Бондаренко В.В. Основы теории цепей. Часть 2
Подождите немного. Документ загружается.
51
2. Индуктивность
В операторной форме строим схему на основании уравнения
(6).
(
)
=
(
)
+
(
0
)
(
)
=
(
)
−
(
0
)
Так записываются ненулевые начальные условия.
Источник тока можем преобразовать в источник ЭДС.
−
(
)
+
(
)
−
(
0
)
=0
(
)
=
(
)
−
(
0
)
pL
(
)
(
)
(
0
)
∙
=
(
0
)
–
+
pL
(
)
(
)
(
0
)
L
(
0
)
≠
0
52
Закон Ома при ненулевых начальных условиях
U, R, L, C
начальные условия
ненулевые
———————————
i
+
+
=
+
+
1
=
≓
(
)
≓
(
)
≓
(
)
≓
(
)
−
(
0
)
1
≓
(
)
1
+
(
0
)
(
)
+
(
)
−
(
0
)
+
(
)
1
+
(
0
)
=
(
)
L
R
U
C
i
L
R
U
C
K
53
Перенесём начальные условия в правую часть, где источники
ЭДС и найдём ток.
(
)
+
(
)
+
(
)
1
=
(
)
+
(
0
)
−
(
0
)
(
)
=
(
)
+
(
0
)
−
(
0
)
+
+
1
(
)
(4)
а) Начальные условия записываются в исходную схему.
б) Направления источников совпадают с физическим направ-
лений этих стрелок.
§2.6. ЗАКОНЫ КИРХГОФА В ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ
=
0
(1)
Для любого узла алгебраическая сумма мгновенных значений
токов равна нулю.
Сделаем переход от токов к их изображениям.
≓
(
)
,
≓
(
)
, …,
≓
(
)
pL
R
U(p)
1
I(p)
(
0
)
(
0
)
54
(
)
=
0
(3)
Для любого узла алгебраическая сумма токов в операторной
форме равна нулю.
Правила составления такие же, как в цепях постоянного и пе-
ременного тока.
Для данного узла
(
)
+
(
)
−
(
)
−
(
)
=0.
Второй закон Кирхгофа:
=
(4)
Для любого замкнутого контура алгебраическая сумма мгно-
венных значений напряжений равна алгебраической сумме
мгновенных значений ЭДС.
+
+
1
=
(5)
≓
(
)
≓
(
)
(
)
(
)
(
)
=
(
)
(7)
Для любого замкнутого контура алгебраическая сумма на-
пряжений в операторной форме равна алгебраической сумме
ЭДС в операторной форме.
Правила составления такие же, как в цепях постоянного и пе-
ременного тока.
i
1
i
4
i
3
i
2
55
§2.7. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ, МЕТОД УЗЛОВЫХ
ПОТЕНЦИАЛОВ И ДРУГИЕ МЕТОДЫ В ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ
Метод контурных токов
= в −
(
у−1
)
(
)
⋅
(
)
+
(
)
(
)
+
(
)
=
(
)
(
)
⋅
(
)
+
(
)
(
)
+
(
)
=
(
)
(
)
⋅
(
)
+
(
)
(
)
+
(
)
=
(
)
Метод узловых потенциалов
(
у−1
)
(
)
(
)
+
(
)
(
)
+
(
)
(
)
=
( )
(
)
(
)
+
(
)
(
)
+
(
)
(
)
=
( )
(
)
(
)
+
(
)
(
)
+
(
)
(
)
=
( )
Метод двух узлов
=
∑
+
∑
∑
(
)
=
∑
(
)
(
)
+
∑
(
)
∑
(
)
Метод эквивалентного генератора
=
вх
+
( )=
( )
вх
( )+ ( )
Все методы будут справедливы и в операторной форме.
56
§2.8. ПЕРЕХОД ОТ ИЗОБРАЖЕНИЯ К ОРИГИНАЛУ
1)
(
)
=
1
2
(
)
2) Использование всевозможных таблиц.
3) Использование теоремы разложения.
(
)
=
(
)
(
)
=
+
+ ⋯+
+
+ ⋯+
(
)
=0:
,
,
,… называют нулями полинома.
(
)
=0:
,
,
,… — полюсы.
(
)
(
)
=
−
+
−
+
⋯
+
−
=
−
(1)
(
)
(
)
=
−
+
−
(
−
)
(
)
( )
=
=
+
−
|
=
(
)(
−
)
(
)
=
(
)
−
(
)
(
)
Видим неопределённость 0/0, воспользуемся правилом Лопита-
ля.
=
(
)
+
(
)
1−
(
)
(
)
=
=
(
)
(
)
=
(
)
(
)
=
(
)
(
)
…
57
=
(
)
(
)
(
)
=
(
)
(
)
=
⋅
1
−
(1)
−
≓
(3)
(
)
=
(
)
(
)
(4)
Область применения:
а) ≤ . Степень полинома числителя не больше степени по-
линома знаменателя.
б) Нет кратных корней знаменателя.
Например,
(
)
=
100
( +500)
(
)
=0
(
+500
)
=0
=0,
= −500
(
)
=
(
+500
)
=2 +500
(
)
=500
(
)
= −500
На основании выражения (4) у нас будет два слагаемых (т. к.
два корня):
(
)
=
100
500
+
100
−500
=0,2 −0,2
58
Пример.
,
,
—————————
1) Ищем начальные условия. Напряжение постоянное, ток про-
текал.
(
0
)
=
(
0
)
=
2)
(
)
=
(
)
+
(
0
)
Преобразуем источник тока в источник ЭДС.
4) Делаем переход к оригиналу
(
)
≓ ( ).
pL
R
(
0
)
=
(
0
)
I(p)
pL
R
(
0
)
L
R
1
U
2
59
§2.9. ПОРЯДОК РАСЧЁТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ
1) В цепи до коммутации определяются начальные условия, ес-
ли они не заданы.
2) Для цепи после коммутации составляется схема в оператор-
ной форме с учётом ненулевых начальных условий, ежели та-
ковые имеются.
3) Схема рассчитывается, находится всё, что нам требуется.
(
)
,
(
)
,
(
)
…
(
)
+
(
)
=
(
0
)
(
)
=
(
0
)
+
=
⋅
+
=
+
+
≓
4)
(
)
=
§2.10. ОПЕРАТОРНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Операторной передаточной функцией называется отно-
шение изображения по Лапласу реакции цепи к изображению
по Лапласу воздействия на данную цепь.
(
)
=
(
)
(
)
(1)
Z — изображение по Лапласу.
ЭЦ
a(t) b(t)
a(t)
—
входной сигнал (воздействие)
;
b(t) — выходной сигнал (реакция).
60
(
)
=
вых
(
)
вх
(
)
— операторная передаточная функция по напряжению.
(
)
=
вых
(
)
вх
(
)
— операторная передаточная функция по току.
(
)
=
вых
(
)
вх
(
)
[Ом]
— операторное передаточное сопротивление цепи.
(
)
=
вых
(
)
вх
(
)
[Ом
]
— операторная передаточная проводимость.
Выводы:
1) Операторная передаточная функция не зависит от входного
напряжения, а определяется только параметрами цепи.
2) Зная операторную передаточную функцию и воздействия,
мы всегда можем однозначно найти реакцию цепи.
Найдём операторную передаточную функцию по напряжению.
(
)
=
вых
( )
вх
(
)
=
1
+
1
=
1
+1
=
1
+
1
1
вых
вх
C
вых
вх