Бондаренко В.В. Основы теории цепей. Часть 2
Подождите немного. Документ загружается.
Валентин Васильевич Бондаренко
Основы теории
цепей
Часть 2
Конспект лекций
Выполнил студент 712 гр.
А. В. Димент
2009
СПбГУКиТ
2
3
Глава 1. Переходные процессы в
линейных электрических цепях
§1.1. ПРИЧИНЫ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Различают стационарный режим работ цепи. При этом
а) отсутствует коммутация в цепи;
б) не изменяются скачком параметры элементов ( →2 );
в) неизменность структуры цепи.
В отличие от него различают динамический режим работы це-
пи, который связан с переходными процессами. Его признаки:
а) наличие коммутации в цепи;
б) скачкообразно меняются параметры цепи;
в) скачкообразное изменение всей структуры цепи.
Если выполняется хотя бы один из этих признаков, наблюдает-
ся переходной процесс.
Сама по себе коммутация, или переключение, может происхо-
дить практически мгновенно (порядка мкс), а процессы в элек-
трической цепи мгновенно измениться не могут из-за того, что
в цепи имеются реактивные элементы L, C. Достаточное усло-
вие — наличие энергии на этих элементах.
§1.2. ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ
=
2
=
2
C
i
L
4
=
При →0 цепь должна иметь бесконечную мощность. Но та-
кое в природе невозможно, поэтому происходит переходной
процесс.
(
0
)
=
(
0
)
Ψ =
Ψ
(
0
)
= Ψ
(
0
)
— первый закон коммутации:
Ток в индуктивности или потокосцепление скачком изме-
няться не могут.
(
0
)
=
(
0
)
=
(
0
)
=
(
0
)
— второй закон коммутации:
Напряжение на ёмкости или заряд скачком меняться не мо-
гут.
Скачком изменяться могут
,
,
,
.
(
0
–
)
C
t
(
0
–
)
(
0
)
(
0
–
)
L
t
(
0
–
)
(
0
)
5
§1.3. НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Начальными условиями называются те условия, которые
были на реактивных элементах к моменту начала коммутации.
Они могут быть нулевыми (
(
0
)
=
(
0
)
=0,
(
0
)
=
(
0
)
=
0), ненулевыми (
(
0
)
=
(
0
)
≠ 0,
(
0
)
=
(
0
)
≠ 0).
В общем случае
(
)
=
(
)
=
≠ 0
=0
(
)
=
(
)
=
≠ 0
=0
§1.4. МЕТОДИКА РАСЧЁТА
До коммутации определяются начальные условия, если они
нам не заданы. Вся методика распространяется на цепь после
коммутации.
C
L
R
E
i
C
L
R
K
E
6
1. Составляем исходное дифференциальное уравнение
для данной цепи.
+
+
=
+
+
=
=
+
+
=
+
+
=
— линейное неоднородное дифференциальное уравнение вто-
рого порядка относительно
. Линейное, т. к. коэффициенты
не зависят от
. Неоднородное, так как правая часть не равна
нулю. Порядок уравнения и цепи определяется количеством
реактивных элементов.
2. Ищем решение этого дифференциального уравнения.
=
пр
+
св
,
где
пр
(принуждённое) — частное решение неоднородного
дифференциального уравнения, а
св
(свободное) — общее
решение однородного дифференциального уравнения.
Нашли
пр
.
3. Ищем свободную составляющую в форме
св
=
+
,
где
и
— постоянные интегрирования, которые определя-
ются из начальных условий. Их мы найдём в следующем пунк-
те. Здесь найдём
и
— корни характеристического уравне-
ния.
7
св
+
св
+
св
=0
Переходим к характеристическому уравнению.
+ +1=0
Находим
,
.
4.
=
пр
+
+
Составим уравнение для тока:
=
=
пр
+
+
(
0
)
=
пр
|
+
+
(
0
)
=
пр
|
+
+
Из этой системы находим
,
.
§1.5. ПОДКЛЮЧЕНИЕ RL-ЦЕПИ НА ПОСТОЯННОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
Дано:
,
,
.
Начальные условия
(
0
)
=
(
0
)
=0.
—————————
Найти ,
,
.
L
R
U
i
L
R
K
U
8
По второму закону Кирхгофа обойдём контур.
+
=
+
=
+ =
— линейное однородное дифференциальное уравнение первого
порядка относительно тока.
=
пр
+
св
При → ∞ = .
пр
=
3. Ищем свободную составляющую.
св
=
Найдём .
св
+
св
=0
+ =0
=−
=
=
— постоянная времени [c].
а)
св
=
=
Постоянная времени — время, в течение которого исходная ве-
личина изменяется в е раз.
9
Используя начальные условия, определим .
0=
+
=−
=
−
⋅
(1)
б) С точки зрения физики процесса нет ни принуждённой, ни
свободной составляющих, а есть так называемый переходной
ток, который описывается такой экспонентой. Свободные и
принуждённые составляющие берутся из метода расчёта.
в) Теоретически переходной процесс длится бесконечно долго.
Практически переходной процесс можно считать законченный
через
(
3…5
)
⋅ .
=
=
−
(2)
U
t
τ
2τ
3τ
u
R
i
−
t
τ 2τ 3τ
i(0
–
) = i(0
+
)
i
пр
i
св
i
10
— форма кривой не меняется.
=
=
−
−
1
=
=
(3)
Если мы сложим
+
, для любого сумма даст исходное на-
пряжение .
+
=
§1.6. КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ RL-ЦЕПИ
Дано:
,
,
.
—————————
Найти ,
,
,
— энергия маг-
нитного поля.
L
R
1
U
2
U
t
τ
2τ
3τ
u
R
, u
L
u
L
t
τ 2τ 3τ