Бейли Н. Математика в биологии и медицине

Подождите немного. Документ загружается.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МЕТОДЫ

МЕДИЦИНСКОЙ

ДИАГНОСТИКИ 271

другая

часть — нет, и убедиться в том, что правила, специально-

разработанные для первоначальных групп, по-прежнему прием-

лемы. Тщательные исследования методами математической стати-

стики

требовали бы именно такого подхода. Однако Крукс, Мёр-

рей и Уэйн пошли по более трудному пути. Они отобрали 118 слу-

чаев, в каждом из которых врачи испытывали затруднения при

постановке диагноза. Тех больных, относительно которых у вра-

чей никаких сомнений не возникало, исследователи не учитыва-

ли,

а сконцентрировали все внимание на сомнительных

случаях^

которых окончательный диагноз был установлен только после

продолжительных наблюдений и после

учета

результатов лечения.

В 51

случае

врачи в конце концов пришли к выводу, что имеют

дело с тиреотоксикозом. В 88% этих случаев число очков состав-

ляло не менее +20, а в остальных 12% случаев оно лежало в об-

ласти сомнительных значений

между

+11 и +19. Из остальных

67 больных, у которых тиреотоксикоз был врачами исключен,

88% получили число очков +10 и менее, около 10,5% — число

очков,

лежащее в области сомнительных значений от +11 до +19,

лишь один случай

(1,5%)

ошибочно попал в область, характер-

ную для тиреотоксикоза. С аналогичной точностью (около 85%)

диагноз был установлен при оценке состояния 171 больного и

четырех

других

медицинских учреждениях.

Особенно важно, что такой простой математический метод поз-

волил точно отделить больных, страдающих тиреотоксикозом,

от

других

больных именно в тех

случаях,

когда клиническая оцен-

ка

заболевания была сопряжена с трудностями. Очевидно, что

тех

случаях,

когда врач может быстро и легко принять пра-

вильное решение сам, применять вычислительные методы ни к че-

му. Но если этот метод может помочь специалисту прийти к опре-

деленному выводу в тех

случаях,

когда сам он затрудняется в по-

становке диагноза, то это может иметь большое практическое

значение.

Описанный

здесь численный метод можно сделать несколько

более точным, проведя полный статистический анализ с использо-

ванием

дискриминантной функции. Насколько известно автору,

такая

работа выполнялась на материале тиреотоксикоза, однако'

моменту написания книги результаты еще не были опублико-

ваны.

Следует

ожидать, что они окажутся примерно теми же, но

точность их

будет

выше. Поскольку метод дискриминантных функ-

ций

трудно поддается обобщению, мы не

будем

останавливаться

здесь на его математических деталях, а в следующем разделе пока-

жем, чего можно достигнуть, не обращаясь к таким высоким

материям.

272

ГЛАВА

11.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ДИАГНОЗ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ

ВЫБОРА

МЕЖДУ

НЕСКОЛЬКИМИ

ЗАБОЛЕВАНИЯМИ

Часто врач должен произвести выбор

между

несколькими воз-

можными

диагнозами. В этом

случае

разработать удовлетворитель-

ную эмпирическую систему подсчета очков, аналогичную описан-

ной

в предыдущем разделе, крайне трудно. Кроме того,

отсутст-

вие четко сформулированной исходной математической модели

сильно

осложняет интерпретацию и оценку результатов. Разумеет-

ся,

можно было бы попытаться использовать метод дискриминант-

ных функций, о котором говорилось в предыдущем разделе, но

при

этом в свою очередь возникает ряд новых проблем. Прежде

всего при классическом

подходе

к делению больных на две группы

предполагается, что корреляционные матрицы отмеченных сим-

птомов в каждой группе одинаковы и что распределения являются

многомерными нормальными. Первое допущение не имеет суще-

ственного значения, однако позволяет упростить математические

выкладки.

Вполне можно рассмотреть более общий случай, когда

корреляционные

матрицы неодинаковы, но он почти наверняка

потребует большого объема вычислений на ЭВМ. Допущение

многомерном нормальном распределении также вряд ли прием-

лемо в общем случае. Еще более серьезные затруднения возни-

кают при обобщении метода дискриминантных функций на слу-

чай нескольких групп (если их нельзя расположить в определен-

ном

однозначном линейном порядке и если не выполняются допу-

щения

о многомерном нормальном распределении и равенстве

корреляционных

матриц). Можно было бы использовать обобщен-

ный

показатель расстояния Махаланобиса, однако и в этом слу-

чае возникает много затруднений в применении теории и интерпре-

тации

получаемых результатов.

