Бейли Н. Математика в биологии и медицине

Подождите немного. Документ загружается.

ГЕНЕТИЧЕСКОЕ

СЦЕПЛЕНИЕ

ХРОМОСОМНЫЕ КАРТЫ

251

мощью информационных функций. Корреляционная матрица

имеет

вид

ini

-n

)(PS-QR)

_{n

-n

)(PQ-RS)

-S)

(щ + n

) (n

+ щ) (P + Q)(R + S)

in3

){PR-QS)

-Д).

(10.23)

В табл.

приведены данные Парсонса

рецессивных генах

scute (sc), cross-veinless (си) и vermilion (v)

плодовой мушки

Droso-

phila.

Рассматривая

эту

таблицу

как

таблицу сопряженности

при-

знаков

4x4,

получаем

= 54,88 с

девятью степенями свободы,

т.

е.

высокозначимый результат.

При

допущении

существовании

сцепления возможное влияние дифференциальной жизнеспособ-

ности можно обнаружить описанным выше методом.

Так, диф-

Таблица

Сбалансированное тригибридное возвратное скрещивание

плодовых

мушек

Drosophila

sc cvv

SC+

-{-cvv

cv-\-

sc-^-v

cv-\-

Сумма

Рекомбина-

ции

отсут-

ствуют

1669

1646

1350

1606

6271

Рекомбина-

ции

только

на

первом

участке

243

286

278

407

1214

Рекомбина-

ции

только

на

втором

участке

480

490

427

485

1882

Рекомбина-

ции

на обо-

их участках

Сумма

2404

2433

2070

2525

9432

252

ГЛАВА

ференциальные

характеристики, заданные выражениями (10.17),

равны

-^=+67,0777,

^-=-56,1229,

-g.=

+50,2908, -|L=-61,2456,

а коэффициенты, заданные выражениями (10.21), равны

+234,7370, 5

=+21,9096, S

+11,6642.

Тогда корреляционная матрица V

(10.23)

принимает следующий вид:

[

4410,614

-37,003

6176,294

-260,

88,868

-260,878

8302,

Теперь по формуле

(10.22)

можно вычислить %

с тремя степенями

свободы; он равен

12,79.

Хотя это и значимый

результат,

он,

сожалению, составляет лишь небольшую часть суммарного

, равного 54,88. Остающаяся часть у%, равная

42,09,

также

высокозначима. Парсонс предположил, что эта неоднородность,

возможно,

обусловлена некоторым «эффектом положения», при

котором частота рекомбинаций изменяется с изменением генотипа

родительской гетерозиготной особи.

Для нахождения максимально правдоподобных оценок

всех

параметров Фишер и Оуэн использовали несколько иную модель,

которой предполагается, что при повторных выборках только

общая сумма N сохраняется постоянной, а число потомков с раз-

ными

фенотипами, п

, п

и и

, может изменяться. Это

требует

иной

постановки эксперимента и сопряжено с появлением допол-

нительных параметров. В конечном счете этот метод

дает

систему

из

девяти уравнений, которые можно решить итерационным

методом и таким образом получить оценки

всех

параметров.

Применительно

к данным, приведенным в табл. 16, окончательно

получаем

р =

0,666,

g =

0,128,

г =

0,200,

s =

0,0068.

Из

соотношений

(10.11)

находим, что частота рекомбинаций для

sc-cv

составляет 13,45%, а для cv-v —

20,67%.

Очевидно, что

частота двойных рекомбинаций, составляющая около 0,7%,

значительно меньше, чем можно было бы ожидать. Это свиде-

тельствует

о значительной положительной интерференции.

До сих пор при таком

подходе

средние квадратические ошибки

еще не вычисляли, и в этом его большой недостаток для практики.

ГЕНЕТИЧЕСКОЕ СЦЕПЛЕНИЕ

ХРОМОСОМНЫЕ КАРТЫ

253

генетической

точки зрения

(в

отличие

от

математической),

по-видимому, лучше всего возвратиться

первой модели

нахо-

дить максимально правдоподобные оценки путем непосредствен-

ного

их

вычисления. Основные коэффициенты вычисляются

по

формуле (10.15),

информационные функции легко найти обыч-

лым путем, хотя алгебраические выкладки

будут

довольно гро-

моздкими.

