Бондаренко В.В. Основы теории цепей. Часть 2
Подождите немного. Документ загружается.
71
§3.6. СВЯЗЬ МЕЖДУ ОПЕРАТОРНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ
И ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ЦЕПИ
(
)
=
[
(
)
]
(1)
Пример.
1
)
(
)
(
)
2
)
(
)
(
)
3
)
(
)
(
)
1)
(
)
=
(
)
(
)
=
1
(
)
(
)
=
1
(
)
=
1
+
1
=
+1
=
1
+
1
Воспользуемся теоремой разложения.
= −
1
(
)
=1
(
)
=−
1
⋅
1
1
=
1
2)
(
)
=
(
)
(
)
=
(
)
(
)
(
)
=
+
1
=
+1
=
+
1
= −
1
(
)
=1
R
U(p)
1
I(p)
72
(
)
=
−
1
1
= −
1
3)
(
)
=
1
+
1
=−
1
(
)
=1
(
)
=
1
1
= −
1
§3.7. ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ
Этот метод позволяет найти реакцию цепи при произвольном
входном сигнале.
Расчёт ведётся во временно́й области.
(
)
= 1
(
)
сигнал включения
Представим входной сигнал в виде набора ступенек.
ЭЦ
a(t) b(t)
H(p)
H(jω) h(t) g(t)
73
Произвольный сигнал мы представляем в виде ряда элемен-
тарных сигналов.
Переходная характеристика:
ℎ
(
)
=
(
)
( )
Из этого выражения найдём реакцию цепи.
(
)
1)
(
)
(
0
)
⋅
ℎ
(
)
2)
=
, Δa
Δ
⋅
ℎ
(
−
)
=
Δ
Δ
ℎ
(
−
)
Δ
≅
(
)
ℎ
(
−
)
3)
…
∑
Δ
⋅
ℎ
(
−
)
(
)
=
(
0
)
⋅ℎ
(
)
+ Δ ⋅ℎ( − )
Уменьшая Δ , перейдём к .
(
)
=
(
0
)
⋅
ℎ
(
)
+
(
)
ℎ
(
−
)
(1)
(
)
=
(
)
|
(2)
Выражение (1) — это и есть интеграл Дюамеля.
a(0)
a(x)
Δ
a
Δ
x
x
a(t)
74
Пример.
(
)
=
(
)
=
R, C
н. у. нулевые
(
)
=
Рассмотрим все составляющие интеграла Дюамеля.
(
0
)
=
(
0
)
=0
ℎ
(
)
=ℎ
(
)
=
1
(
)
=
(
)
|
=
ℎ
(
−
)
= ℎ
(
−
)
=
1
Подставим в выражение (1).
(
)
=0+
1
=
=
=
=
1
⁄
|
=
−1
Другая форма сигнала: затухающая экспонента.
(
)
=
(
)
=
R, C
н. у. нулевые
(
)
=
(
0
)
=
(
0
)
=
ℎ
(
)
= ℎ
(
)
=
1
(
)
=
−
1
|
= −
u(t)
t
0
R
u(t)
C
i
u(t)
t
0
R
u(t)
C
i
75
(
)
=
1
+
(
−
)
⋅
1
=
=
−
=
−
§3.8. ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ ДЛЯ КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНОЙ
ФУНКЦИИ
Интервал 1. 0 ≤ <
(
)
=
(
0
)
⋅ℎ
(
)
+
(
)
⋅ℎ
(
−
)
Интервал 2: =
.
(
)
=
(
0
)
ℎ
(
)
+
(
)
ℎ
(
−
)
+
(
)
−
(
)
ℎ
(
−
)
Интервал 3:
≤ <
.
(
)
=
(
0
)
ℎ
(
)
+
(
)
ℎ
(
−
)
+
(
)
−
(
)
ℎ
(
−
)
+
+
(
)
ℎ
(
−
)
Интервал 4. =
(
)
=
(
0
)
ℎ
(
)
+
(
)
ℎ
(
−
)
+
(
)
−
(
)
ℎ
(
−
)
+
+
(
)
ℎ
(
−
)
+
(
)
ℎ
(
−
)
t
a
0
(t)
a
1
(t)
a
2
(t)
0
t
1
t
2
[
a
2
(
t
1
)
-a
1
(
t
1
)]
a(t)
76
(
)
=
⎩
⎨
⎧
(
)
, 0 ≤ <
(
)
, =
(
)
,
≤ <
(
)
, =
Пример 1.
