи которого в контролируемых и

управляемых условиях исследуется явление действительности.

Под инженерным экспериментом (ИЭ) понимается совокупность опытов, объ-

единенных единой целью и единой системой ограничений в пространстве и во

времени.

Рассмотрим следующую классификацию

ИЭ:

Рис 1.1. Схема решения инженерной задачи

Преобразования

Конечное

состояние

объекта

Исходное

состояние

объекта

Ограничения

Путь A

Путь B

Путь C

качественный – проводится с целью установления наличия или отсутствия у

объекта определенных свойств или характеристик;

измерительный – проводится с целью выявления количественных характери-

стик исследуемого объекта;

пассивный – является традиционным методом, когда ставится большая серия

опытов с поочередным варьированием влияющих факторов;

активный – ставится по заранее составленному плану эксперимента, при этом

предусматривается одновременное изменение

всех параметров, влияющих на

процесс.

При натурных экспериментах исследователь имеет дело непосредственно с

изучаемым объектом и явлением.

В модельных экспериментах объект исследования заменяется его моделью –

некоторым подобием оригинала, сохраняющим его особенности, существенные

для данного исследования. Моделирование (построение модели) выполняется на

базе теории подобия.

По стадиям научных исследований эксперименты делят на лабораторные

стендовые и промышленные.

Любой эксперимент может быть разбит на четыре основных этапа:

1) постановка задачи эксперимента (его цель);

2) планирование эксперимента;

3) подготовка и проведение эксперимента;

4) обработка и анализ результатов эксперимента, выводы и рекомендации.

Планированием эксперимента называется процедура выбора числа и последо-

вательности постановки опытов, необходимых и достаточных для

достижения це-

ли эксперимента с требуемой точностью.

Теория планирования эксперимента (ТПЭ) позволяет при минимальном числе

опытов получить математическую модель процесса и определить оптимальные

пути его протекания.

Основой ТПЭ являются математическая статистика и теория вероятностей, так

как результаты эксперимента в основном являются случайными величинами или

случайными процессами. Причиной этому могут служить неконтролируемые

ус-

ловия проведения эксперимента, ошибки наблюдений, измерений и т. д.

1.2. Функция цели и факторы

Рассмотрим процесс контакта автомобильной шины и опорной поверхности.

Величина удельного давления в плоскости контакта зависит от геометрических

размеров шины, массы автомобиля, давления в камере шины, состояния дорожно-

го покрытия и т.п.

Перечисленные независимые переменные, влияющие на рассматриваемую за-

висимую величину (давление в плоскости контакта), называются факторами, а за-

висимая величина

называется функцией цели или, точнее говоря, функцией от-

клика (отклик на изменившийся фактор), которая связывает независимые пере-

менные (факторы) с исследуемой зависимой величиной:

),,,(

21 n

xxxFy K

. (1.1)

Значения, которые факторы принимают в эксперименте, называются уровнями

факторов.

Нижний уровень фактора – наименьшее значение, которое может принимать

фактор в эксперименте.

Верхний уровень фактора – наибольшее значение, которое может принимать

фактор в эксперименте.

Нулевой уровень фактора – середина диапазона изменения фактора.

Рис.1.2. Уровни факторов

На рисунке 1.2 обозначены: x

1min

– нижний уровень фактора; x

1max

– верхний

уровень фактора; x

– нулевой уровень фактора.

Факторы разделяются на управляющие, контролируемые и неконтролируе-

мые.

Управляющие – такие, когда известно их наименование и диапазон изменения.

Фактор будет управляющим, если выполнены следующие требования:

измеряемости – т.е. возможности измерить фактор имеющимися средствами

измерения с требуемой точностью;

управляемости – возможность поддерживать фактор на заранее заданном

уровне;

независимости – отсутствие зависимости

от других факторов;

совместимости – возможность практического осуществления намеченной

комбинации двух или нескольких факторов.

Диапазон изменения уровней факторов определяется исходя из конкретных

условий эксперимента.

Интервалы варьирования фактора внутри диапазона выбираются из условий

различимости. Различимость заключается в том, что интервал уровней фактора

должен быть не меньше, чем удвоенное среднеквадратичное отклонение измере-

ния

этого фактора, так как в противном случае будет невозможно различить по-

лученные результаты.

