Бояршинова А.К., Фишер А.С. Теория инженерного эксперимента. Текст лекций

Подождите немного. Документ загружается.

Этот вывод всегда нужно иметь в виду, и при повышении точности измерений

в первую очередь уменьшать ошибку, имеющую наибольшую величину. Конечно,

если слагаемых много, а не два, как в нашем примере, то и малые ошибки могут

внести заметный вклад в суммарную ошибку.

Если нужная величина

является разностью двух независимо измеряемых

величин X и

, то из выражения (3.1) следует, что ее относительная погреш-

ность

−

==δ

(3.11)

будет тем больше, чем меньше YX

−

, и относительная погрешность возрастает

до бесконечности, если

X → .

Это означает, что невозможно добиться хорошей точности измерений какой-

либо величины, строя измерения так, что она находится как небольшая разность

результатов независимых измерений двух величин, существенно превышающих

искомую. В противоположность этому относительная погрешность суммы

==δ

, (3.12)

очевидно, не зависит от соотношения величин X и Y.

Второй вывод:

средняя квадратическая погрешность среднего арифметиче-

ского равна средней квадратической погрешности отдельного результата, де-

ленная на корень квадратный из числа измерений

= (3.13)

где

S – средняя квадратичная погрешность отдельного измерения.

Действительно, среднеарифметическое ряда измерений

+++==

∑

согласно закону сложения случайных погрешностей

222

nnnn

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= K

откуда получаем

Это рассуждение относится лишь к измерениям, при которых точность ре-

зультата полностью определяется случайной ошибкой. В этих условиях, выбрав n

достаточно большим, можно существенно уменьшить ошибку результата.

При практической работе очень важно строго разграничивать применение

средней квадратичной ошибки отдельного измерения

S и средней квадратичной

среднего арифметического

S .

В тех случаях, когда требуется характеризовать точность применяемого спо-

соба измерений, следует характеризовать его ошибкой

S .

применяется всегда, когда нужно оценить погрешность того числа, которое

получили в результате всех произведенных измерений.

Если описываем метод, которым производились измерения, то должны указать

именно эту последнюю ошибку. Зная ее, можно выбрать нужное число измере-

ний, чтобы, пользуясь формулой (3.13), получить желаемую случайную погреш-

ность окончательного результата измерений.

При выборе нужного числа измерений предполагаем, что систематическая

ошибка метода достаточно мала.

3.4. Доверительный интервал и доверительная вероятность

Обозначим истинное значение измеряемой величины через x, погрешность из-

мерения этой величины –

∆ . Среднее арифметическое значение, полученное в

результате измерений, будет

. Пусть

означает вероятность того, что результат

измерений отличается от истинного значения на величину, не большую, чем

∆

Это принято записывать в виде

∆

−

∆

−

)(

(3.14)

или

∆

−

)(

. (3.15)

Вероятность

называется доверительной вероятностью, или коэффициен-

том надежности. Интервал значений от

∆

−

до

∆

называется доверитель-

ным интервалом.

Выражение (3.15) означает, что с вероятностью, равной ,α истинное значение

измеряемой величины не выходит за пределы доверительного интервала от

∆

до

∆− . Разумеется, чем большей надежности мы требуем, тем большим полу-

чается соответствующий доверительный интервал, и, наоборот, чем больший до-

верительный интервал задаем, тем вероятнее, что результаты измерений не вый-

дут за его пределы.

Итак, для характеристики величины случайной ошибки необходимо задать два

числа, а именно: величину самой ошибки (или доверительного интервала) и вели-

чину доверительной вероятности. Указание одной только величины ошибки без

указания соответствующей ей доверительной вероятности в значительной мере

лишено смысла, так как при этом не знаем, сколь надежны наши данные. Знание

доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного

результата. Необходимая степень его надежности опять-таки задается характером

производимых измерений. Более высокая степень надежности, требуемая при от-

ветственных измерениях, означает, что при их производстве нужно выбирать

большой (в долях

) доверительный интервал. Иначе говоря, для получения той

же величины ошибки

∆ следует производить измерения с большей точностью,

т. е. нужно тем или иным способом уменьшить в соответствующее число раз ве-

личину

. Одна из возможностей такого увеличения состоит в многократном по-

вторении измерений.

При обычных измерениях можно ограничиться доверительной вероятностью

0,9 или 0,95.

