Бояршинова А.К., Фишер А.С. Теория инженерного эксперимента. Текст лекций

Подождите немного. Документ загружается.

но, что нет смысла производить измерений больше, чем это необходимо, чтобы

систематическая ошибка существенно превышала случайную.

Отсюда вытекают следующие правила.

1. Если систематическая ошибка является определяющей, т.е. ее величина

существенно больше величины случайной ошибки, присущей данному методу, то

достаточно выполнить измерение один раз.

2. Если случайная ошибка является определяющей, то измерения следует про-

изводить несколько раз. Число измерений целесообразно выбирать таким, чтобы

случайная ошибка среднего арифметического была меньше систематической

ошибки с тем, чтобы последняя опять определяла окончательную ошибку резуль-

тата.

Для уменьшения случайной ошибки результата, как мы уже знаем, могут быть

использованы два пути: улучшение точности измерений, т.е. уменьшение величи-

ны σ, и увеличение числа измерений, т.е. использование соотношения

Сейчас будем говорить только о последнем приеме, считая, что все возможно-

сти совершенствования техники измерений уже использованы. Пусть системати-

ческая

ошибка измерений, определяемая классом точности прибора или другими

аналогичными обстоятельствами, будет .

Известно, что уменьшать случайную ошибку целесообразно только до тех пор,

пока общая погрешность

измерений не будет полностью определяться система-

тической ошибкой. Для этого необходимо, чтобы доверительный интервал, опре-

деленный с выбранной степенью надежности, был бы существенно меньше вели-

чины систематической ошибки. Иначе говоря,

≤

∆

(3.20)

Разумеется, нужно условиться, какой степени надежности

мы требуем и ка-

кую величину для случайной ошибки следует считать допустимой, т. е. какое со-

отношение величин

∆ и

можно считать удовлетворяющим условию (3.20).

Строгую оценку этого сделать трудно, однако можно исходить из того, что, как

правило, нет необходимости определять общую ошибку с точностью большей

10%. Это означает, что в том случае, когда 10

≤

∆

, условие (3.20) можно счи-

тать выполненным. Практически обычно можно удовлетвориться гораздо менее

жестким требованием: 3

≤∆

или даже 2

≤

∆

Надежность ,

с какой хотим установить доверительный интервал, в боль-

шинстве случаев не должна превышать 0,95, хотя иногда требуются и более высо-

кие значения .

Для оценки необходимого число измерений в Приложении 6

имеется таблица, в которой

∆ дано в долях средней квадратичной ошибки.

Примеры.

1. Измеряется диаметр шарика с помощью микрометра, имеющего погреш-

ность в 1 мкм. Средняя квадратичная погрешность единичного измерения равна

2,3 мкм. Сколько измерений нужно проделать, чтобы ошибка не превышала 1,5

мкм с надежностью 0,95?

Положим 5,02

==∆

мкм, 3,2

S мкм, 3,2

5,0

∆

22,0=

. Из табли-

цы в Приложении 6 находим в колонке 95,0

: для 3,0

46=n и для 2,0

100=n . Составив соответствующую пропорцию, легко рассчитать, что для

22,0

=∆=

≈

n .

Иначе говоря, нужно сделать около 60 измерений, чтобы случайная ошибка

изменила общую погрешность результата измерений не более чем в полтора раза.

Интересно посмотреть, сколько нужно сделать измерений, если мы наложим

еще менее жесткое требование, а именно, чтобы систематическая и случайная

ошибки были примерно равны по величине. В этом случае полагаем

45,0=∆=

и из той же таблице находим (для 95,0

) 23≈n .

В обоих этих примерах число необходимых измерений получалось хотя и

большое, но такое, которое может быть выполнено.

2. Коэффициент вариации w для некоторого измерения составляет 1%. Систе-

матическая ошибка измерений %1,0

. Сколько измерений нужно проделать,

чтобы случайная ошибка практически не играла роли?

Так как все ошибки выражены в относительных единицах, то

05,0

∆

. (3.21)

Из таблицы находим для той же доверительной вероятности 95,0=

и для

05,0

=∆

1500=n (!).

Очевидно, что практически такое число измерений обычно проделать нельзя.