Контролируемые факторы – к ним относятся, например, факторы внешней

среды, которые могут влиять на функцию цели. При лабораторных испытаниях

автомобиля к контролируемым факторам обычно относят температуру воздуха,

давление, влажность на тот момент, когда проводятся испытания. Эти значения

фиксируются в

протоколе эксперимента.

1min

1max

Неконтролируемые факторы (возмущающие) – совершенно случайные как во

времени своего проявления, так и по силе влияния на функцию цели. Опыты, в

которых выявлено влияние неконтролируемых факторов, нужно исключить из

общего числа опытов данного эксперимента [2, 3].

2. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

2.1. Проверка воспроизводимости эксперимента

Основная цель ТПЭ – построение математической модели исследуемого в экс-

перименте процесса. Чтобы воспользоваться методами ТПЭ, нужно сначала убе-

диться, что эксперимент воспроизводим.

Под воспроизводимыми экспериментами понимаются такие, в процессе кото-

рых в любой момент времени объект исследования и измерительное оборудова-

ние можно вернуть в исходное состояние и эксперимент повторить. Например,

испытывая

двигатель и снимая его характеристики, можно предположить, что в

любой момент или за относительно короткий отрезок времени можно вернуться к

исходному режиму и воспроизвести его практически без каких-либо изменений.

Большинство экспериментов в науке и технике относится к невоспроизводи-

мым. Наиболее яркий пример – исследование изнашивания детали какого-либо

узла машины

при испытаниях ее на надежность.

В процессе лабораторного или эксплуатационного эксперимента объект иссле-

дования деформируется, меняя форму, или уменьшается в размерах. Такое про-

грессирующее ухудшение технического состояния объекта исследований не по-

зволит исследователю воспроизвести состояние, в котором объект был в начале

исследования.

Для проверки воспроизводимости эксперимента проводят несколько серий па-

раллельных

опытов.

Параллельные опыты – опыты, проведенные несколько раз при одних и тех же

значениях факторов. Результаты опытов заносятся в таблицу 2.1, где k – число

параллельных опытов (обычно k = 2…4); N – число серий параллельных опытов.

Для каждой серии параллельных опытов вычисляют среднее арифметическое

значение функции отклика:

Njy

K1,

∑

. (2.1)

Затем для каждой серии параллельных опытов вычисляют оценку дисперсии:

()

∑

−

jjij

. (2.2)

Так как результаты опытов являются величинами случайными, то значения

функции цели в параллельных опытах в общем случае будут различными.

Далее нужно определить расчетное значение числа Кохрана G

(критерий про-

верки воспроизводимости эксперимента), для этого находят максимальную из

оценок дисперсии

max

и относят к сумме

max

∑

(2.3)

Таблица 2.1

Результаты опытов

№ серии

опытов

Параллельные опыты

...

... … … … … … …

… … … … … … …

…

Значения критерия Кохрана приведены в статистической таблице (Приложе-

ние 1). Они соответствуют доверительной вероятности

Р=0,95, с которой прини-

мается гипотеза о воспроизводимости опытов.

Величина

р=1–Р называется уровнем значимости.

Для нахождения

необходимо знать общее количество оценок дисперсий N

и число степеней свободы

f, связанной с каждой из них, причем f=k

−

Если выполняется условие:

≤G

, (2.4)

то опыты считаются воспроизводимыми, а ряд дисперсий – однородным.

Если опыты невоспроизводимы, то можно попытаться достигнуть воспроизво-

димости выявлением и устранением источников нестабильности эксперимента, а

также использованием более точных методов и средств измерений.

Наконец, если никакими способами невозможно достигнуть воспроизводимо-

сти, то математические методы планирования к такому эксперименту применять

нельзя.

2.2. Общие положения ТПЭ

Вид функции отклика y=F(

x...,,x,x

) заранее неизвестен. Для отыскания

этой неизвестной функции предложена идея рассматривать не саму функцию, а ее

разложение в какой-либо степенной ряд, например, ряд Тейлора:

............

1111)1(2112110

++++++++++=

−− nnnnnnn

xxxxxxxy

βββββββ

, (2.5)

где

)0,,0(

Ky=

– значение функции отклика в начале координат;

∂

;

∂∂

∂

;

∂

⋅=

и т. д.