Для измерений, по условиям которых требуется чрезвычайно высокая степень

надежности, иногда задают доверительную вероятность 0,997. Большая величина

доверительной вероятности в подавляющем большинстве измерительных задач не

требуется.

Удобство применения стандартной ошибки в качестве основного численного

выражения погрешности наблюдений заключается в том, что этой величине соот-

ветствует вполне определенная доверительная вероятность, равная 0,68. (Здесь и

дальше полагаем, что ошибки распределены по нормальному закону). Для любой

величины доверительного интервала по формуле Гаусса может быть рассчитана

соответствующая доверительная вероятность. Эти вычисления были проделаны, и

их результаты сведены в таблицу (Приложение 4).

Приведем примеры пользования таблицей.

Пусть для некоторого ряда измерений получили 27,1

.032,0=

Какова

вероятность того, что результат отдельного измерения не выйдет за пределы, оп-

ределяемые неравенством 1,26<

x <1,28?

Доверительные границы нами установлены в 01,0

, что составляет (в долях

) 0,01:0,032=0,31. Из таблицы находим, что доверительная вероятность для

3,0=

равна 0,24.

Иначе говоря, приблизительно 1/4 измерений уложится в интервал ошибок

01,0±

. Определим теперь, какова доверительная вероятность для границ

1,20<

x <1,34. Значение этого интервала, выраженное в долях

, будет

2,2032,0:07,0 ≈=

. По таблице находим значение

для 2,2=

, оно равно 0,97.

Иначе говоря, результаты приблизительно 97% всех измерений будут уклады-

ваться в этот интервал.

Какой доверительный интервал нужно выбрать для тех же измерений, чтобы

примерно 98% результатов попадали в него? Из таблицы находим, что значению

98,0=

соответствует значение 4,2

, следовательно, ,,,, 0770420320

≈

⋅=ε и

указанной доверительной вероятности соответствует интервал 1,193<

<1,347

или, округляя, 1,19<

<1,35; иногда этот результат записывают в виде

08,027,1 ±=

с доверительной вероятностью 0,98.

Итак, для нахождения случайной ошибки нужно определить два числа: дове-

рительный интервал (величину ошибки) и доверительную вероятность. Средней

квадратичной ошибке

соответствует доверительная вероятность 0,68, удвоен-

ной средней квадратичной ошибке (2

) – доверительная вероятность 0,95, утро-

енной (3

) – 0,997.

Для других значений ошибок доверительная вероятность определяется также

по таблице Приложения 4.

Определение доверительного интервала и доверительной вероятности.

В тех случаях, когда делаем измерения с помощью уже хорошо исследованно-

го метода, ошибки которого известны, мы заранее знаем величину

. Как прави-

ло, погрешность метода приходится определять в процессе измерений. И обычно

можно определить только величину

S , соответствующую тому или иному, но

всегда сравнительно небольшому числу измерений n (

,…,

). Здесь

()

n,...,,iS

32= означают средние квадратичные ошибки отдельного измерения для

случаев двух, трех, четырех и т. д. измерений. Если для оценки доверительной ве-

роятности будем считать, что полученные значения

S совпадают с величиной ,

и воспользуемся таблицей Приложения 4 для нахождения доверительной вероят-

ности, то найдем неверные (завышенные) значения .

Это – результат того, что при определении среднеквадратичной ошибки из ма-

лого числа наблюдений находим последнюю с малой точностью. Происходящая

вследствие этого погрешность в определении ошибки приводит к тому, что, когда

заменяем

S на

, мы уменьшаем надежность нашей оценки, причем, тем силь-

нее, чем меньше величина n.

Для того, чтобы учесть это обстоятельство, интервал

∆

можно представить в

виде

=∆

(3.16)

откуда

∆

. (3.17)

Здесь

– коэффициент Стьюдента.

Значения коэффициентов

вычислены по законам теории вероятностей для

различных значений

n и α и приведены в Приложении 2.

Используя коэффициенты Стьюдента, мы можем переписать равенство (3.15) в

виде

txx

tx(P

α=+<<−

αα

(3.18)

Пользуясь этим соотношением, легко определить доверительные интервалы и

доверительные вероятности при любом небольшом числе измерений. Приведем

примеры применения этой таблицы Приложения 2.

1. Пусть среднее арифметическое из 5 измерений будет 31,2. Средняя квадра-

тичная ошибка, определенная из этих 5 измерений, равна 0,24. Мы хотим найти

доверительную вероятность того, что среднее арифметическое отличается от ис-

тинного значения не более чем на 0,2, т. е. будет выполняться неравенство

31,0<

<31,4.

