Бобин Н.Е. Инженерная графика. Начертательная геометрия
Подождите немного. Документ загружается.
Х
2
P=P
IV
β0
f
PPx
2
,
и следы
V
α0
f
и
V
β0
f
:
V
α0
f
P=P(Х
2
M
V
);
V
β0
f
P=P(Х
2
M
V
).
7.PЕсли найденный угол
1
между следами
V
α0
f
и
V
β0
f
меньше 90°, то он равен
искомому.
Если найденный угол
1
больше 90°, то его необходимо достроить до развернутого угла, а
искомый угол будет равен разности между углом 180° и найденным углом.
Поскольку найденный угол
1
меньше 90°, он и является линейным углом между
плоскостями и .
81
Рис.18.9
IV
β0
f
β0
f
β0
h
α0
h
M
N
IV
α0
f
X
X
M
N
N
2
1
1
4
M
IV
IV
α0
f
4
5
V
β0
f
V
α0
f
M
V
PPN
V
1
Х
1
Х
1
Х
2
Х
2
x
2
x
1
x
МНОГОГРАННИКИ И КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Задача 19
Построить сечение заданного геометрического тела плоскостью . Показать
видимость сечения. Определить истинную величину сечения.
19.1.Пирамида (рис.19.1)
1.PРассмотрим построение сечения пирамиды способом ребер, т.е. путем нахождения
точек встречи ребер SA, SB и SC с плоскостью . Таким
образом, решение задачи сводим к многократному
решению задачи на пересечение прямой с плоскостью
(см. задачу 7).
Находим точку 1, в которой ребро SA пересекает плоскость . Для этого через ребро SA
проводим вспомогательную плоскость частного положения, например фронтально-
проецирующую плоскость (рис.19.2):
SA P P
β0
f
;
β0
h
PPx.
Строим линию пересечения М
1
N
1
плоскостей и :
1
N
P=P
α0
f
PP
β0
f
;
1
N
PPx;
1
M
P=P
α0
h
PP
β0
h
;
1
M
PPA (
1
M
на чертеже не показана)
и точку встречи 1 ребра SA с плоскостью :
1P=P
11
NM
PPSA; 1PPSA.
82
C
A
x
C
α0
f
B
Х
A
B
S
α0
h
S
Рис.19.1
2.PАналогично построены точки 2 и 3, в которых ребра SB и SC пересекают плоскость
(рис.19.3). Треугольник 123 является сечением пирамиды SABC плоскостью .
3.PСторона многоугольника, образуемого в сечении, считается невидимой, если она
принадлежит невидимой грани многогранника. В направлении на плоскость
1
сторона сечения
12 будет невидимой, так как она находится на невидимой грани SAB. В направлении на
плоскость
2
невидимой будет сторона сечения 13, поскольку она лежит на невидимой грани
SAC.
83
Рис.19.2
α0
f
β0
h
B
C
C
Х
1
М
1
A
A
1
N
B
1
S
α0
h
1
N
S
β0
f
x
84
Рис.19.3
2
B
2
M
3
М
1
M
α0
h
α0
f
3
N
2
N
β0
h
γ0
h
ε0
h
C
C
Х
3
1
A
3
N
A
2
N
1
N
B
2
1
S
1
N
S
3
ε0
f
β0
f
x
2
2
B
Х
1
2
M
ε0
h
γ0
f
Рис.19.4
3
M
1
M
α0
h
α0
f
3
N
2
N
β0
h
γ0
h
C
C
Х
3
1
A
3
N
A
2
N
B
1
S
1
N
S
3
ε0
f
β0
f
2
1
2
4
4
5
3
IV
2
IV
1
IV
3
V
2
V
1
V
x
x
1
x
2
1
N
4.PОпределяем натуральную величину сечения любым способом преобразования
проекций, например методом перемены плоскостей проекций (рис.19.4). Вводим сначала
дополнительную плоскость проекций
4
из условия
4
PP
2
и
4
PP
и спроецируем на нее сечение – треугольник 123 (на плоскости
4
он спроецируется в отрезок
1
IV
3
IV
2
IV
). Затем вводим вторую дополнительную плоскость проекций
5
из условия
5
PP
4
,
5
PP(123).
Проекция треугольника 123 на плоскости
5
(1
V
2
V
3
V
) – есть натуральная величина
построенного сечения.
19.2. Цилиндр (рис.19.5)
1.PВ цилиндр вписываем правильную шестиугольную призму ABCDEF (рис.19.6).
Поскольку секущая плоскость пересекает основание цилиндра, две точки, лежащие в
сечении, очевидны: точки 1 и 2 лежат в пересечении горизонтального следа
α0
h
c нижним
основанием.