Из этих примеров можно сделать заключение, что увеличением числа измере-

ний можно устранить влияние случайной ошибки на результат только в том слу-

чае, если средняя квадратичная погрешность не более чем в несколько раз пре-

восходит систематическую ошибку. Реально это возможно, если

≤

. При

больших значениях

для существенного уменьшения роли случайной ошибки

уже требуются сотни и тысячи, а иногда десятки тысяч измерений, как это видно

из таблицы в Приложении 6. В таких случаях для уменьшения погрешности ре-

зультата необходимо радикально менять методику измерений с тем, чтобы

уменьшить величину случайной ошибки.

3.8. Суммарная погрешность

В случае, когда систематическая и случайная погрешности измерений близки

друг к другу, они обе в одинаковой степени определяют точность результата. Зна-

чение суммарных ошибок можно оценить так: обозначим величину систематиче-

ской ошибки

дисперсию измерений – ;

тогда в качестве верхней границы

суммарной ошибки

∑

можно принять

∑

(3.22)

Действительно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что результаты изме-

рений не будут отличаться от истинного значения на величину, превышающую

∑

Следует заметить, что вопрос о сложении систематических и случайных оши-

бок актуален только тогда, когда одна из них не более чем в несколько раз пре-

вышает другую. В противном случае в качестве меры погрешности измерения

следует указывать только большую ошибку.

3.9. Ошибки первого и второго рода

В тех случаях, когда измеряются какие-то свойства готовой продукции (диа-

метр подшипника, состав металла, и т.п.), задача измерений обычно состоит не в

получении точного значения измеряемой величины, а в необходимости уложиться

в определенные допуски, установленные для данной продукции. Те изделия, ко-

торые не укладываются в эти допуски, будем называть

браком. Но следствием

ошибок измерений могут быть два обстоятельства: 1) хорошее изделие бракуется

и 2) брак пропускается. Поясним это примером: диаметр вала равен 60 мм с до-

пуском 0,013 мм. При измерении диаметра получили число 60,012 мм. Ошибка

измерительного устройства 0,002 мм. Следовательно, вал признаем годным, хотя

на самом деле он мог иметь диаметр 60,014 мм, т.

е. должен считаться браком. В

этом случае допущена ошибка второго рода. Наоборот, если при той точности из-

мерений оказалось, что диаметр вала 60,014 мм, то вал забракуем, хотя в действи-

тельности его размеры могут находиться внутри допуска (скажем, составлять

60,012 мм). В этом случае сделана ошибка первого рода. Очевидно, что когда

размеры

изделия находятся вблизи границ допуска, всегда есть вероятность сде-

лать ошибку первого или второго рода. Казалось бы, что наиболее страшна ошиб-

ка второго рода – пропуск брака. Это действительно так, когда имеем дело с очень

дорогими и ответственными изделиями. В этом случае лучше забраковать 100 хо-

роших изделий, чем пропустить одно бракованное. Однако

для менее ответствен-

ных изделий чересчур жесткий контроль, необходимый для полного отсутствия

ошибок второго рода, нецелесообразен. Действительно, чем вернее хотим застра-

ховать себя от ошибок второго рода, тем больше (при неизменной точности изме-

рений) делаем ошибок первого рода. Разумеется, невыгодно и нецелесообразно

переводить в брак сотню хороших шариковых ручек, чтобы

не пропустить в пар-

тии одной плохой. Такой излишне строгий контроль будет неоправданно увели-

чивать стоимость изделий. Выбор экономически целесообразной системы измере-

ний и браковки является во всех случаях чрезвычайно важным.

В той или иной мере ошибки Ι и ΙΙ рода всегда наблюдаются при диагностике

узлов автомобильного транспорта, что снижает эффективность

его эксплуатации.

Ошибки Ι рода приводят к неоправданным разборочно-сборочным и повероч-

ным работам, простою автомобиля и снижению коэффициента его использования.

Ввиду того, что ошибки Ι и ΙΙ рода всегда обусловлены многочисленными факто-

рами, их количественные характеристики могут носить только статистический

характер и задаваться как вероятности

P и

ΙΙ

P . Например, если автомобиль перед

выходом из АТП диагностируется по пяти параметрам, а ошибка Ι рода (вероят-

ность ложного отказа) по каждому из них составляет 1,0

Ιj

P , то вероятность не-

выхода автомобиля на линию определяется так:

41,0)1,01(1)1(1

=−−=−−=

Ι j

PПP .