Однако

существует

целый ряд статистических методов, кото-

рые стоило бы испробовать. Масуяма [44] перечисляет И мето-

дов, но из них только три-четыре существенно отличаются

друг

от

друга.

По мнению автора, один-два метода обладают значитель-

ными

преимуществами. Одним из них является анализ вероятно-

стей появления отдельных симптомов при определенных заболева-

ниях,

позволяющий вычислить вероятность того, что данный боль-

ной

страдает определенным заболеванием, относящимся к рассмат-

риваемой группе (см., например, [39]). По

существу

это так назы-

ваемый бейесовский

подход

(по названию одного правила теории

вероятностей, носящего имя Томаса Бейеса). Поскольку основные

идеи выражаются через простые вероятности, не представ-

ляет

труда

описать исходную математическую модель и понять

смысл практических результатов. Рассмотрим этот метод более

детально.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МЕТОДЫ

МЕДИЦИНСКОЙ

ДИАГНОСТИКИ 273

Допустим, что рассматривается ограниченная группа d раз-

личных заболеваний (D

, . . ., D

) и что каждый больной стра-

дает

только одним из них (т. е. из этого упрощенного описания

исключается более сложный случай сочетания нескольких забо-

леваний).

Допустим также, что имеется список s признаков, сим-

птомов или результатов лабораторных анализов (на основе которых

обычно получают необходимую информацию), обозначаемых

S^ S

, . . ., S

. Часто бывает удобно рассматривать всю сово-

купность признаков, симптомов и т. д.; для этой цели использует-

ся

символ S без индекса. Пока мы

будем

считать, что все сим-

птомы дискретны, т. е. каждый из них относится к одному из

двух

или

нескольких конкретных классов (например, «наличие» и «от-

сутствие»

признака в

случае

простой дихотомии).

Допустим далее, что за прошлые годы накоплен обширный

материал по всем этим заболеваниям, и поэтому для любого дан-

ного заболевания D

- можно задать вероятность Р (S | D

;

) наблю-

дения

определенного симптомокомплекса S. Если этот материал

достаточно представителен, то можно также определить вероят-

ность Р (Dj) того, что больной, выбранный случайным образом,

страдает заболеванием D/, эта вероятность, определяемая еще до

того, как

будет

принято во внимание клиническое состояние дан-

ного больного, является

априорной

вероятностью

наличия забо-

левания

Dj. Хотя врач, производящий обследование больного,

может и не пользоваться этими статистическими категориями

при

обдумывании возможного диагноза, он скорее предположит

какое-нибудь распространенное заболевание, чем заболевание,

встречающееся крайне редко.

Далее врач сообщает информацию о симптомах, наблюдаемых

у данного больного. Вполне возможно, что предварительный диаг-

ноз

будет

поставлен довольно быстро, но при этом врач нередко

будет

иметь в виду и

другие

возможности. В конце концов насту-

пает момент, когда накоплено достаточное (во всяком случае,

на

данный момент) количество существенной информации. Эти

данные характеризуют определенный симптомокомплекс S. Для

того чтобы немедленно начать лечение и, возможно, назначить

специальные дополнительные проверки, необходимо поставить

предварительный диагноз. Выражаясь математическим языком,

врачу нужно знать вероятность каждого заболевания при

данном

симптомокомплексе,

т. е. Р (Dj | S). Это по

существу

просто чис-

ленный

способ описания того, что происходит в каждодневной

клинической

практике. Если заболевание D

диагностируется

с большой уверенностью, то вероятность Р (Di | S)

будет

отно-

сительно велика, а все остальные вероятности

будут

значительно

меньше (возможно, в 10 или 100 раз). Если же два заболевания

(

ж Dj кажутся почти одинаково возможными, а все остальные

274

ГЛАВА

исключаются, то каждая из вероятностей

и Р

будет

равна примерно 0,5,

все остальные вероятности

будут

близки

нулю и т. д. Обычно уверенность врача

правильности

поставленного им диагноза покоится на его общем опыте и субъек-

тивном мнении. Но последние должны всегда основываться

ко-

нечном

счете на накопленных ранее знаниях или клинических

данных (наблюдавшихся им лично или другими врачами и опубли-

кованных

медицинских журналах

руководствах),

также

на

данных, полученных

результате

обследования больного.

