Бобин Н.Е. Инженерная графика. Начертательная геометрия
Подождите немного. Документ загружается.
71
Рис.16.5
D
В
1
В
В
IV
С
C
IV
4
1
D
C
А
A
2
D
IV
A
IV
x
1
x
Рис.16.6
В
IV
В
А
V
PPВ
V
PPЕ
V
4
5
h
C
V
PPD
V
1
В
С
C
IV
4
1
D
C
D
А
A
2
D
IV
A
IV
Е
IV
Е
Е
x
1
x
x
2
Задача 17
Определить истинную величину угла между прямой LT и заданной плоскостью.
17.1.Плоскость задана следами (рис.17.1)
1.PУгол между прямой и плоскостью определяется углом между прямой и ее проекцией
на эту плоскость, т.е. углом
1
(рис.17.2). Если требуется определить лишь значение этого угла,
нет необходимости строить его проекции. Угол между прямой TL и плоскостью можно
определить, построив на чертеже угол
2
, составленный заданной прямой и перпендикуляром к
плоскости, а искомый угол
1
определить как дополнительный до 90°:
1
P=P90°P–P
2
.
2.PПроведем из любой точки прямой TL, например точки T, перпендикуляр к плоскости
(рис.17.3): фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна
α0
f
, горизонтальная
проекция перпендикуляра перпендикулярна
α0
h
.
3.PВ плоскости, заданной прямой TL и перпендикуляром, через любую точку этой
плоскости, например через точку L, проводим горизонталь L1 (рис.17.4).
4.PОпределяем истинную величину треугольника 1TL и, следовательно, истинную
величину угла 1TL. Вращением вокруг горизонтали L1 поворачиваем треугольник TL1 в
положение, параллельное плоскости
1
(рис.17.5). Вершины L и 1, лежащие на оси вращения,
остаются неподвижными. Необходимо повернуть только точку T.
72
Рис.17.2
L
2
1
T
K
T
0
1
α0
f
T
X
x
α0
h
Т
L
L
Рис.17.1
T
Рис.17.3
α0
h
α0
f
X
x
T
L
L
T
Рис.17.4
α0
h
α0
f
X
x
T
L
L
1
1
Проводим плоскость
вращения точки Т – плоскость :
ТPP
γ0
h
,
γ0
h
PP1L.
Определяем центр вращения О
Т
(
T
O
,
T
O
) точки Т:
T
O
P=P
0
h
PP1L,
T
O
PP1L.
Радиус вращения точки Т на горизонтальную (
T
O
Т) и фронтальную (
T
O
Т) плоскости
проекций спроецирован с искажением. Истинную величину радиуса вращения определим как
гипотенузу прямоугольного треугольника
T
O
TT
0
, катетами которого являются горизонтальная
проекция радиуса вращения
T
O
T и разность координат z
T
. Новое положение точкиT
находится в пересечении дуги радиуса
T
O
T
0
с центром в
T
O
со следом плоскости вращения
точки TP–P
γ0
h
.
Треугольник
TL1 является натуральной величиной треугольника TL1, а угол
2
–
натуральной величиной угла между прямой TL и перпендикуляром к плоскости .
5.PДополняем угол
2
до 90°. Между прямой TL и плоскостью искомый угол
1
P=P90°P–P
2
.
73
Рис.17.5
γ0
h
α0
h
T
O
T
O
T
90°
T
α0
f
X
x
T
L
L
1
1
z
T
T
0
z
T
1
2
17.2. Плоскость задана плоской фигурой (рис.17.6)
74
Рис.17.7
T
1
2
x
А
B
C
A
B
С
T
L
L
2
1
x
А
B
C
A
B
С
T
L
T
L
Рис.17.6
1.PСтроим любую
горизонталь, например А1
(А1, А1), и фронталь А2 (А
2, А2) плоскости
треугольника АВС (рис.17.7).
75
Рис.17.8
2
x
А
B
C
A
B
С
T
L
T
L
2
1
1
3
3
Рис.17.9
γ0
h
z
L
L
2
x
А
B
C
A
B
С
Т
L
Т
2
1
1
3
3
z
L
2
1
90°
O
L
L
0
L
90°
2.PИз любой точки прямой TL, например из точки L, проводим перпендикуляр к
плоскости треугольника ABC: горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна
горизонтальной проекции горизонтали А 1; фронтальная проекция перпендикуляра
перпендикулярна фронтальной проекции фронтали А2.
3.PВ плоскости двух пересекающихся прямых (рис.17.8)P– прямой TL и перпендикуляра –
проводим проекции горизонтали T3 (T3 и T3).
4.PВращением вокруг горизонтали T3 определяем истинную величину треугольника TL3
и угла при вершине L (рис.17.9 – ход построений аналогичен примеру 17.1).
5.PУгол
2
является истинной величиной угла, образуемого прямой TL и
перпендикуляром к плоскости треугольника АВС. Дополняем угол
2
до 90°.
Истинной величиной угла между прямой TL и плоскостью треугольника АВС будет
угол
1
, равный 90° –
2
.