Это означает, что 41% автомобилей должны быть задержаны для устранения

несуществующих неисправностей.

Немаловажным фактором, свидетельствующим в пользу уменьшения ошибок Ι

рода, является и то, что любая разборочно-сборочная операция, даже если деталь

не ремонтируется, снижает срок службы узла до 20%.

Ущерб от пропуска неисправности, которая может появиться при эксплуата-

ции, связан

уже с возможными простоями автомобиля на линии или, что особенно

опасно, с возможными дорожно-транспортными происшествиями. Кроме того,

ошибки ΙΙ рода, допущенные в оценке технического состояния таких агрегатов,

как двигатель и ходовая часть, приводят к ощутимым потерям из-за увеличения

расхода топливно-смазочных материалов и износа шин, повышению токсичности

отработавших

газов в результате ошибок ΙΙ рода при регулировке системы пита-

ния и зажигания.

Изложенное доказывает необходимость снижения ошибок Ι и ΙΙ рода в услови-

ях АТП на любом этапе принятой технологии диагностирования [7].

4. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

4.1. Методы графического изображения результатов измерений

При обработке результатов измерений и наблюдений широко используют ме-

тоды графического изображения.

Результаты измерений, представленные в табличной форме, не позволяют дос-

таточно наглядно характеризовать закономерности изучаемых процессов. Графи-

ческое изображение дает наиболее наглядное представление о результатах экспе-

риментов, позволяет лучше понять физическую сущность исследуемого процесса,

выявить общий характер функциональных зависимостей изучаемых

переменных

величин, установить наличие максимума или минимума функции.

После обработки результатов измерений и оценки степени точности необхо-

димо свести их в таблицы для анализа. Данные таких таблиц обрабатывают гра-

фическими методами.

Для графического изображения результатов измерений (наблюдений), как пра-

вило, применяют систему прямоугольных координат. Если анализируется графи-

ческим методом функция )

(

y = , то наносят в системе прямоугольных коорди-

нат значения

yxyxyx ,,,

2211

K (рис. 4.1).

Точки на графике необходимо соединять плавной линией так, чтобы она по

возможности ближе проходила ко всем экспериментальным точкам. Если соеди-

нить точки прямыми отрезками, то получим ломаную кривую. Она характеризует

изменение функции по данным эксперимента. Обычно функции имеют плавный

характер. Поэтому при графическом изображении результатов измерений следует

проводить между точками плавные кривые. Резкое искривление графика объясня-

ется погрешностями измерений. Если бы эксперимент повторили с применением

средств измерений более высокой точности, то

получили бы меньшие погрешно-

сти, а ломаная кривая больше бы соответствовала плавной кривой.

Рис. 4.1. Графическое изображение функции )(

y = :

1 – кривая по результатам непосредственных измерений;

2 – плавная кривая

Однако могут быть исключения. Так, иногда исследуются явления, для кото-

рых в определенных интервалах наблюдается быстрое скачкообразное изменение

одной из координат (рис. 4.2). Это объясняется сущностью исследуемого процес-

са.

В таких случаях необходимо особо тщательно соединять точки кривой. Общее

«осреднение» всех

точек плавной кривой может привести к тому, что скачок

функции подменяется погрешностями измерений.

Иногда при построении графика одна или две точки резко удаляются от кри-

вой. Вначале нужно проанализировать физическую сущность явления, и если нет

основания полагать наличие скачка функции, то такое резкое отклонение можно

объяснить грубой ошибкой или промахом. Это

может возникнуть тогда, когда

данные измерений предварительно не исследовались на наличие грубых ошибок

измерений. В таких случаях необходимо повторить измерение в диапазоне резко-

го отклонения точки. Если прежнее измерение оказалось ошибочным, то на гра-

фик наносят новую точку. Если же повторные измерения дадут прежнее значение,

необходимо к этому интервалу кривой отнестись очень внимательно и особо тща-

тельно проанализировать физическую сущность явления.