Известно,

что

апостериорная

вероятность

(Dj

S) пропор-

циональна

произведению априорной вероятности

(Dj) на функ-

цию

правдоподобия

Dj), т.

е.

i>(D,|S)~i>(D;)/>(S|D,).

(11.1)

Так

как сумма

всех

апостериорных вероятностей для различных

заболеваний должна быть равна единице, более точно выражение

(11.1)

можно записать

виде

,•)

Р (S I D

,•)

P(Dj\S)=-~^

LJL, / = 1,2, ...,

(11.2)

2 jj

3=1

По

существу

это формула Бейеса, позволяющая вычислить

вероятность справедливости некоторой гипотезы на основании ее

априорной

вероятности

некоторых эмш!рических данных. Этот

метод

строгом смысле оправдан, только если альтернативные ги-

потезы (в данном

случае

заболевания) имеют априорные вероят-

ности.

Однако всегда имеется возможность выбрать модель стати-

стического вывода (см. разд. 3.3),

которой априорные вероят-

ности

существуют

и задаются соответствующими правилами

даже

при

полном отсутствии информации.

В принципе апостериорную вероятность любого заболевания

вычислить совсем нетрудно, так как на основе имеющегося мате-

риала можно вычислить как

(Dj), так и

D^). Однако

ве-

личине

Dj) необходимо относиться

известной осторожно-

стью, так как

даже

при наличии обширного материала он может

содержать мало данных о частоте появления определенного симпто-

мокомплекса

Так, если имеется

различных симптомов и все

они

являются дихотомическими, то число различных симптомоком-

плексов

будет

равно 2". При

s =

20 это число столь велико

(>10

что применение данного способа оказывается невозмож-

ным.

Поэтому обычно необходимы некоторые упрощающие пред-

положения.

Чаще всего принимается допущение о том, что отдель-

ные

симптомы имеют независимые распределения. Это допущение

не

настолько серьезно, как могло бы показаться. Так, ван Верком

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МЕТОДЫ

МЕДИЦИНСКОЙ

ДИАГНОСТИКИ 275

Бродмен [65] пришли к заключению, что в их материале

отсут-

ствует

сколько-нибудь значительная корреляция

между

различ-

ными

симптомами. Неопубликованные работы, выполненные авто-

ром совместно с Дж. Андерсоном, подтверждают эту точку зре-

ния,

но, конечно, необходимо исследовать этот вопрос более тща-

тельно.

Если

считать, что s симптомов статистически независимы,

то можно записать соотношение

^(S|D,)=[[i>(S«|D,),

7 = 1, 2 d

(11.3)

на основе имеющегося материала с достаточно высокой точно-

стью вычислить вероятности Р (S

;

| D^).

Хотя для простоты мы ввели предположение о дискретности

симптомов,

это ограничение можно легко ослабить и распростра-

нить

наш метод на непрерывные величины. Конечно, для описа-

ния

непрерывных переменных можно было бы задать некоторую

«нормальную»

область значений этих величин, а все значения,

лежащие за пределами этой области, считаются «аномальными».

Тогда мы имели бы простую дихотомию типа «наличие» и

«отсут-

ствие»

признака. Однако при этом теряется большой объем ста-

тистической информации, и по возможности нужно использовать

непрерывное распределение. Допустим, что к-й симптом является

непрерывным

с плотностью распределения f

(x) для /-го заболе-

вания.

Это означает, что вероятность наблюдения величины, лежа-

щей

в интервале (х, x + dx), равна fkj (x) dx. При подстановке

этого выражения в выражение

(11.3)

в формуле для Р (S | D^)

появляется

сомножитель dx. Этот сомножитель появляется также

числителе и в каждом члене знаменателя правой части выраже-

ния

(11.2), а поэтому он сокращается и не вызывает никаких

осложнений.

Таким образом, переход к непрерывным случайным

величинам связан лишь с заменой дискретной вероятности соот-

ветствующей непрерывной плотностью распределения, вычислен-

ной

для рассматриваемой величины.

Конечно,

приведенное выше вероятностное описание процесса

постановки

диагноза крайне упрощенно и в некоторых отноше-

ниях,

возможно,

даже

несколько наивно. Тем не менее, как мы

вскоре увидим, в ряде частных случаев оно оказывается плодотвор-

ным.