На практике ограничиваются конечным числом членов разложения ряда (2.5),

аппроксимируя функцию

F полиномами первой или второй степени. Коэффици-

енты разложения находят по результатам экспериментов [4].

2.3. Кодирование факторов

Для простоты изложения примем y=F(x

, x

Пусть каждому фактору соответствует координатная ось (это можно сделать,

так как факторы независимы). Образованное таким образом пространство называ-

ется факторным (рис.2.1).

max2

−

1 0 +1

x∆

min2

∆

min1

max1

Рис.2.1. Переход от реальных факторов к кодированным

−

Отметим диапазоны изменения факторов:

mini

– нижний уровень;

maxi

– верх-

ний уровень

, i = 1, 2. Найдем середины этих диапазонов – основные уровни

maxmin

(2.6)

и шаг варьирования фактора

minmax ii

−

=∆

. (2.7)

Перенесем начало координат в точку 0

(

x ) и перейдем к новым коорди-

натам по формуле

∆

−

. (2.8)

Назовем X

– кодированными координатами. В кодированном виде верхний

уровень любого фактора имеет значение “+1”, нижний – “

−1”, основной – “0”.

Кодирование уровней факторов проводится для удобства записи условий экспе-

римента и обработки экспериментальных данных.

2.4. Рандомизация эксперимента

Для того, чтобы в известной мере компенсировать систематические погрешно-

сти эксперимента, используют прием, называемый рандомизацией. Он заключает-

ся в том, что опыты проводят в случайной последовательности, которая устанав-

ливается с помощью таблицы случайных чисел.

Пусть, например, требуется рандомизировать во времени 6 опытов, обозна-

ченных цифрами I, II,…,VI.

Поставим им в соответствие любые 6 последователь-

ных чисел, взятых в любой строке или в любом столбце таблицы случайных чисел

[5]. Если при этом встретятся повторяющиеся числа, то их следует отбросить.

Например, могут быть получены следующие пары:

I–60; II–12; III–05; IV–15;

V–34; VI–30.

Расположив случайные числа в порядке возрастания (или убывания), получим

искомую последовательность реализации опытов:

III, II, IV, VI, V, I (или I, V, VI, IV, II, III).

2.5. Метод полного факторного эксперимента

В методе полного факторного эксперимента (ПФЭ) ограничиваются линейной

частью разложения (2.5) и членами, содержащими произведения факторов в пер-

вой степени.

Коэффициенты искомого уравнения определяют на основе экспериментальных

данных и, следовательно, несут на себе отпечаток погрешностей эксперимента.

Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в уравнении вместо символов

, обозна-

чающих истинные значения коэффициентов, пишут

b, подразумевая под этим со-

ответствующие выборочные оценки.

Итак, с помощью ПФЭ ищут математическое описание процесса в виде урав-

нения

nnnnnn

XXbXXbXbXbXbby

1)1(211222110 −−

++= KK . (2.9)

Его называют уравнением регрессии, а коэффициенты – коэффициентами рег-

рессии.

Для удобства вычислений коэффициентов регрессии все факторы в ходе пол-

ного факторного эксперимента варьируют на двух уровнях, соответствующих зна-

чениям кодированных переменных +1 и –1.

Таким образом, полным факторным экспериментом называется система опы-

тов, содержащая все возможные неповторяющиеся комбинации верхнего и ниж-

него

уровней факторов.

В таблице 2.2 приведены условия проведения опытов полного двухфакторного

эксперимента. Часть таблицы, обведенная пунктиром, называется матрицей пла-

нирования.

Таблица 2.2

Полный двухфакторный эксперимент

Опыты, приведенные в табл. 2.2, соответствуют на факторной плоскости вер-

шинам квадрата с центром в начале координат (рис. 2.2).

В таблице 2.3 приведены условия опытов полного трехфакторного экспери-

мента. Эти опыты соответствуют в факторном пространстве вершинам куба с

центром в начале координат.

Из этих таблиц видны основные принципы построения

матрицы планирования

ПФЭ:

• уровни варьирования первого фактора чередуются от опыта к опыту;

• частота смены уровней варьирования каждого последующего фактора вдвое

меньше, чем в предыдущем.

Факторы

Номер опыта

Функция отклика

−1

2 +1

−1