Но для преодоления этих технических трудностей,

связанных

оценкой параметров, можно составить соответствую-

щую программу

для

вычислительной машины. Это позволит

биологу сосредоточиться на численных результатах

и их

интер-

лретации,

ему не придется пугаться сложных алгебраических

преобразований,

описанных

учебниках

по

общей математике.

10.4. ПРОСТЫЕ ХРОМОСОМНЫЕ КАРТЫ

Изучив некоторые проблемы, связанные

оценкой общей

частоты рекомбинаций или частоты некоторых видов рекомбина-

ций

(например, рекомбинаций

на

одном участке хромосомы при

отсутствии рекомбинаций на соседнем участке), обратимся теперь

интерпретации этих результатов, исходя

из

линейного распо-

ложения

генов на хромосомной карте (см. разд. 10.1,

также

[7]

гл.

8 и

9). Прежде всего допустим, что рекомбинации на непере-

крывающихся участках хромосомы происходят независимо,

т. е. что интерференция

отсутствует.

Рассмотрим, как

и в

разд.

10.2, три локуса, истинным порядком следования которых яв-

ляется порядок

ABC, и

допустим, что частоты рекомбинаций

между локусами

В, В

С, А

равны соответственно

Ли Уг

и у

Мы уже применяли формулу Троу

(10.4)

Уз

У1

+ Уг —

2у1У2,

(10.24)

однако для удобства приводим

ее

снова.

Чисто математический вывод аддитивной хромосомной карты

можно выполнить следующим образом. Формулу

(10.24)

можно

переписать

виде

(10.25)

Поскольку

это

выражение представляет собой произведение,

то,

логарифмируя, получаем

сумму.

Определим функцию

(у)

следующим образом:

х{у)=-\\п(1~2у).

(10.26)

После

обратного преобразования получаем

у(х)

(1^

)

(10.27)

254

ГЛАВА

Постоянный

множитель —V

в правой части формулы

(10.26)

выбран для

удобства,

чтобы сделать х и у одинаковыми при малой

частоте рекомбинаций. Переходя к функции х, которую можно

рассматривать как расстояние на хромосомной карте, формулу

(10.24)

можно заменить простой суммой:

(10.28)

Обобщение на случай любого числа смежных участков очевидно

осуществляется элементарно.

Обосновать преобразования

(10.26)

(10.27)

можно также

иначе, рассматривая основные биологические данные. При нашем

упрощающем допущении, согласно которому точки обмена рас-

пределены вдоль хромосомы случайным образом (во всяком слу-

чае, если используется некоторая подходящая шкала измерений),

вероятность того, что

между

локусами, удаленными

друг

от

друга

на

расстояние х, находится ровно г таких точек, определяется

законом

Пуассона:

Рг{х) = ^-, /- =

0,1,2,

....

(10.29)

Частота рекомбинаций

между

этими двумя локусами равна веро-

ятности

появления

нечетного

числа точек обмена. Выражение

г=0

приводящее к формуле (10.27), называется формулой Холдейна.

Обычно расстояние

между

локусами измеряется в

морганидах

(по

имени Т. Моргана) или в

сантиморганидах,

обозначаемых сМ.

Расстояние

между

двумя локусами считается равным одной мор-

ганиде, если среднее число точек обмена

между

ними равно еди-

нице.

Хотя описанные здесь результаты, полученные при допущении

об отсутствии интерференции, удобны в качестве первого прибли-

жения,

на практике обычно необходима более реалистичная

модель. При анализе достаточно обширных данных обычно обна-

руживается, что рекомбинации на смежных участках не являются

независимыми;

более того, неслучайность в кроссинговере хромо-

сом можно наблюдать и цитологически. Связь

между

рекомби-

нациями

на смежных участках проще всего измерять частотой

двойного кроссинговера. Пусть частота рекомбинаций одновре-

менно

на участках АВ и ВС равна г/

. Если рекомбинации на уча-

стке АВ не зависят от рекомбинаций на участке ВС, то y

У\Уг-

При наличии положительной интерференции, означаю-

щей,

что появление одной точки обмена препятствует образованию

ГЕНЕТИЧЕСКОЕ СЦЕПЛЕНИЕ

ХРОМОСОМНЫЕ КАРТЫ

25S

другой точки обмена в непосредственной близости от первой,

частота двойного кроссинговера уменьшается, т. е. y

yil/2-

Используя выражение

(10.11)

и учтя, что г/

= s, находим

путем простых вероятностных рассуждений следующее соотно-

шение:

ys = q + r = yi-\-yz —

2yi2.