Рассмотрим теперь одно из наиболее серьезных возражений

против этого метода. Дело в том, что врач, сталкиваясь с реальным

больным, часто может поставить диагноз на основе самых незначи-

тельных симптомов, заметных лишь опытному наблюдателю,

не

вдаваясь в анализ механизма развития этих симптомов. В то же

время при вычислении вероятностей, которое возможно лишь

на

основе тщательно зарегистрированных данных, теряется мно-

276

ГЛАВА

roe из того, что

могут

дать непосредственные наблюдения. По пово-

ду этого возражения необходимо сделать два замечания. Во-пер-

вых, при определенных условиях с помощью математической оцен-

ки

можно получить такие же (если не лучшие) результаты, к ка-

ким

врач приходит сам, и, следовательно, при такой оценке учи-

тывается практически все, что имеет диагностическое значение.

Во-вторых, если «вычисленные» диагнозы (т. е. диагнозы, постав-

ленные на основании вычисления вероятностей) оказываются

менее точными, то это означает, что либо имеется какой-то недо-

чет в самом математическом методе, либо объем обрабатываемой

информации

значительно меньше, чем при постановке диагноза

врачом. В обоих случаях выявление и устранение недочетов

даст

возможность получить новые знания о процессе постановки диаг-

ноза

и, вполне возможно, разработать значительно лучший вычис-

лительный метод.

Одним из самых первых и наиболее интересных приложений

описанного

здесь метода была работа Уорнера, Торонто, Визи

Стефенсона [63], посвященная врожденным порокам сердца.

Авторы

пользовались перечнем 33 заболеваний и 50 различных

дискретных симптомов. Таким образом, исходная матрица «симп-

томы — заболевания» содержала 1650 элементов. Ясно, что

вычисление данных для каждого нового больного с помощью урав-

нений

(11.2)

(11.3)

требует

большого объема хотя и элементар-

ных, но утомительных и поглощающих много времени арифмети-

ческих вычислений. Поэтому для этой цели крайне желательно

даже

необходимо применять электронную вычислительную маши-

ну. В связи с этим возникает важный вопрос использования

будущем

вычислительных машин для решения этих задач.

Поскольку

число поддающихся наблюдению симптомов, и особенно

объем лабораторных тестов, непрерывно увеличивается, вскоре

может наступить такой момент, когда

даже

опытный врач не смо-

жет воспользоваться всей той информацией, которую он

будет

иметь в своем распоряжении. Таким образом, мы сталкиваемся

с парадоксальной ситуацией — потенциально у нас есть возмож-

ность получить значительно более точные результаты, но на самом

деле

использовать ее мы не можем и

даже

оказываемся в

худшем

положении

именно из-за наличия очень большого количества дан-

ных (аналогичная ситуация была описана в разд. 4.2). Примене-

ние

вычислительной техники для хранения и обработки исходных

данных, а также для вычисления вероятностей приобретает в этой

ситуации кардинальнейшее значение.

По

данным Уорнера и др. [63], использование вероятностного

метода оказалось весьма успешным. Правильность предположи-

тельных диагнозов, поставленных, с одной стороны, врачами-

кардиологами, а с

другой

— с помощью вычислительной машины,

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МЕТОДЫ

МЕДИЦИНСКОЙ

ДИАГНОСТИКИ

277

проверялась затем

по

данным катетеризации сердца

или

хирурги-

ческого вмешательства.

При

анализе

случаев оказалось,

что

вычисленный

наиболее вероятный диагноз совпадает

истинным

диагнозом

не

реже,

чем

заключения, сделанные

на

основе

тех же

клинических

данных тремя опытными врачами-кардиологами.

Эти

поразительные результаты убедительно подтвердили возможно-

сти математики

вычислительной техники при правильном выборе

области

их

приложения.

сожалению, Уорнер

и его

коллеги

не

подвергли результаты

сравнения

клинических

вычисленных диагнозов тщательному

статистическому анализу. Позже Густафсон

др. (см. [20])

выпол-

нили

вполне аналогичную работу

на

группе

из

больных

врож-

денными

пороками сердца.

этой работе использовался значи-

тельно измененный вариант первоначальной программы

для

вычис-

лительной машины.

Авторы

приводят сравнительные цифры,

характеризующие правильность диагнозов, поставленных вычис-

лительной машиной

разными врачами

на

основании перечня

симптомов,

наблюдавшихся

каждого больного. Шести врачам

—

двум

педиатрам-кардиологам,

двум

терапевтам-кардиологам,

педиатру

врачу-хирургу

(специалисту

по

сердечно-сосудистой

хирургии)

—

предложили составить список

всех

возможных

диа-

гнозов

порядке убывания вероятностей,

программа

для

вычис-

лительной машины была составлена таким образом, чтобы

на

пе-

чать выдавались четыре наиболее вероятных диагноза

(в том же

порядке).

