Бобин Н.Е. Инженерная графика. Начертательная геометрия
Подождите немного. Документ загружается.
1.PЧерез прямую LT проводим вспомогательную горизонтально-проецирующую
плоскость (рис.7.6):
β0
h
PPLT,
β0
f
PPx.
2.PСтроим линию пересечения EF заданной и вспомогательной плоскостей (рис.7.7):
EP=PAВPP
β0
h
;
E находится в пересечении линии проекционной связи, проведенной из Е, и AB;
FP=PАCPP
β0
h
;
F находится в пересечении линии проекционной связи, проведенной из Е, и AC.
3.PСтроим точку пересечения K заданной прямой LT и линии пересечения EF:
31
x
L
T
L
T
А
B
C
A
B
С
Рис.7.5
С
β0
h
β0
f
x
L
T
L
T
А
B
C
A
B
X
Рис.7.6
32
KP=PLTPPEF;
K находится в пересечении линии проекционной связи, проведенной из K, и LT.
4.PОпределяем взаимную видимость прямой LT и треугольника АВС с помощью
конкурирующих точек (рис.7.8). На горизонтальной плоскости проекций выбираем
конкурирующие точки в пересечении LT с любой из проекций прямых, принадлежащих
плоскости треугольника АВС, например 1PPЕP= =PLTPPAB:
1PPLT;
EPPAB.
33
1
(1
PPЕ
)
Рис.7.8
L
β0
h
β0
f
1
E
x
L
T
T
А
B
C
A
B
С
X
K
F
E
K
F
2
3
1
1
2
3
2
Рис.7.7
β0
h
β0
f
T
x
L
T
L
А
B
C
A
B
С
X
K
E
F
K
F
E
В направлении на плоскость
1
точка E «закрывает» точку 1, следовательно, на
горизонтальной плоскости проекций отрезок 1K закрыт от непосредственного обзора
треугольником ABC.
На фронтальной плоскости проекций выбираем конкурирующие точки в пересечении
LT с любой из проекций прямых, принадлежащих плоскости треугольника АВС, например
2PP3P=PLTPPAB:
2PPLT;
3PPАВ.
В направлении на плоскость
2
точка 3 «закрывает» точку 2, следовательно, на
фронтальной плоскости проекций отрезок 2K невидимый.
Задача 8
Построить линию пересечения двух заданных плоскостей. Показать взаимную
видимость плоскостей.
8.1.Одна плоскость задана следами, другая – плоской фигурой (рис.8.1)
1.PЛиния пересечения двух плоскостей, как уже говорилось выше, определяется двумя
точками, общими для этих плоскостей. В данном случае две такие точки могут быть найдены,
как точки пересечения любых сторон плоской фигуры с плоскостью .
34
2
(2
PP3
)
1
K
Рис.8.2
β0
h
α0
f
1
M
1
N
1
N
β0
f
α0
h
x
X
А
B
C
A
B
С
X
1
K
α0
h
α0
f
x
X
А
B
C
A
B
С
Рис.8.1
2.PНаходим точку пересечения K
1
прямой АС с плоскостью (см. задачу 7): через
прямую АC проводим вспомогательную плоскость, например фронтально-проецирующую
плоскость (рис.8.2), находим линию пересечения М
1
N
1
плоскостей и и в ее
пересечении с прямой АС определяем искомую точку K
1
с проекциями
1
K
и
1
K
.
3.PНаходим точку пересечения K
2
прямой BС с плоскостью : проводим вторую
вспомогательную плоскость, например горизонтально-проецирующую плоскость (рис.8.3),
находим линию пересечения М
2
N
2
плоскостей и и в ее пересечении с прямой BС
определяем искомую точку K
2
с проекциями
2
K
и
2
K
.
4.PЗная точки K
1
и K
2
, общие для плоскости и плоскости треугольника ABC, проводим
через них линию пересечения K
1
K
2
с проекциями
21
KK
и
21
KK
(рис.8.4).
35
Рис.8.3
2
K
1
N
1
N
1
M
α0
f
2
K
2
M
γ0
h
α0
h
β0
f
1
K
x
X
А
B
C
A
B
С
β0
h
X
1
K
X
γ0
f
2
N
2
M
5.PОпределяем
видимость плоскостей друг
относительно друга на основе
анализа положения
конкурирующих точек,
например: точек 1 и М
2
– на
горизонтальной плоскости
проекций и точек 2 и N
1
P– на
фронтальной плоскости
проекций (см. задачу 7).
8.2.Обе плоскости заданы плоскими фигурами (рис.8.5)
36
Рис.8.4
2
N
α0
h
γ0
h
2
1
K
α0
f
β0
f
1
2
M
1
K
x
А
B
C
A
B
С
1
M
β0
h
X
1
N
X
γ0
f
2
K
2
K
1
1
2
2
X
1.PВ данном случае две точки, общие для плоскостей, заданных плоскими фигурами, могут
быть найдены двумя способами:
Pкак точки пересечения сторон одной фигуры с плоскостью второй фигуры;
Pодна точка как точка пересечения стороны первой фигуры с плоскостью второй
фигуры, а другая – как точка пересечения стороны второй фигуры с плоскостью первой фигуры.