(10.30)

(определение величин р, q, r и s давалось в разд. 10.3). Введя

обозначение

С = -Ш-

(10.31)

У\У2

(величина С носит название коинциденции), соотношение

(10.30)

можно записать в виде

Уз =

У1

+ У2-2С

У2

(10.32)

Это выражение является обобщением формулы Троу.

Для того чтобы продвинуться дальше, примем соответствую-

щие допущения о коинциденции С. Известно, например, что

у плодовой мушки

Drosophila

коинциденция изменяется от одной

хромосомы к другой и зависит от длины и положения рассматри-

ваемых участков. Удобно несколько конкретизировать наши рас-

суждения следующим образом. Положим в формуле

(10.32)

У (я). У2 = У (dx) = dx и г/

= у (х + dx); другими словами,

будем

рассматривать некоторый участок длиной х и примыкаю-

щий

к нему очень короткий участок длиной dx. После подстановки

этих значений в формулу

(10.32)

получаем

y(x + dx) = y (x) +

dx-2C

(у) у (х) dx,

(10.33)

где С

(у) — краевая

(marginal)

коинциденция

для участка с часто-

той рекомбинации у и примыкающего к нему короткого участка.

В пределе соотношение

(10.33)

принимает вид

1-2уС

(у).

(10.34)

Если функция С

(у) задана, то из формулы

(10.34)

путем

интегрирования можно получить соответствующую отображаю-

щую функцию. Согласно Козамби, вид функции С

(у) устанав-

ливается на основании следующих рассуждений. При достаточна

длинных участках интерференция должна исчезнуть, т. е. С

—*-

при

—>•

, а для очень коротких смежных участков вполне

возможно, что С

—>•

0 при у

—>-

0. Простейшей функцией с такими

свойствами является С

(у) — 2у. В этом частном случае диф-

ференциальное уравнение

(10.34)

принимает вид

256

ГЛАВА

После

интегрирования получаем

(

)

Из

формулы

(10.36)

легко выводится правило сложения

частот

рекомбинаций:

Уз — Y

^з

(^^I + 2а;

) = -— —-г-^ =

(10.37)

Отметим, что это выражение поразительно напоминает правило

сложения скоростей в специальной теории относительности.

Отображающая функция Козамби действительно правильно

описывает законы рекомбинации и

учитывает

явления интерфе-

ренции

у целого ряда организмов, в том числе у плодовой мушки

Drosophila,

душистого

горошка, риса и домовой мыши. Рассмотрим

применение

этой функции на примере данных, полученных М. Уол-

лес в опытах со сбалансированным тригибридным возвратным

скрещиванием

для

трех

локусов

fi Sd, расположенных на пятой

хромосоме домовой мыши (табл. 17). Предполагалось, что в дан-

ных, приведенных в табл. 17, влияние дифференциальной жизне-

Таблица

Анализ

на

сцепление

трех

локусов

a'fiSd

домовой

мыши

методом

тригибридного

возвратного

скрещивания

Наблюдаемое

число

Математиче-

ское ожида-

ние

Отсутствие

рекомбина-

ций

290

п(1—

1/1 —

— У2 +

У12)

Рекомбина-

ции

только

на

первом

участке

127

(У1 —

У12)

Рекомбина-

ции

только

на

втором

участке

110

(г/2—г/12)

Рекомбина-

ции

на обо-

их

участках

«г/12

Сумма

549

способности в основном исключено. В этой таблице приведены

также математические ожидания, причем необходимо иметь в

виду,

что г/

можно выразить через у^ и у

, если принимается правило

Козамби.

Действительно, используя соотношения

(10.30)

и (10.37),

все математические ожидания можно выразить как функции

двух

параметров г/

и г/

- Методом максимального правдоподобия нахо-

ГЕНЕТИЧЕСКОЕ

СЦЕПЛЕНИЕ

И ХРОМОСОМНЫЕ?КАРТЫ 257

дятся следующие оценки: г/

= (26,8 ± 1,9)% для

а*—fi

и у

(23,8 ± 1,8)% для

/i—Sd;

соответствующие расстояния на

хромосомной карте равны 29,9 и 25,8 сМ. Так как мы имеем три

степени свободы, одна степень свободы используется для проверки

согласия. Такая проверка дала вполне удовлетворительное зна-

чение критерия %

, равное 2,79.