Полученные результаты, приведенные

табл.

20,

доста-

Таблица

Сравнение

правильности диагнозов, поставленных

вычислительной машиной и разными врачами

Вычислительная машина

Педиатры-кардио-

Г 1

логи \ 2

Другие

врачи

Относительное число случаев,

правиль-

ный

ди-

агноз

стоит

списке

первым

правиль-

ный

ди-

агноз

стоит

списке

вторым

правильный

диагноз

упо-

мянут

чис-

ле возмож-

ных

правиль-

ный

ди-

агноз

во-

обще

не

упомянут

Среднее

число

очков

2,39

2,16

2,39

1,75

1,96

1,57

1,48

278

ГЛАВА

точно наглядны. Так, диагноз, выбранный вычислительной маши-

ной

в качестве наиболее вероятного, был правильным в 63% слу-

чаев, диагноз, выбранный вторым, оказался правильным в 16%

случаев, и в 18% случаев правильный диагноз упоминался в чис-

ле возможных. Только в 3% случаев правильный диагноз вообще

не

был упомянут. Каждому врачу и машине ставили по три очка

за правильный диагноз, выбранный первым, по два — за пра-

вильный

диагноз, выбранный вторым, и по одному — за упомина-

ние

правильного диагноза.

Хотя можно считать, что в данном

случае

применение вычис-

лительной машины оказалось довольно успешным, авторы под-

черкивают, что опытный педиатр-кардиолог, работающий на своем

собственном материале, поставил бы правильный диагноз в 90%

случаев. Но при этом

следует

учесть, что он располагал бы таки-

ми

материалами, как электрокардиограммы и рентгеновские сним-

ки,

которые не были включены в перечень симптомов, так что ни

вычислительная машина, ни шесть врачей не могли ими восполь-

зоваться.

Авторы

отмечают также, что, хотя специалисты, при-

нимавшие

участие в эксперименте, и смогли обработать всю полу-

ченную ими информацию, менее опытные врачи не справились бы

с этой задачей. На основании этих результатов делается вывод,

что

даже

при современном состоянии вопроса математический

метод позволяет извлечь из количественных записей столько же

(если не больше) информации, сколько ее извлекает самый опыт-

ный

врач. В то же время в некоторых случаях врачи имеют то

преимущество, что они

могут

использовать материал, который

пока

еще трудно ввести в вычислительную машину. Очевидно,

необходимо приложить все усилия к

тому,

чтобы найти способы

введения в машину этих дополнительных данных.

Очень близкие результаты (главным образом в области кардио-

логии) были получены несколькими другими исследователями

различных странах (см., например, работу К. Такахаши и др.

[60] и статью А. А. Вишневского, И. И. Артоболевского и

М. Л. Быковского

[68];)

все они использовали упоминавшийся

нами

ранее бейесовский

подход

или какой-либо аналогичный ста-

тистический метод. Мы не собираемся

обсуждать

здесь достоин-

ства и недостатки различных методов, хотя в начале этого раздела

были высказаны некоторые замечания по этому поводу и в

разд. 11.5

будет

рассмотрен

другой

подход.

Определенные успехи достигнуты также в области идентифи-

кации

бактерий, выделяемых из исследуемого материала, где ис-

пользуются по

существу

те же принципы (см. [51]). Так, из суще-

ствующих данных можно установить частоту обнаружения опре-

деленных стандартных признаков у самых разнообразных бакте-

рий.

При появлении новой неопознанной культуры производится

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МЕТОДЫ

МЕДИЦИНСКОЙ

ДИАГНОСТИКИ 279

ряд исследований и осуществляется предварительная идентифи-

кация.

Если предварительные данные оказываются недостаточно

надежными, производятся дополнительные опыты до тех пор, пока

не

будет

получено приемлемое заключение. В современной микро-

биологической практике этот процесс обычно основывается на

субъективном суждении и личном опыте, и опытный микробио-

лог может довольно быстро получить правильные результаты.

Однако

существуют

более сложные ситуации, когда результаты

лабораторных тестов сильно варьируют. В этих случаях может

оказаться целесообразным ставить вероятностный диагноз на осно-

ве какой-то ориентировочной группы тестов. Если удовлетвори-

тельная дифференциация не достигается, то можно подобрать

более действенную группу тестов для дальнейшего исследования

материала. Эти идеи столь же важны и в области диагностики, где

обычно желательно свести к минимуму объем исследований, тре-

буемых

для принятия решения (особенно если некоторые тесты

болезненны

или

даже

опасны).