Задача 18
Определить истинную величину угла между двумя заданными плоскостями.
18.1.Решение способом вращения (рис.18.1)
1.PУгол между двумя пересекающимися плоскостями образуется прямыми,
получающимися в результате пересечения данных плоскостей третьей плоскостью,
перпендикулярной к линии их пересечения (рис.18.2, PPMN). Этот угол равен углу между
перпендикулярами, проведенными из произвольной точки пространства (например, точки K) к
двум данным плоскостям.
76
Рис.18.2
N
M
1
K
2
1
2
А
α0
f
X
x
α0
h
А
В
С
В
С
Рис.18.1
Считается, что линейный угол двугранного угла не должен быть больше 90°.
Следовательно, искомый угол между двумя плоскостями будет равен найденному углу
1
, если
1
P<P90°, или углу
2
P=P180°P–P
1
, если
1
P>P90°.
2.PВыбираем произвольную точку пространства K с проекциями K и K (рис.18.3).
3.PОпускаем из точки K перпендикуляры: один на плоскость , заданной следами,
другойP– на плоскость треугольника АВС.
Фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости перпендикулярна
α0
f
,
горизонтальная проекция – перпендикулярна
α0
h
.
Для того чтобы опустить перпендикуляр на плоскость треугольника АВС, в ней сначала
проведем горизонталь С1 и фронталь А2. Тогда фронтальная проекция перпендикуляра должна
быть перпендикулярна А2, а горизонтальная проекция – перпендикулярна С1.
4.PВ плоскости, образованной этими перпендикулярами, проведем горизонталь 34
(рис.18.4). Вращением вокруг горизонтали 34 повернем треугольник K34 в положение,
параллельное плоскости
1
, определим натуральную величину треугольника K34 и,
следовательно, угла, образованного перпендикулярами (см. задачу 13).
Точки 3 и 4 лежат на оси вращения и своего положения при вращении не меняют.
Необходимо определить только новое положение точки K.
Строим след
γ0
h
плоскости вращения точки K. Он пройдет через K перпендикулярно
34. Определяем горизонтальную проекцию центра вращения точки K (
K
O
) в пересечении
γ
h
0
с 34:
K
O
P=P
γ0
h
34.
Методом прямоугольного треугольника находим истинную величину радиуса вращения
точки KP–P
K
O
K
0
. Теперь можно найти положение точки
K.
77
Рис.18.3
А
α0
f
X
x
α0
h
K
А
В
С
1
2
В
С
1
2
K
5.PЕсли найденный угол
1
меньше 90°, то он равен
искомому. Если найденный
угол
1
больше 90°, то его
необходимо достроить до
развернутого угла, а искомый
угол будет равен разности
между углом 180° и углом
1
.
18.2. Решение способом перемены плоскостей проекций (рис.18.5)
1.PСтроим линию пересечения MN заданных плоскостей (рис.18.6) – см. задачу 7.
2.PЕсли положение линии пересечения
плоскостей преобразовать таким образом, чтобы
она была перпендикулярна плоскости проекций,
то заданные плоскости окажутся в положении
проецирующих плоскостей и угол между следами
будет линейным углом рассматриваемого
двугранного угла.
78
β0
h
β0
f
α0
f
x
α0
h
X
X
Рис.18.5
K
O
Рис.18.4
В
В
4
А
α0
f
X
x
α0
h
K
А
С
1
2
С
1
2
3
4
3
z
K
K
z
K
K
0
K
1
γ0
h
Для преобразования линии пересечения в проецирующую прямую надо ввести две
новые плоскости проекций
4
и
5
по следующей схеме:
4
PP
1
и
4
PPMN, а затем
5
PP
4
и
5
PPMN.
3.PВ любом месте чертежа (рис.18.7) проводим ось x
1
PPMN и строим проекцию линии
пересечения М
IV
N
IV
на плоскости
4
.
4.PСтроим точки схода следов плоскостей и в системе
1
/
4
(рис.18.8):
Х
1
P=P
α0
h
PPx
1
;
Х
1
P=P
β0
h
PPx
1
,
а затем следы
IV
α0
f
и
IV
β0
f
:
IV
α0
f
PP
IV
β0
f
PPМ
IV
N
IV
.
5.PЗатем проводим ось x
2
PPМ
IV
N
IV
и строим проекцию М
V
N
V
на плоскости
5
(рис.18.9).
На плоскости
5
линия пересечения MN спроецировалась в точку M
V
PPN
V
.
6.PСтроим точки схода следов плоскостей и в системе плоскостей проекций
4
/
5
:
79
Рис.18.6
β0
h
β0
f
α0
h
α0
f
X
x
X
M
M
N
N
Рис.18.7
β0
f
β0
h
α0
h
4
α0
f
X
x
X
M
M
N
N
2
1
1
M
IV
N
IV
x
1
Х
2
P=P
IV
α0
f
PPx
2
;
80
x
1
Рис.18.8
β0
f
β0
h
IV
β0
f
α0
h
α0
f
X
X
M
M
N
N
2
1
1
4
M
IV
N
IV
IV
α0
f
Х
1
Х
1
x