Отображающая функция Козамби вполне пригодна для

неко-

торого ограниченного класса ситуаций, однако она носит слишком

эмпирический

характер и не может быть полезной в общем случае.

Например,

она предполагает наличие определенной фиксирован-

ной

величины интерференции и может быть справедлр1ва только

для определенных участков хромосомы. Кроме того, она не учи-

тывает роли расстояния относительно центромеры. И наконец,

эта функция вообще не учитывает множественных рекомбинаций

на

длинных участках хромосомы. Очевидно, что необходимо

найти

какой-то другой, более общий подход, для чего нужно рас-

смотреть весь процесс обмена с самого начала. Об этом и пойдет

речь в следующем разделе.

10.5.

МЕТРИКИ

ИНТЕРФЕРЕНЦИИ

В конце разд. 10.1 указывалось, что при рассмотрении харак-

тера рекомбинаций при наличии интерференции целесообразнее

использовать модель четырех нитей, согласно которой каждая

гомологичная хромосома состоит из

двух

одинаковых хроматид,

связанных лишь в одном определенном локусе при помощи центро-

меры. В кроссинговере

участвуют

все четыре хроматиды; считает-

ся,

что этот процесс начинается из центромеры и распространяет-

ся

к свободным концам хроматид. Полностью описать весь этот

случайный процесс чрезвычайно трудно, поскольку нужно

учесть

существование четырех отдельных хроматид и нескольких различ-

ных типов интерференции. В первом приближении большинства

этих трудностей можно избежать, ограничившись рассмотрением

процесса, происходящего вдоль одной хроматиды, или нити.

Мы

сосредоточим внимание на точках, в которых происходит

обмен генетического материала, и попытаемся найти такое рас-

пределение вероятностей для величины интервалов

между

после-

довательными точками обмена, которое удовлетворительно описы-

вало бы различные возможные эффекты интерференции. Будем

считать, что нити, расположенные по разные стороны от центро-

меры, независимы, хотя и имеются данные о том, что иногда

происходит интерференция и через центромеру.

Итак,

допустим, что рассматриваемая нить представляет собой

полу

бесконечный

континуум точек, которые можно нанести на

полубесконечную прямую с началом в центромере ([7], гл. 11).

Таким

образом, любой точке нити соответствует определенная

258

ГЛАВА

тбчка

на

прямой, расстояние которой

t от

начала отсчета изме-

ряется

некоторой удобной

метрике.

Эту

метрику мы

будем

искать.

Предположим, что точки обмена образуются вдоль нити

последовательно. Начнем

центромеры. Пусть

все

интервалы

между

последовательными точками обмена при измерении

мет-

рике

представляют собой независимые случайные величины

с одинаковыми распределениями

f(u)du.

(10.38)

Соответствующие функции распределения имеют

вид

F(u)=^f(v)dv.

(10.39)

Нетрудно видеть,

что

такой

подход

приводит

известному

процессу восстановления. Поэтому

помощью теории восстанов-

ления

можно непосредственно получить целый ряд результатов.

сожалению,

нас

мало интересуют общие теоремы,

так как

мы пытаемся определить конкретные результаты

для

модели,

описывающей наблюдаемый характер рекомбинаций. Кроме того,

чтобы модель была более достоверной,

нее необходимо внести

некоторые изменения,

что

значительно затруднит применение

стандартной теории восстановления. Поэтому часто целесообраз-

но

начинать исследование

самого начала. Однако, прибегнув

аналогии

теорией восстановления, некоторую предваритель-

ную информацию можно

все же

получить путем следующих

рассуждений.

Пусть вероятность появления

точек обмена (исключая цент-

ромеру)

интервале (0,

равна

(t)

производящей функцией

вероятностей

Р (z, t)

= 2

Рп (t)

(10.40)

n=0

На

данном этапе удобнее воспользоваться преобразованием Лап-

ласа, которое для произвольной функции ф (t) определяется

следу-

ющим образом:

Ф*

(s)

К е-

ф (0 dt, Re(s)>0.

(10.41)

В теории восстановления

существует

стандартный

результат,

согласно которому преобразование P*(z.