Значение

найдем, подставив полученные результаты в формулу (3.17),

.86,1

24,0

52,0

(3.19)

По таблице находим для n = 5 при

= 0,8

580

и при

=0,9

590

Вообще говоря, можно обычно удовлетвориться ответом, что доверительная

вероятность для этого случая лежит между 0,8 и 0,9. Если нужно получить более

точное значение, нужную величину вычисляем из пропорции

;9.0;8.0

;8.0,

12 nn

−

∆

αα

откуда

,06,0

6,0

36,0

1,0 ==∆

.86,006,08,0

∆

Таким образом, доверительная вероятность для этого случая получается рав-

ной 0,86.

2. Вычислим теперь, какова доверительная вероятность в случае 10 измерений

при той же среднеквадратичной погрешности 0,24 и том же доверительном ин-

тервале 31,0—31,4.

По формуле (3.17) определяем

.6,2

24,0

102,0

10,

≈=

Из табл.2 находим, что ближайшее меньшее значение 3,2

10,

t для

=0,95 и

ближайшее большее значение 8,2

10,

t для

=0,98.

Пропорциональную часть найдем из соотношения

.02,0

5,0

03,03,0

≈

⋅

=∆

Окончательно

=0,67.

3.5. Группы систематических погрешностей и

методы их компенсации

При производстве измерений необходимо учитывать и исключать системати-

ческие ошибки, которые в ряде случаев могут быть так велики, что совершенно

исказят результаты измерений.

Систематические погрешности (ошибки) можно разделить на четыре группы.

1. Погрешности, природа которых нам известна, и их величина может быть

достаточно точно определена.

Такие ошибки могут быть устранены введением

соответствующих поправок.

Источники таких ошибок нужно тщательно анализировать, величины поправок

определять и учитывать в окончательном результате.

Поясним это на примере измерения длины. Допустим, что определяем диаметр

латунного цилиндра с помощью стальной измерительной линейки, изготовленной

при температуре 0º, а измерения проводятся при температуре 25º С. Допустим,

измеряемый диаметр имеет размер около 10 см и нужно узнать его длину при

температуре 0º. Коэффициент линейного расширения латуни

1019

−

⋅ 1/град, ста-

ли –

1011

−

⋅ 1/град.

При нагревании на 25º удлинение используемого участка измерительной ли-

нейки составит 0,027 мм, а увеличение диаметра цилиндра – 0,047 мм. Разность

этих величин, т.е. 0,02 мм, и является поправкой измерений.

Обычно стальная линейка имеет миллиметровые деления. Если считать, что на

глаз можно относительно уверенно отсчитать 0,2 деления, то 0,2 мм и будет той

точностью, которая обычно достижима с помощью такого измерительного инст-

румента. Примерно с такой же точностью нанесены и деления на линейке. Видим,

что 0,02 мм, которые дает температурная поправка, настолько меньше погрешно-

сти, вносимой самой линейкой и способом отсчета, что введение этой поправки

лишено смысла. Другое дело, если те же самые измерения производим с помощью

точного измерительного микрометра, дающего возможность произвести измере-

ния диаметра с точностью до 0,001 мм. Введение той же самой поправки 0,02 мм

при этом не только целесообразно, но совершенно необходимо.

Величина поправок, которые еще есть смысл вводить, разумеется, устанавли-

вается в зависимости от величин других ошибок, сопровождающих измерение.

Существует правило, устанавливающее, что если поправка не превышает 0,005 от

средней квадратической ошибки результата измерений (см. дальше), то ею следу-

ет пренебречь.

2. Погрешности известного происхождения, но неизвестной величины.

К числу таких погрешностей относится погрешность измерительных прибо-

ров, которая определяется иногда классом точности прибора. Если на приборе

указан класс точности 0,5, то это означает, что показания прибора правильны с

точностью до 0,5% от всей действующей шкалы прибора. Иначе говоря, вольт-

метр, шкала которого изображена на рис. 3.3 дает ошибку в измерении напряже-

ния не более 0,75 В.

Если, измеряя напряжение, получили U=63,3 В, то можно написать

)75,03,63( ±=

В.

Рис 3.3. Шкала вольтметра

Электроизмерительные приборы характеризуются обычно классом точности в

пределах от 0,05 до 4. Менее точные приборы обозначения класса не имеют.