2.PСтроим точки встречи ребер призмы А, В и С с плоскостью . Рассмотрим построение на
примере точки 3 – точки встречи ребра призмы А с плоскостью . Через ребро А проводим
вспомогательную плоскость (например, фронтально-проецирующую плоскость ). Строим
линию пересечения M
1
N
1
вспомогательной плоскости и плоскости :
85
α0
h
O
α0
f
x
X
O
Рис.19.5
1
M
P=P
α0
h
PP
β0
h
,
1
M
PPХ
PPх
(
1
M
и Х
на чертеже не показаны);
1
N
P=P
α0
f
PP
β0
f
,
1
N
PPх.
Определяем проекции точки 3:
3 – в пересечении
11
NM
с горизонтальной проекцией ребра А, 3 – по линии
проекционной связи, проведенной до пересечения с проекцией ребра А.
3.PПроведя вспомогательные плоскости и , находим точки 4 и 5, в которых ребра В и
С пересекаются с плоскостью (рис.19.7).
4.PСоединив точки 2, 3, 4, 5 и 1 плавной кривой линией получим сечение цилиндра
плоскостью (рис.19.8). В данном случае сечение представляет собой часть эллипса,
ограниченного отрезком 12.
86
C
E
1
M
1
β0
h
α0
h
α0
f
β0
f
2
D
1
3
2
1
N
1
N
x
3
X
O
A
B
C
E
F
A
B
F
D
Рис.19.6
O
87
88
C
E
Рис.19.7
D
4
β0
f
ε0
h
β0
h
α0
h
1
α0
f
ε0
f
γ0
f
2
1
5
3
5
4
2
M
1
M
3
M
2
2
N
1
N
1
N
2
N
3
N
3
N
x
3
X
O
A
B
C
E
F
A
B
F
D
γ0
h
C
E
Рис.19.8
2
M
1
M
D
ε0
h
γ0
h
α0
f
β0
f
γ0
f
ε0
f
2
1
5
3
5
4
3
M
2
2
N
1
N
1
N
2
N
3
N
α0
h
3
N
x
3
4
X
O
A
B
C
E
F
A
B
F
D
β0
h
1
О
O
5.PОпределяем видимость сечения относительно поверхности цилиндра. В направлении
на плоскость проекций
1
часть контура сечения, ограниченная точками 1-2-3-4 и образующей
цилиндра, будет невидима, а в направлении на плоскость
2
невидимой будет кривая 3-4-5-1.
6.PОпределяем натуральную величину сечения, например при помощи способа
совмещения. Чтобы избежать наложения построений, переносим параллельным переносом на
свободное место чертежа проекции построенного сечения и следы секущей плоскости
(рис.19.9).
7.PСовмещаем плоскость с плоскостью проекций
1
путем ее вращения вокруг
горизонтального следа
α0
h
(см. задачу 14).
Строим горизонтали, проходящие через точки сечения 3, 4 и 5. Определяем
совмещенное с горизонтальной плоскостью проекций положение фронтального следа
α0
f
плоскости . В совмещенном с плоскостью
1
положении горизонтальные проекции
горизонталей будут параллельны следу
α0
h
.
8.PПроекции точек 1 и 2 остаются неподвижными, поскольку они лежат на
горизонтальном следе
α0
h
, являющемся осью вращения. Проекции точек3,4 и5 находим
на пересечении горизонтальных следов плоскостей вращения, проходящих через точки 3, 4
и
5 и перпендикулярных горизонтальному следу
α0
h
, с соответствующими горизонтальными
проекциями горизонталей. Часть эллипса 1- 2-3-4-5 – есть истинная величина
построенного сечения.
89
Рис.19.9
1
N
3
N
2
N
3
N
1
N
2
N
1
N
α0
f
α0
h
α0
f
2
1
5
3
5
4
1
x
3
4
X
2
3
4
5
Задача 20
Построить точки пересечения прямой LT с поверхностью заданного геометрического тела.
Показать видимость прямой относительно поверхности геометрического тела. Построить
развертку полной поверхности геометрического тела и нанести на нее точки пересечения.
20.1. Пирамида (рис.20.1)
1.PЧерез заданную прямую LT проведем вспомогательную плоскость, например
фронтально-проецирующую плоскость (рис.20.2).
2.PСтроим сечение пирамиды этой вспомогательной плоскостью – треугольник 123.
3.PТочки пересечения K
1
и K
2
прямой TL с контуром сечения (треугольником 123)
являются точками пересечения прямой с поверхностью заданного геометрического тела.
4.PОпределяем видимость прямой относительно поверхности пирамиды: в направлении
на
1
будет невидимым отрезок, ограниченный
1
K
и проекцией ребра SB; в направлении на
2
– отрезок, ограниченный
2
K
и проекцией ребра SA.
90
S
S
A
T
B
C
L
A
B
C
L
T
x
Рис.20.1