R, C
b(t) = u
R
Исходный сигнал можно представить на двух интервалах.
I)
0
≤
<
(
)
=
(
0
)
ℎ
(
)
+
+
(
)
ℎ
(
−
)
(
0
)
=
ℎ
(
)
= ℎ
(
)
=
ℎ
(
−
)
= ℎ
(
−
)
=
(
)
=
⋅
+
0
=
⋅
II)
=
0
(
)
=
(
0
)
ℎ
(
)
+
+
(
)
ℎ
(
−
)
+
+
(
0 −
)
ℎ( −
)
(
)
= ⋅
+
+ 0
− ⋅
=
=
⋅
⋅
(
)
=
, 0 ≤ ≤
⋅
− ⋅
, =
u
t
0
t
1
u
t
0
U
u(t) = a(t)
t
0
t
1
R
u(t)
C
77
Пример 2. Треугольный импульс.
R, C
b(t) = u
R
(
)
=
, 0 ≤ <
0, =
I)
0
≤
<
(
)
=
(
0
)
ℎ
(
)
+
+
(
)
ℎ
(
−
)
(
0
)
=
ℎ
(
)
= ℎ
(
)
=
=
(
)
=
ℎ
(
−
)
= ℎ
(
−
)
=
(
)
=0+
=
=
−
1
II)
=
0
(
)
=
(
0
)
ℎ
(
)
+
+
(
)
ℎ
(
−
)
+
+
(
−
)
ℎ( −
)
(
)
=0+
=
=
= ⋅
1
⁄
|
=
=
−1
(
)
=
(
)
,0≤ <
(
)
, =0
u(t)
t
t
1
u(t)
t
U
u(t)
t
0
t
1
R
u(t)
C
78
Глава 4. Частотный (спектральный)
метод анализа электрических
цепей при произвольном входном
сигнале
§4.1. РЯД ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
(
)
=
+
sin
(
+
Ψ
)
(1)
sin
=
−
2
(2)
(
)
=
+
⋅
(
)
−
(
)
2
=
=
+
1
2
(
⋅
−
⋅
)
(3)
̇
=
̇
=
−
(4)
— комплексная амплитуда.
Тогда с учётом (4) уравнение (3) будет иметь вид
(
)
=
+
1
2
̇
(5)
79
§4.2. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Если функция несинусоидальная, но периодическая, её можно
представить в виде ряда Фурье. Если функция непериодиче-
ская, её можно представить в виде интеграла Фурье. Неперио-
дическую функцию можно рассматривать как периодическую с
периодом ∞. Поэтому мы от ряда Фурье перейдём к интегралу
Фурье с условием → ∞.
(
)
=
+
(
sin
+
cos
)
(1)
(
)
=
+
sin
(
+
Ψ
)
(2)
(
)
=
+
1
2
̇
(3)
̇
=
=
cos
Ψ
+
sin
Ψ
=
+
(4)
Подставим
,
в (4).
=
1
(
)
⁄
⁄
(5)
=
2
(
)
sin
⁄
⁄
(6)
f(t)
t
T
80
=
2
(
)
cos
⁄
⁄
(7)
̇
=
2
(
)
sin
+
2
(
)
cos
=
=
2
(
)(
cos − sin
)
=
=
2
(
)
(8)
Подставим в (8) выражение (3).
(
)
=
+
1
2
⋅
2
(
)
⋅
(9)
Выражение (9) проанализируем при → ∞.
1)
=
∫
(
)
⁄
⁄
=0
2) =
2
1
→ ∞
=
2
→ ∞
=
2
3)
(
+1
)
−
(
)
=
→
(
)
=
0
+
⋅
2
(
)
(10)
(
)
=
∫
(
)
(
)
=
1
2
∫
(
)
—прямое преобразование Фурье
—интеграл Фурье