Бондаренко В.В. Основы теории цепей. Часть 2
Подождите немного. Документ загружается.
131
Найдём ток из уравнения (1).
̇
=
1
(
+
)
–
̇
= −
1
(
+
)
̇
(
−
)
+
̇
=
=
(
+
)
̇
−
̇
=
=
(
+
)(
+
)
(
+
)
̇
−
̇
=
=
1
(
+
)
(
+
)
̇
−
̇
=
1
в
̇
−
̇
(7)
в
=
(
+
)
(
+
)
— волновое сопротивление линии.
γ и
в
— вторичные параметры линии.
Уравнения (6) и (7) — для установившегося гармонического
процесса в символической форме.
§7.3. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ В ЛИНИИ
Перепишем уравнения (6) и (7).
̇
=
̇
+
̇
=
пр
+
обр
̇
=
1
в
̇
−
̇
=
пр
+
обр
̇
→
̇
⋅√2 →
̇
→ ℑ
(
)
= ( )
пр
(
,
)
= ℑ
̇
√2
= ℑ
(
)
=
= ℑ
=
= ℑ
(
)
=
=
( − +
)=
пр
( , )
132
Нарисуем график прямого напряжения
пр
( , ).
Рассмотрим точку
, где sin( − +
)=0, то есть − +
=0. Посмотрим, куда эта точка желает переместиться.
В какой-то момент времени
+ Δ , чтобы был ноль нужно
+ Δ . Точка перемещается от начала к концу линии.
−
+
=
(
+Δ
)
−
(
+Δ
)
+
Δ = Δ
Δ
Δ
=
=
ф
(1)
— фазовая скорость.
Фазовой скоростью называется скорость, с которой должен
двигаться наблюдатель, чтобы видеть волну в одной и той же
фазе.
Рассмотрим второе слагаемое.
обр
(
,
)
= ℑ
̇
√2
= ℑ
(
)
=
= ℑ
= ℑ
(
)
=
=
( − +
)=
обр
(
,
)
(2)
Построим.
u (x,t)
x
A
1m
x
1
133
Рассмотрим точку
, где sin( + +
)=0, то есть + +
=0. Посмотрим, куда эта точка желает переместиться.
В какой-то момент времени
+ Δ , чтобы был ноль нужно
−Δ . Точка перемещается от конца к началу — обратная
волна.
Напишем прямую волну тока.
в
=
в
в
пр
(
,
)
= ℑ
в
в
̇
√2
=
= ℑ
в
(
)
в
=
=
в
( − +
−
в
)=
пр
( , )
обр
(
,
)
=
в
( + +
−
в
)
Если положить =0, получаем частный случай: цепь перемен-
ного тока.
u (x,t)
x
x
1
134
§7.4. ЗАВИСИМОСТЬ РЕЖИМА ЛИНИИ ОТ НАГРУЗКИ
̇
=
̇
+
̇
̇
=
1
в
̇
−
̇
̇
=
̇
⋅
н
(1)
При
=
̇
=
̇
̇
=
̇
(2)
Условие (2) подставим в исходную систему (используем гранич-
ные условия).
̇
=
̇
+
̇
̇
=
1
в
̇
−
̇
(3)
Из системы (3) найдём коэффициенты
̇
,
̇
.
̇
=
̇
̇
−
в
в
−
в
=
−
̇
в
−
̇
−
1
в
−
1
в
=
̇
+
̇
в
2
(4)
̇
=
̇
в
̇
−
2
1
в
=
̇
−
̇
в
−
2
1
в
=
̇
−
̇
в
2
(5)
̇
̇
н
̇
̇
=
−
135
Подставим эти коэффициенты в исходные уравнения напряже-
ния и тока.
̇
=
̇
+
̇
в
2
+
̇
−
̇
в
2
=
=
̇
+
̇
в
2
(
)
+
̇
−
̇
в
2
(
)
=
=
̇
+
̇
в
+
̇
−
̇
в
(6)
̇
=
̇
+
̇
в
2
в
−
̇
−
̇
в
2
в
=
=
̇
+
̇
в
в
−
̇
−
̇
в
в
(7)
1) Z
н
=
в
— согласованная нагрузка.
̇
=
̇
н
=
̇
в
В уравнениях (6) и (7) пропадут вторые слагаемые.
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
̇
=
̇
+
̇
в
2
̇
=
̇
+
̇
в
2
в
(8)
2) Рассмотрим так называемый коэффициент отражения,
который определяется как отношение обратной волны к прямой
в конце линии, то есть при =0.
=
обр
пр
|
=
̇
−
̇
в
̇
+
̇
в
=
̇
н
−
̇
в
̇
н
+
̇
в
=
н
−
в
н
+
в
(9)
Рассмотрим выражение (9) в случаях:
а) холостой ход:
н
= ∞. =1.