функции

(z,

можно

выразить через преобразование /* (s) функции

(t) следующим

образом:

ГЕНЕТИЧЕСКОЕ

СЦЕПЛЕНИЕ

И ХРОМОСОМНЫЕ КАРТЫ 259

В данном

случае

расстояние

на

хромосомной карте

х (t)

равно

среднему числу точек обмена

интервале

(0, t).

Следовательно,

преобразование

х* (s)

функции

x(t)

равно

[dP*/dz]

i, т.е.

Частота рекомбинаций в интервале (0, t) равна

со

п=0

а преобразованием функции у* (s) является выражение

т.

е.

В частном случае, когда интерференция

отсутствует,

точки

обмена распределены случайным образом и можно принять,

что / (и) = е~

; преобразование этой функции имеет вид /* (s) =

(s + 1)"

. Подставляя это соотношение в формулу (10.43),

получаем х* (s) = s~

, т. е. х = t. Таким образом, в данном слу-

чае эта специальная метрика совпадает с расстоянием на хромо-

сомной

карте. Затем, подставляя значение /* (s) в формулу (10.44),

получаем у* (s) = s"

(s + 2)~\ откуда путем обратного преобра-

зования

находим

у (t) = -^(1 — e~

) или у (х) =

(i —

е~

%х

как

в полученной ранее формуле (10.27).

Разумеется, больший интерес представляют функции / (и)

более общего вида, особенно функция, предложенная Оуэном

(см.

другую

книгу автора [7], разд. 12.2):

f(u)

4ue-

(10.45)

Эта функция по

существу

является нормированным распределе-

нием

с четырьмя степенями свободы, у которого математиче-

ское ожидание равно единице, т. е. случайная величина и рас-

пределена как

т %\.

Преобразование функции

(10.45)

имеет вид

/*(s) = 4(s + 2)"

(10.46)

Подставляя значения /* (s) в формулы

(10.43)

и (10.44), после

обратного преобразования получаем

*(0=-4

+ ' +

' (Ю.47)

260

ГЛАВА

t).

(10.48)

При

—>•

оо имеем у (t)

—>•

j, но интересно, что при конечном t

возникает ряд

затухающих

колебаний. Легко убедиться в том,

что первое стационарное значение появляется в точке t = -~- л,

когда частота рекомбинаций составляет около 52,2% и расстояние

на

хромосомной карте равно 133 сМ. Особый интерес представ-

ляет возможность появления в данной модели частоты рекомби-

наций,

превышающей 50%. Такие значения иногда наблюдаются,

хотя и не всегда легко определить, обусловлены ли они интер-

ференцией

рассматриваемого типа или же некоторыми другими

эффектами.

Рассмотренный

здесь вывод можно распространить и на более

общий

случай, когда интервал (t

) не начинается в центромере;

правда, описание при этом значительно усложняется. В этом

случае

при использовании модели Оуэна возможно появление

несколько

более высокой частоты рекомбинаций — до 53,3%.

Для простоты изложения мы рассматривали теоретически

бесконечные хромосомные нити. Поэтому необходимо внести

определенную коррекцию с

учетом

того, что нити имеют конечную

длину. Выполнить это можно различными способами. Пусть,

например,

нить имеет длину Т. Тогда можно использовать рас-

смотренную выше модель бесконечной нити и просто считать, что

значение

имеют лишь события, происходящие в интервале (0, Т),

а события в интервале (Т, оо) несущественны. Другой способ

основан

на следующих соображениях. Имеются некоторые основа-

ния

полагать, что должна существовать по крайней мере одна

точка обмена на пару хромосом; поэтому есть смысл рассматривать

для данной нити вероятностную ситуацию, обусловливаемую этим

событием. Однако наличие хотя бы одной точки обмена на пару

хромосом (содержащую четыре хроматиды) — не то же самое,

что наличие хотя бы одной точки обмена в любой данной хрома-

тиде, поэтому при таком

подходе

нужно учитывать совместную

конфигурацию

всех

четырех хроматид, что весьма сложно. Другой

метод, предложенный Оуэном, состоит в том, что рассматривается

распределение событий в интервале (0, Т) при условии, что в интер-

вале (Г, оо) точки обмена

отсутствуют.

С математической точки

зрения

такой прием, вообще говоря, приемлем, но вряд ли он

будет

привлекателен для биолога, не имеющего глубокой мате-

матической подготовки. Интересно, что в такой модели частота

рекомбинаций

может достигать 60%.