11.4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕБОЛЬШИХ ВЫБОРОК

Во многих случаях альтернативные симптомокомплексы весь-

ма специфичны, и хороший врач может поставить диагноз без боль-

шого

труда

и, более того, довольно быстро. В этих случаях такие

сложные средства, как вычислительные машины и вероятностные

модели диагностического процесса, практически не нужны, разве

что для выполнения научных исследований и обучения. Другими

словами, мозг врача, на основе интуиции производящий с достаточ-

ной

точностью (и не требуя больших затрат) необходимые вычис-

ления,

оказывается здесь самой лучшей машиной. Однако сущест-

вуют

и более трудные ситуации. В предыдущем разделе мы уже

указывали на сложности, связанные с непрерывным увеличением

числа наблюдаемых симптомов и с появлением все более разнооб-

разных методов медицинского обследования. В конце концов

само обилие данных вынудит врачей обратиться к автоматическим

методам их обработки и интерпретации.

Другая трудность заключается в том, что некоторые заболева-

ния

встречались или описывались в прошлом не очень часто, и

при

появлении нового случая диагноз приходится ставить, исходя

из

чисто субъективных соображений, поскольку имеющиеся дан-

ные

крайне недостоверны. Так, изучая материалы по мегалобла-

стической анемии (любезно предоставленные

проф.

Лесли Уит-

тсом из Радклиффской больницы в Оксфорде), автор и его коллега

Дж. Андерсон обнаружили 92 документально описанных случая,

на

которых можно основываться при постановке диагноза у новых

280

ГЛАВА

больных. Всего

существует

основных форм этого заболевания,

однако

две из

них

не

были представлены вообще,

четыре дру-

гие

—

всего одним случаем каждая.

только данные

по

осталь-

ным

шести формам можно было считать пригодными

для

поста-

новки

диагноза математическими методами. Самая малочисленная

из

групп, соответствующих этим формам, содержала всего

два

случая,

самая многочисленная насчитывала пять случаев.

Конечно,

на практике врач при постановке диагноза новому боль-

ному черпает данные

других

случаях

из

журналов

книг.

Но

если

он

самостоятельно разрабатывает новые тесты

или

имеет

основания

выбрать несколько

другую

систему классификации,

то ему приходится полагаться только

на

собственный опыт, кото-

рый неизбежно

будет

ограниченным. Поэтому крайне важно

научиться извлекать максимальное количество информации из мало-

численных данных, тем более что они

могут

иметь очень большое

значение

научной точки зрения.

Но

если имеющиеся выборки

данных малы,

статистическая изменчивость значительна,

то

обычно получение правильных выводов сопряжено

известными

трудностями. Именно здесь вероятностный метод может оказаться

крайне

полезным (см. [10]).

В предыдущем разделе мы предполагали, что данные за прош-

лое время весьма обширны,

поэтому вполне можно допустить,

что вероятности

(Dj)

и Р (S |

Dj) известны

высокой точностью.

В этом

случае

можно использовать формулу (11.1). Но если имею-

щийся

материал

не

очень велик,

возможно, совсем скуден,

то

необходимо действовать более осторожно. Прежде всего обозна-

чим

его

символом

Теперь

(Dj) есть априорная вероятность

того,

что

случайно выбранный больной страдает заболеванием

D^,

определенная

до

того,

как

будет

принята

во

внимание какая-

либо конкретная информация, содержащаяся

исходном материа-

ле. Нужно найти вероятность

Р (Dj |

R) того, что некоторый слу-

чайным образом выбранный больной страдает заболеванием D^,

при

условии,

что

информация, содержащаяся

исходном материа-

ле, известна, но симптомокомплекс еще не определен. После этого

требуется вычислить вероятность

Р (S | Dj,

R) появления симпто-

мокомплекса

S при

условии,

что

имеет место данное заболевание

известна информация, содержащаяся

исходных данных.

Теперь для определения апостериорной вероятности

Р (Dj | S, R)

того, что больной страдает заболеванием Dj, можно использовать

формулу Бейеса

P(Dj\S,R)~P(Dj\R)P(S\Dj,R).

(11.4)

Это выражение является обобщением соответствующей формулы

(11.1). Более точно,

мы

должны получить формулу