При графическом изображении результатов экспериментов большую роль иг-

рает выбор систем координат или координатной сетки. Координатные сетки бы-

вают равномерными и неравномерными. У равномерных координатных сеток ор-

динаты и абсциссы имеют равномерную шкалу. Например, в

системе прямо-

угольных координат длина откладываемых единичных отрезков на обеих осях

одинаковая.

Рис. 4.2. Графическое изображение функции )(

y =

при наличии скачка

Из неравномерных координатных сеток наиболее распространены полулога-

рифмические, логарифмические, вероятностные.

Назначение неравномерных сеток различное. В большинстве случаев их при-

меняют для более наглядного изображения функций. Функция )(

y = имеет

различную форму на различных сетках. Так, многие криволинейные функции

спрямляют на логарифмических сетках.

Масштаб по координатным осям обычно применяют различный. От выбора

его зависит форма графика: он может быть плоским (узким) или вытянутым (ши-

роким) вдоль оси. Узкие графики обычно дают большую погрешность по оси y,

широкие – по оси

x. Правильно подобранный масштаб позволяет существенно по-

высить точность результатов исследований.

Расчетные графики, имеющие максимум (минимум) функции или какой-либо

сложный вид, особо тщательно необходимо вычерчивать в зонах изгиба. На таких

участках количество точек должно быть значительно больше, чем на плавных

участках.

4.2. Методы подбора эмпирических формул

В процессе экспериментальных измерений получают статистический ряд из-

мерений двух величин, объединяемых функцией

)(

. (4.1)

Каждому значению функции y

,…, y

соответствует определенное значение ар-

гумента x

, x

,…,x

Экспериментатор должен быть уверенным в достоверности получаемых из-

мерений.

На основе экспериментальных данных можно подобрать алгебраические вы-

ражения, которые называют эмпирическими формулами. Такие формулы подби-

рают лишь в пределах измерений значений аргумента x

,…,x

. Эмпирические

формулы имеют тем большую ценность, чем больше они соответствуют результа-

там эксперимента.

Необходимость в подборе эмпирических формул возникает во многих случаях.

Так, если аналитическое выражение сложное, требует громоздких вычислений,

составления программ для ЭВМ, то часто эффективнее пользоваться упрощенной

приближённой эмпирической формулой. Опыт показывает, что эмпирические

формулы часто незаменимы для

анализа измеренных величин. К эмпирическим

формулам предъявляют два основных требования: по возможности они должны

быть наиболее простыми и точно соответствовать экспериментальным данным в

пределах изменения аргумента.

Таким образом, эмпирические формулы являются приближенными выраже-

ниями аналитических формул. Замену точных аналитических выражений при-

ближенными, более простыми называют аппроксимацией, а функции –

аппроксимирующими.

Процесс подбора

эмпирических формул состоит из двух этапов. На первом

этапе данные измерений наносят на сетку прямоугольных координат, соединяют

экспериментальные точки плавной кривой и выбирают ориентировочно вид фор-

мулы. На втором этапе вычисляют параметры формул, которые наилучшим обра-

зом соответствовали бы принятой формуле. Подбор эмпирических формул необ-

ходимо начинать с самых простых

выражений.

Результаты измерений многих явлений и процессов аппроксимируются про-

стейшими эмпирическими уравнениями прямой:

bxay

, (4.2)

где a, b – постоянные коэффициенты.

Поэтому при анализе графического материала необходимо по возможности

использовать линейную функцию. В этом случае применяют метод выравнива-

ния. Он заключается в том, что кривую, построенную по экспериментальным

точкам, представляют линейной функцией.

Для преобразования некоторой кривой (4.1) в прямую линию вводят новые пе-

ременные X и Y:

)y,x(fY);y,x(fX

. (4.3)

В этом уравнении X и Y должны быть связаны линейной зависимостью

. (4.4)

Для определения параметров прямой можно в уравнение (4.4) подставить ко-

ординаты двух крайних точек, взятых с графика. Получают систему двух уравне-

ний, из которых вычисляют а и b. После установления параметров а и b получают

эмпирическую формулу (4.4), которая связывает Y и X, что позволяет установить

функциональную связь между х и у (4.3)

и эмпирическую зависимость (4.1).

Линеаризацию кривых можно легко осуществить на полу- или логарифмиче-

ских координатных сетках, которые сравнительно широко применяют при графи-

ческом методе подбора эмпирических формул.