2.PНаходим точку K
1
(
,
1
K
1
K
) пересечения стороны AC треугольника АВС с плоскостью
треугольника EDF (рис.8.6):
Pчерез прямую АС проводим вспомогательную плоскость, например фронтально-
проецирующую плоскость ;
Pстроим линию пересечения 12 плоскости и треугольника EDF;
Pопределяем горизонтальную проекцию точки встречи
1
K
P=PАСPP12
и ее фронтальную проекцию
1
K
PPАС.
3.PАналогично находим точку K
2
(
2
K
,
2
K
) пересечения другой стороны треугольника
АВС, например стороны BC с плоскостью треугольника EDF (рис.8.7). Для этого через сторону
ВС проводим вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость , строим линию
пересечения 34 плоскостей и треугольника EDF и определяем проекции точки встречи K
2
:
2
K
P=PBC 34;
2
K
PPВС.
37
C
A
А
x
E
D
E
B
B
С
D
F
F
Рис.8.5
α0
f
1
K
α0
h
A
А
x
E
D
E
B
C
B
С
D
F
F
X
1
2
1
2
1
K
Рис.8.6
4.PЗная две точки, общие для
заданных плоскостей АВС и EDF,
проводим через них линию пересечения
K
1
K
2
(
21
KK
и
21
KK
) (рис.8.8).
5.PОпределяем видимость плоских фигур друг относительно друга при помощи анализа
положения конкурирующих точек.
Выбираем конкурирующие точки для определения видимости на горизонтальной
плоскости проекций, например в пересечении горизонтальных проекций ВС и DF:
4PP(DF);
5PP(BC).
38
1
(4
PP5
)
Рис.8.7
β0
h
2
K
α0
f
1
K
1
K
2
K
α0
h
2
B
β0
f
A
А
x
E
D
E
B
C
С
D
F
F
X
1
2
1
3
4
X
3
4
Рис.8.8
β0
h
2
K
1
K
2
K
1
K
α0
h
5
4
5
β0
f
2
B
A
А
x
E
D
E
B
C
С
D
F
F
α0
f
X
1
2
1
6
3
X
3
4
1
6
2
По фронтальной проекции точек 4 и 5 видно, что точка 4 находится выше точкиP5, поэтому на
горизонтальной плоскости проекций прямая DF будет закрывать прямую ВС. Следовательно, в
этой части треугольник EDF будет ближе к наблюдателю, чем треугольник АВС, и участок
треугольника АВС, ограниченный прямой DF и линией пересечения K
1
K
2
, будет невидимым. От
противного по другую сторону линии пересечения ближе к наблюдателю окажется треугольник
АВС, который закроет часть стороны EF треугольника EDF.
Выбираем конкурирующие точки для определения видимости на фронтальной
плоскости проекций, например в пересечении фронтальных проекций АС и ЕD:
1PP(ED);
6PP(AC).
Рассматривая горизонтальные проекции точек 1 и 6, видим, что точка 1 находится ближе к
наблюдателю. Следовательно, в направлении на плоскость
2
прямая ED закрывает прямую АС,
и в этой области треугольник ЕDF будет ближе к наблюдателю, чем треугольник АВС. Поэтому
на фронтальной плоскости проекций часть треугольника АВС, ограниченная прямой ED и
линией пересечения K
1
K
2
, будет невидимой. Рассуждая от противного, по другую сторону от
линии пересечения ближе к наблюдателю окажется треугольник АВС, закрывающий от обзора
часть стороны EF треугольника EDF.
39
2
(1
PP6
)
Задача 9
Определить истинную величину расстояния от точки K до заданной плоскости.
9.1.Плоскость задана следами (рис.9.1)
1.PОпускаем перпендикуляр из точки K на заданную плоскость (рис.9.2): фронтальная
проекция перпендикуляра проводится из точки K перпендикулярно фронтальному следу
плоскости
α0
f
, а горизонтальная проекция перпендикуляра – из точки K перпендикулярно
горизонтальному следу плоскости
α0
h
.
2.PСтроим точку пересечения перпендикуляра с плоскостью (см. задачу 7), для чего
через перпендикуляр проводим вспомогательную плоскость, например фронтально-
проецирующую плоскость (рис.9.3). Точка L (L, L) – искомая точка пересечения.
3.PОпределяем истинную величину отрезка KL методом прямоугольного треугольника
(см. задачу 2): строим прямоугольный треугольник по двум катетам (один катет –
горизонтальная проекция отрезка KL, другой – алгебраическая разность координат
z
KL
P=PKK
0
). Гипотенуза K
0
L – искомое расстояние (рис.9.4).
40
K
x
α0
f
X
α0
h
K
Рис.9.2
K
x
α0
f
X
α0
h
K
Рис.9.1