Бондаренко В.В. Основы теории цепей. Часть 2
Подождите немного. Документ загружается.
81
§4.3. АНАЛОГИИ МЕЖДУ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ЛАПЛАСА И
ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ФУРЬЕ
ППЛ
1)
(
)
=
(
)
ППФ
1)
(
)
=
(
)
<
0
(
)
=
0
2)
(
)
=
1
2
(
)
3)
(
)
=
(
)
(
)
=
1
2
(
)
→
2)
(
)
=
1
2
(
)
Пример.
(
)
=
Найти спектр этого сигнала:
(
)
.
Запишем преобразование Лапласа.
(
)
=
+
u
t
p = jω
82
=
(
)
=
+
=
(
)
(
)
(
)
=
+
−
−
=
+
(
−
)
(
)
=
|
(
)
|
=
√
+
+
=
√
+
— амплитудно-частотная характеристика данного сигнала.
(
)
=arctg −
— фазо-частотная характеристика.
§4.4. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПЕРИОДИЧЕСКОГО
СИГНАЛА
(
)
=
(
)
=
=
(
)(
cos − sin
)
=
=
(
)
cos
(
)
−
(
)
sin
(
)
=
=
(
)
−
(
)
(1)
(
)
=
(
)
cos
— вещественный (чётный) спектр сигнала.
(
)
=
(
)
sin
— мнимый (нечётный) спектр сигнала.
83
(
)
=
(
)
−
(
)
=
(
)
(
)
(
)
=
(
)
+
( ) — АЧХ.
Ψ
(
)
=arctg
( )
(
)
( )
— ФЧХ.
Пример: прямоугольный импульс.
(
)
−?
Данный сигнал можно представить в виде двух сигналов вклю-
чения.
(
)
= 1
(
)
− 1
(
−
)
Используем преобразование Лапласа.
(
−
)
≓
(
)
1
(
−
)
≓
1
—теорема запаздывания.
(
)
=
−
=
(
1 −
)
Подставляя = , запишем
(
)
=
1 −
.
A
τ
–
A
t
f(t)
t
A
τ
84
§4.5. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ИМПУЛЬСА
(
)
,
(
)
,Ψ
(
)
−?
Второй путь — использование прямого преобразования Фурье.
(
)
=
(
)
(
)
=
=
=
−
0
=
−
−1 =
=
1 −
Приведём данное выражение к виду, когда можно будет ис-
пользовать формулу Эйлера.
sin =
−
2
(
)
=
2
−
2
=
2
sin
2
=
2
sin
2
Проанализируем АЧХ.
(
)
=
2
sin
2
F(ω)
ω
2
4
6
f(t)
t
A
τ
85
sin
2
=0: =
2
, =1,2,3…
sin
2
=1: =
(2 +1)
(
0
)
=
0
0
′
(
=0
)
=
2 ⋅cos
2
⋅
2
1
=0
=2 ⋅
2
=
=2
=
2
=
1
Например, для =10
с =10
Гц.
Чем уже импульс, тем сложнее строить аппаратуру.
1) =0, Ψ
(
)
=0.
2) =
2
, Ψ
(
)
= −
2
= −
2
3) =
2
, Ψ
(
)
= −
2
2
= −
F(ω)
ω
2
4
6
ω
Ψ(ω)
–π
86
4) =
3
,
(
)
=
2
sin
3
2
=
2
5) =
4
, Ψ
(
)
=
−
4
2
= −2
= −
=0
§4.6. ПОРЯДОК РАСЧЁТА РЕАКЦИИ ЦЕПИ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ
ВХОДНОМ СИГНАЛЕ ПРИ ПОМОЩИ ЧАСТОТНОГО
(СПЕКТРАЛЬНОГО) МЕТОДА
1. Интеграл Дюамеля позволяет рассчитать только во времен-
ной области.
2. Интеграл Фурье позволяет сделать ту же работу, но в ком-
плексной плоскости.
И тот, и другой метод работают при нулевых начальных усло-
виях. Иначе — реакция от начальных условий рассчитывается
отдельно любым другим методом, и, поскольку цепи линейные,
по принципу суперпозиции результат складывается.
Порядок расчёта:
1)
(
)
=
вх
(
)
→
вх
(
)
=
̇
ЭЦ
a(t) b(t)
воздействие реакция
+j
+1
ω
∞
87
2) Отдельно рассчитывается комплексный коэффициент пере-
дачи:
(
)
=
вых
(
)
вх
(
)
=
̇
̇
3) Рассчитывается выходной сигнал (спектр):
вых
(
)
=
вх
(
)
(
)
4) Переходим к функции времени.
вых
(
)
→
вых
(
)
Пример.
вх
=
R, C
——————
(
)
=
вых
(
)
1)
вх
(
)
=
вх
(
)
=
+
Вместо формально подставляем , найдём прямое преобра-
зование Фурье.
вх
(
)
=
+
2)
(
)
=
̇
вых
̇
вх
=
1
+
1
=
1
+
1
C
R
U
вх
(t) U
вых
(t)
U
вх
t
U
0
88
3)
вых
(
)
=
вх
(
)
⋅
(
)
=
+
⋅
1
+
1
Формально заменим на р.
вых
(
)
=
вх
(
)
⋅
(
)
=
+
⋅
1
+
1
1
(
+
)(
+
)
≓
1
(
−
)
(
−
)
вых
(
)
=
1
−
−
89
Глава 5. Нелинейные
электрические цепи при
постоянном воздействии
Линейными электрическими цепями называются такие, в
которых все входящие в них элементы являются линейными.
Нелинейными электрическими цепями называются та-
кие, в которых хотя бы один элемент является нелинейным.
Вольт-амперная характеристика:
=
⁄
— линейный элемент R. Величина его не меняется.
Если величина R меняется от напряжения или от тока, то это
уже нелинейный элемент (кривые 3, 4).
Вебер-амперная характеристика:
Ψ =
= Ψ
⁄
— линейный элемент. А если величина индуктивности
зависит от потокосцепления или от тока, мы получаем нели-
нейный элемент (кривые 3, 4).
I
3
2
1
4
Ψ
I
3
2
1
4
U
90
Кулон-вольтная характеристика:
=
=
⁄
— линейный элемент С. Если величина С зависит от
заряда либо от приложенного напряжения, мы получаем нели-
нейный элемент С.
В нелинейных цепях нельзя использовать метод наложения и
методы, на нём основанные: метод контурных токов, метод уз-
ловых потенциалов. Остаются закон Ома и законы Кирхгофа.
Если раньше мы писали = +
+
∫
, то в нелинейных
цепях мы должны учесть нелинейность самих элементов:
=
(
)
+
(
(
)
)
+
1
(
)
.
Это уравнение приводит к нелинейным дифференциальным
уравнениям, решать которые более сложно, чем линейные.
Решая нелинейные цепи, необходимо иметь ВАХ, ВбАХ, КВХ
элементов R, L, C.
Характеристики нелинейных элементов могут быть симмет-
ричными и несимметричными.
При
=
(
)
= − (−
) — условие симметрии.
f(
)
1
2
f(
1
)
f(
2
)
U
3
2
1
4
Q