Таким образом, аппроксимация экспериментальных данных прямолинейными

функциями позволяет просто и быстро установить вид эмпирических формул.

Графический метод выравнивания может быть применен в различных случаях,

когда

экспериментальная кривая на сетке прямоугольных координат имеет вид

плавной кривой. Рассмотрим основные случаи.

axy = (степенная функция). (4.5)

Заменяя X = lgx и Y = lgy, имеем Y = lga + bX.

При этом экспериментальная кривая превращается в прямую линию на ло-

гарифмической сетке.

aey = (показательная функция). (4.6)

Заменяя y

lg= , имеем e

lglg

3. caxy

+= . (4.7)

a) b – задано. Принимая

, имеем прямую линию на сетке прямоугольных

координат:

б) b – неизвестно. Принимая

и ),lg( cy

−

имеем прямую линию на

логарифмической сетке:

.lg b

В этом случае необходимо предварительно вычислить с. Для этого по экспе-

риментальной кривой принимают три произвольные точки: x

; x

3213

; yxxx =

и вычисляют с:

321

yyy

−+

−

.caey

(4.9)

Заменяя ),lg( cy

−= имеем прямую на полулогарифмической сетке

ebxa

lglg += . Необходимо предварительно определить с помощью (4.8), при

этом ).(5,0

213

xxx +=

ay += . (4.10)

Заменяя ,

x = получаем прямую линию на сетке прямоугольных координат:

bzay

bxa

(4.11)

Заменяя

y = имеем ,bxaz

= т. е. прямую на сетке прямоугольных коор-

динат.

cxbxa

(4.12)

Заменяя

= имеем

.cxbxaz

8. Сложную степенную функцию

mxnx

aey

(4.13)

преобразуем в прямую линию.

При zemqen

azy

== lg,lg,lg,lg имеем

rxqxpz ++=

С помощью выражений (4.5) и (4.13) практически всегда можно подобрать

уравнение эмпирической формулы.

На основе этих данных строим график (рис. 4.3). Как видно из рисунка (4.3),

имеем типичный график для показательной функции

aey = В этой формуле

необходимо найти параметры a и b.

Рис. 4.3. Экспериментальная и расчетная кривые

4 3 2 1

100

120

Пример. Подобрать эмпирическую формулу для следующих измерений:

1 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

15,2 20,6 27,4 36,7 49,2 66,0 87,4 117,5

После логарифмирования этого выражения имеем .lglglg ebxay += Если обо-

значить

y =lg , то ,lglg ebxa

+= т.е. в полулогарифмических координатах вы-

ражение для Y представляет собой прямую линию.

Подставим в уравнение координаты крайних точек: ,lglg2,15lg eba

eba lg5,4lg5,117lg += или ;183,1lglg

eba .070,2lg5,4lg =

eba Учитывая,

что 718,2=e , ,434,0lg

e получим 579,0

lg51,3

887,0

b ; 929,0254,0183,1lg

−=a ;

45,8=a .

Окончательно эмпирическая формула имеет вид

579,0

45,8= . (4.14)

Определим значение

y в соответствующих точках x:

1 1,5 2 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

15,1 20,1 26,9 35,9 48,0 64,0 85,6 114,4

и построим

y (рис. 4.3).

Из рисунка 4.3 видно, что кривая

y , построенная по подобранной эмпириче-

ской формуле, практически совпадает с экспериментальной кривой.

Замечание. Подобрать эмпирическую формулу на компьютере с помощью

программы“Excel” можно путем построения линии тренда для экспериментальной

кривой.

5. ОСНОВЫ КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОГО

АНАЛИЗА

Под корреляционным анализом понимают исследование закономерностей ме-

жду явлениями (процессами); в задачу корреляционного анализа входят установ-

ление связи между зависимыми и независимыми переменными, нахождение ма-

тематических описаний этих взаимосвязей в виде уравнений регрессии, оценка

тесноты связей и достоверности полученных результатов.

Основные этапы проведения корреляционного анализа представлены на рис.

5.1.

В общем

случае степень связи между двумя переменными величинами можно

характеризовать следующими зависимостями: независимая, стохастическая,

корреляционная, функциональная.