150

Максимальные погрешности, даваемые измерительными линейками, микро-

метрами и некоторыми другими приборами, иногда наносят на самом приборе,

иногда указывают в прилагаемом к нему паспорте. Обычно дается наибольшая

абсолютная погрешность, которую вынуждены считать постоянной по всей шкале

прибора, если последний не сопровождается специальной таблицей поправок для

каждого деления шкалы. Последняя прилагается только к

наиболее точным изме-

рительным приборам.

3. Ошибки, природа которых неизвестна, но которые могут иметь сущест-

венное значение.

Эта группа систематических ошибок самая опасная. Это − ошибки, о сущест-

вовании которых мы не подозреваем, но их величина может быть значительной.

Они чаще всего проявляются при сложных измерениях, и иногда бывает, что

ка-

кая-нибудь величина, которая считается определенной с точностью, например, до

2 − 3%, в действительности оказывается в 2 раза больше измеренного значения.

Так, например, если мы захотим измерить плотность какого-то металла и для

этого определим объем и вес образца, то совершим грубую ошибку, если изме-

ряемый образец содержал внутри пустоты, например

, пузыри воздуха, попавшие

при отливке. Для того, чтобы уберечься от подобной погрешности, нужно тща-

тельно продумывать методику проведения измерений.

Один из наиболее надежных способов убедиться в отсутствии таких погреш-

ностей – провести измерения интересующей величины совсем другим методом и

в других условиях. Совпадение полученных результатов служит известной, хотя,

к сожалению, не абсолютной, гарантией их правильности. Бывает, что и при из-

мерении разными методами в результатах присутствует ускользнувшая от наблю-

дателя систематическая ошибка, и в этом случае оба совпавшие друг с другом ре-

зультата окажутся одинаково неверными.

4. Ошибки, обусловленные свойствами измеряемого объекта.

Эта группа ошибок, хотя и не связана непосредственно с измерительными

операциями, может существенным образом искажать результат измерений.

Поясним это на примере поверхности цилиндра, который считаем круговым,

но в действительности имеющим овальное сечение. Если измерять диаметр АВ

(рис. 3.4), то получим большие значения, чем при измерении диаметра А'В'. Про-

ведя измерения ряда диаметров и взяв среднее из полученных значений, можно

определить число, лучше характеризующее размер цилиндра. Если же измерять

только один диаметр и считать цилиндр круглым, то вычисленная по этим изме-

рениям площадь будет содержать систематическую ошибку, определяемую сте-

пенью овальности цилиндра и выбранным для измерения диаметром. В этом слу-

чае необходимо повторить измерения несколько раз и в качестве результата взять

среднее арифметическое n измерений. Однако следует помнить, что не всякий

способ усреднения автоматически приводит к исключению систематической

ошибки.

Систематическая ошибка, связанная со свойствами измеряемого объекта, час-

то может быть переведена в случайную. Перевод систематических ошибок в слу-

чайные часто оказывается полезным, так как позволяет улучшить точность полу-

чаемых результатов.

Рис 3.4. Цилиндр овального сечения

Можно перевести систематическую ошибку в случайную, организовав измере-

ния таким образом, что постоянный фактор, влияющий на результат измерений, в

каждом из них действует разным образом, т.е. результат его действий носит слу-

чайный характер.

Этот прием превращения систематической ошибки в случайную называется

рандомизацией. Он позволяет практически исключить многие неизвестные систе-

матические ошибки.

Пример: измеряется удлинение стержня под действием растяжения. Если из-

вестны изменения длины и упругих свойств стержня в зависимости от температу-

ры, то, делая измерения при разных температурах, можно вносить соответствую-

щую поправку. Однако вместо этого можно, не зная зависимости свойств стержня

от температуры, произвести ряд измерений растяжения при разных

случайно вы-

бранных температурах.

Ошибка, происходящая вследствие изменения температуры, будет случайной,

а конечный результат – соответствовать удлинению стержня при средней темпе-

ратуре.

Разумеется, такого рода исключение систематических ошибок практически

далеко не всегда возможно. Поэтому разделение всех ошибок на систематические

и случайные оказывается целесообразным.

3.6. Определение грубых погрешностей

Если мы делаем ряд одинаковых измерений ,,...,,

21 n

xxx подверженных слу-

чайным ошибкам, то в этом ряду могут встретиться измерения и с очень больши-

ми случайными ошибками. Следует объективно оценить, является ли данное из-

мерение промахом или же результатом случайного, но совершенно закономерного

отклонения. Можно считать какое-то измерение

)(

промахом, если вероятность

В'

случайного появления такого значения в данном ряду измерений является доста-

точно малой.

