Бондаренко В.В. Основы теории цепей. Часть 2
Подождите немного. Документ загружается.
11
Начальные условия не заданы, в цепи до коммутации (положе-
ние 1) мы должны их сами определить.
(
0
)
=
(
0
)
=
Для цепи после коммутации (в положении 2):
Обойдём контур.
+
=0
+
=0
+ =0
— линейное однородное уравнение первого порядка относи-
тельно тока.
2. Ищем решение =
пр
+
св
.
пр
=0
3. Свободная составляющая
св
=
=
св
+
св
=0
+ =0
=
L
R
(
0
)
≠
0
12
4. Найдём постоянную интегрирования.
=0+
=0+
=
= =
=
=
−
=
−
(3)
u
L
t
τ 2τ 3τ
u
R
+U
t
τ 2τ 3τ
i
t
τ 2τ 3τ
i(0
–
) = i(0
+
)
13
Для любого момента времени
+
=0.
Энергия, которая выделяется в сопротивлении:
=
Подставим в это выражение =
(
0
)
⋅
.
=
(
0
)
=
(
0
)
=
(
0
)
⋅
−
2
∞
0
=
=
(
0
)
2
⋅
−1
∞
0
=
(
0
)
2
=
(
0
)
2
=
(
0
)
2
=
Выводы:
а) Мы показали, что вся энергия магнитного поля, запасённая
в элементе L, за время переходного процесса выделяется в виде
тепла на элементе R.
б) Теоретически переходной процесс нужно рассчитывать от
нуля до бесконечности, хотя практически он заканчивается за
время
(
3…5
)
.
u
L
, u
R
t
τ 3τ
14
§1.7. РАЗРЯД RL-ЦЕПИ НА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ
СОПРОТИВЛЕНИЯ
Дано:
,
,
,
.
—————————
Найти ,
.
До коммутации:
(
0
)
=
(
0
)
=
1)
Обходим контур, составляем уравнение.
+
+
=0
+
+
=0
2)
=
св
+
пр
пр
=
+
3)
=
+
L
R
R
0
(
0
)
≠
0
i
L
R
1
U
2
R
0
15
4)
=
(1)
= −
= −
= −
−
1
=
=
+
=
+
(2)
а)
≫
≫
Переходные режимы могут быть опасными, возникают большие
токи, возможен пробой, и его надо уметь рассчитывать.
§1.8. ПОДКЛЮЧЕНИЕ RL-ЦЕПИ НА СИНУСОИДАЛЬНОЕ
НАПРЯЖЕНИЕ
(
)
=
=
sin
(
+
)
,
(
0
)
=
(
0
)
=0
—————————
,
,
1)
L
R
u
i
L
R
u(t)
16
Составляем исходное дифференциальное уравнение. Обходим
контур.
+
=
(
)
+
=
(
)
+ =
sin
(
+
)
2)
=
пр
+
св
Решаем цепь переменного тока.
=
sin( +
)
=
=
+
(
)
=
−
=arctg
=
−
=
sin( +
− )=
пр
В пункте 2 используем символический метод для расчёта гар-
монических процессов. Схема в символической форме.
ωL
R
U
m
I
m
17
̇
=
̇
+
=
=
(
)
(
)
=
(
)
= ̃
(
)
=
[
̃
]
=
sin
(
+
−
)
=
пр
̇
=
̃
=
[
̃
]
(1)
(2)
3)
=
Постоянная времени не зависит ни от величины приложенного
напряжения, ни от формы приложенного напряжения, а опре-
деляется лишь параметрами самой цепи, то есть L и R.
4) Найдём постоянную интегрирования.
=
sin( +
− )+
Используя начальные условия, получим
0=
sin
(
−
)
+
= −
sin
(
−
)
=
sin
(
+
−
)
отц
ч
.
−
sin
(
−
)
отц
ч
.
(1)
jωL
R
̇
̇
18
Проанализируем уравнение (1). Случай 1: отсутствует переход-
ной процесс. Он отсутствует, когда нет второго слагаемого, то
есть когда sin
(
−
)
=0.
(
−
)
=
0
=
sin
(
)
Поэтому в точках у нас сразу установится принуждённый
режим.
Случай 2. Максимальный переходной процесс: sin
(
−
)
=±1.
Пусть sin
(
−
)
=1.
(
−
)
=
2
Подставим это условие в уравнение (1).
=
sin
+
2
−
(3)
i
=
2
i=0
ωt
19
а) В случае максимального переходного процесса максималь-
ное значение тока может достигать почти удвоенного ампли-
тудного значения (см. стрелочку).
б) Это означает, что максимальный переходной процесс — это
опасный режим, его надо уметь рассчитывать.
Мы нашли ток, нетрудно найти напряжение.
= =
sin
(
+
−
)
−
sin
(
−
)
=
=
cos
(
+
−
)
−
sin
(
−
)
−
1
§1.9. ПОДКЛЮЧЕНИЕ RC-ЦЕПИ НА ПОСТОЯННОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
,
,
(
0
)
=
(
0
)
=
0
—————————
,
,
С
R
U
i
i(0
–
) = i(0
+
)
τ/2
ωt
20
1) Обойдём контур.
+
=
+
=
+
=
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого
порядка относительно
С
.
2)
=
пр
+
св
При → ∞
пр
→ .
св
=
св
+
св
=0
+1=0
=−
1
=
1
=
4) Используем начальные условия.
= +
0= +
С
R
U
i