б) короткое замыкание:
н
=0, = −1.
в) согласованная нагрузка:
н
=
в
, =0.
136
§7.5. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ В ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ
̇
=
̇
+
̇
в
2
+
̇
−
̇
в
2
(1)
̇
=
̇
+
̇
в
2
в
−
̇
−
̇
в
2
в
(2)
ch
=
+
2
,
sh
=
−
2
(3)
̇
=
̇
+
2
+
̇
в
−
2
=
̇
ch
+
̇
в
sh
(4)
̇
=
̇
в
−
2
+
̇
+
2
=
̇
в
sh
+
̇
ch
(5)
̇
=
̇
ch
+
̇
в
sh
̇
=
̇
в
sh
+
̇
ch
(*)
При =
̇
=
̇
̇
=
̇
.
̇
=
̇
ch
+
̇
в
sh
̇
=
̇
в
sh
+
̇
ch
(6)
Вспоминаем уравнение четырёхполюсника в гиперболических
функциях.
̇
=
̇
ch
+
̇
в
sh
̇
=
̇
в
sh
+
̇
ch
(7)
Формально подставляя вместо
в
=
и вместо = , получим
уравнения четырёхполюсника.
Вывод: теорию четырёхполюсников можно использовать для
расчёта длинных линий.
137
=
(
+
)
[
Нп
]
,
Нп
км
[
рад
]
,
рад
км
=
+
[Нп]
[
рад
]
§7.6. ЛИНИЯ БЕЗ ИСКАЖЕНИЙ
1)
=
+
— условие прохождения сигна-
ла без искажения через четы-
рёхполюсник.
ф
=
≠
(
)
=
2) Коэффициент распространения волны:
=
(
+
)
(
+
) =
+
+
Если выполняется это условие, линия без искажений.
=
(1)
=
+ =
+
=
=
=
≠
(
)
=
138
=
ф
=
=
=
1
≠
(
)
в
=
+
+
=
+
+
=
=
в
=0
Но это соотношение (1) не всегда выполнимо без корректирую-
щих четырёхполюсников.
§7.7. ЛИНИЯ БЕЗ ПОТЕРЬ
=
(
+
)
(
+
)
В некоторых случаях (СВЧ)
≫
,
≫
.
Тогда
и
можно пренебречь.
≅
ЛБП
=
0
=
ЛБИ
=
=
Линия без потерь — это прежде всего линия без искажений, у
которой =0.
ф
=
=
=
1
≠
(
)
в
=
+
+
≅
=
=
в
в
— чисто вещественная величина, как и в предыдущем пара-
графе.
139
3) Сделаем переход от уравнения с гиперболическими функ-
циями к уравнению с обычными тригонометрическими функ-
циями.
̇
=
̇
ch
+
̇
в
sh
̇
=
̇
в
sh
+
̇
ch
(
∗
)
ch =
+
2
, sh =
−
2
cos =
+
2
, sin =
−
2
⎩
⎨
⎧
ch
=
+
2
=
cos
sh
=
−
2
=
sin
(1)
C учётом (1) система (∗) приобретёт вид.
̇
=
̇
cos
+
̇
в
sin
̇
=
̇
в
sin
+
̇
cos
(
∗
∗
)
§7.8. ЛИНИЯ БЕЗ ПОТЕРЬ ПРИ СОГЛАСОВАННОЙ НАГРУЗКЕ
1)
н
=
в
̇
=
̇
н
=
̇
в
(1)
̇
̇
н
̇
̇
=
−
140
̇
=
̇
cos +
̇
в
̇
sin =
̇
(
cos + sin
)
=
=
̇
=
̇
(2)
̇
=
̇
в
̇
sin
+
̇
cos
=
̇
=
̇
(3)
Перейдём к мгновенным значениям.
(
,
)
=
̇
√2
=
=
=
(
)
=
sin
(
+
+
)
(5)
(
,
)
=
̇
√
2
=
sin
(
+
+
)
(6)
(
,
)
→
(
5
)
+
+
=
0
+ Δ :
−Δ
Наблюдаем прямую (падаю-
щую) волну напряжения и
тока.
Действующие значения на-
пряжения и тока не меняют-
ся вдоль линии.
=
√
2
,
=
√
2
3)
(
,
)
→
(
5
)
(
,
)
→
(
6
)
Напряжение и ток находятся
в фазе, поскольку сопротив-
ление чисто активное. Син-
фазное перемещение прямой
волны.
вх
=
̇
̇
⁄
=
̇
̇
⁄
=
в
на ос-
новании уравнения (1).
вх
=
в
,
не зависит от
.
y
i
u
(
,
)
,
(
,
)
y
U
2
I
2
y
y
1