Если известно точное значение

, то вероятность появления значения, укло-

няющегося от среднего арифметического

более чем на 3

, равна 0,003; и все

измерения, отличающиеся от

на эту (или большую) величину, могут быть от-

брошены как очень маловероятные.

Иначе говоря, мы считаем, что результаты, вероятность получения которых

меньше 0,003, могут появиться только как следствие грубой ошибки (промаха).

Отбрасывая такие значения, нужно помнить, что существует очень малая, но от-

личающаяся от нуля вероятность того, что отброшенное число является

не прома-

хом, а естественным статистическим отклонением. Однако если такой маловеро-

ятный случай и произойдет, т.е. будет неправильно отброшен один из результатов

измерений, то практически это не приведет к существенному ухудшению оценки

результатов измерений.

Следует иметь в виду, что для совокупности измерений вероятность появления

измерения, отличающегося на величину более 3

от среднего значения, всегда

больше 0,003. Действительно, вероятность того, что результат первого измерения

не будет отличаться от истинного значения более чем на 3

, составляет 1–0,003 =

= 0,997. Вероятность того, что это же будет иметь место для второго измерения,

также равна (1 – 0,003). А вероятность того, что и первое, и второе измерения не

выйдут за указанный предел, будет согласно правилу умножения вероятностей

равна (1 – 0,003)

Соответственно, вероятность

того, что ни один из результатов n не будет

отличаться от среднего более чем на 3

, составит:

)003,01( −=

Для не слишком большого n можно приближенно положить

.003,01)003,01( n

−=−

Обычно число производимых измерений не очень велико, сравнительно редко

оно превышает 10 − 20. При этом точное значение

неизвестно, следовательно,

отбрасывать измерения, отличающиеся от среднего более чем на 3

, нельзя.

При n, большем 25, можно для расчетов такого рода положить

S и оцен-

ку

определять, пользуясь соотношением

αβ

≈

На практике при небольшом числе измерений (n<25) применяется способ вы-

явления случайных погрешностей, алгоритм которого приведен ниже.

Алгоритм определения грубых погрешностей.

Пусть известен ряд измерений случайных величин:

.,,...,,

21 nr

xxxx

Необходимо установить, есть ли среди этих значений измерения, проведенные

с грубыми погрешностями (промахами).

Пусть

x – первое подозреваемое на грубую погрешность.

Вычисляем среднеарифметическое с учетом подозреваемой величины x

оценку СКО .

S Определяем величину максимального отклонения в долях сред-

неквадратической ошибки:

max

−

По таблице оценки выскакивающих измерений, зная число измерений n и

max

V , находим вероятность

того, что данное измерение содержит случайную

погрешность.

Рис.3.6. Оценка промахов

В случае

10,≥β

измерение

x содержит случайную погрешность. Если веро-

ятность появления данного измерения в ряду лежит в промежутке 0,1>

>0,01, то

представляется одинаково правильным оставить это измерение или отбросить.

При 010,≤β в данном измерении присутствует грубая погрешность, это измере-

ние нужно исключить из ряда, после чего нужно пересчитать

S оставшихся

измерений.

3.7. Определение числа измерений

Допустим, что все систематические ошибки учтены, т.е. поправки, которые

следовало определить, вычислены, класс точности прибора известен и есть уве-

ренность, что отсутствуют какие-либо существенные и неизвестные источники

систематических ошибок.

В этом случае результаты измерений все же не свободны от случайных оши-

бок, правила вычисления которых даны ниже. Если случайная

ошибка окажется

меньше систематической, то очевидно, что нет смысла пытаться еще уменьшить

величину случайной ошибки: все равно результаты измерений не станут от этого

заметно точнее, и, желая получить большую точность, нужно искать пути к

уменьшению систематической ошибки. Наоборот, если случайная ошибка больше

систематической, то именно случайную ошибку нужно уменьшать в

первую оче-

редь.

Мы уже говорили, что если произвести ряд измерений и взять среднее ариф-

метическое из этого ряда, то случайная ошибка этого среднего будет меньше, чем

ошибка единичного измерения. Поэтому для уменьшения случайной ошибки сле-

дует произвести не одно, а ряд измерений, причем, как увидим дальше, тем боль-

ший, чем

меньшую величину случайной ошибки хотим получить. Однако очевид-

0,10

Отб

осить Оставить