Бедельбаева Г.Е. Учебное пособие по курсу общей физики

Основные формулы

 Обобщенная формула Бальмера, описывающая серии в спектре водорода,

,

n

1

m

1

R

22















где



частота спектральных линий в спектре атома водорода;

R

постоянная

Ридберга;

m

определяет серию

 

;,...3,2,1m 

n

определяет отдельные линии

соответствующей серии

 

1m:,...2m,1mn 

(серия Лаймана),

2m 

(серия

Бальмера),

3m 

(серия Пашена),

4m 

(серия Брэкета),

5m 

(серия Пфунда),

6m 

(серия Хэмфри).

 Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний)

nrm

ne



 

,,...3,2,1n 

где



e

m

масса электрона;



скорость электрона по

n

й орбите радиусом

n

r

.

 Второй постулат Бора (правило частот)

,EEh

mn



где

n

E

и



m

E

соответственно энергии стационарных состояний атома до и

после излучения (поглощения).

 Энергия электрона на

n

й стационарной орбите

2

0

2

4

e

2

n

h8

emZ

n

1

E





 

,,...3,2,1n 

где

Z

порядковый номер элемента в периодической таблице Менделеева;



0

электрическая постоянная.

Семестровые задания

27.1. Определить длину волны, соответствующую границе серии Бальмера.

27.2. Найти период обращения электрона на первой боровской орбите атома

водорода.

27.3. Определить потенциал ионизации атома водорода.

27.4. Определить скорость



, с которой электрон движется по первой

боровской орбите в атоме водорода.

27.5. Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с длиной

волны  =121,5нм. Определить радиус электронной орбиты возбужденного

атома водорода.

27.6. Определить энергию  фотона, испускаемого при переходе электрона в

атоме водорода с третьего энергетического уровня на основной.

27.7. Определить первый потенциал возбуждения атома водорода.

27.8. Энергия ионизации атома водорода Е

i

= 13,6 эВ. Определить второй потен-

циал возбуждения этого атома.

27.9. Определить максимальную и минимальную энергии фотона в

ультрафиолетовой серии спектра атома водорода (серии Лаймана).

83

27.10. Найти коротковолновую границу непрерывного рентгеновского спектра

для случая, когда к рентгеновской трубке приложена разность потенциалов

50 кВ.

27.11. Невозбужденный атом водорода поглощает квант излучения с длиной

волны



= 102,6 нм. Вычислить, пользуясь теорией Бора, радиус r электронной

орбиты возбужденного атома водорода.

27.12. Вычислить по теории Бора радиус

2

r

второй стационарной орбиты и

скорость

2



электрона на этой орбите для атома водорода.

27.13. Вычислить по теории Бора период Т вращения электрона в атоме

водорода, находящегося в возбужденном состоянии, определяемом главным

квантовым числом

n

= 2.

27.14. Определить длину волны, соответствующую третьей спектральной линии

в видимой области спектра атома водорода.

27.15. При переходе электрона в атоме водорода с четвертой стационарной

орбиты на вторую излучаются фотоны с зеленой линии водородного спектра.

Определить длину волны этой линии.

27.16. Найти наименьшую и наибольшую длины волн в ультрафиолетовой

серии водорода.

27.17. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня

на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона.

27.18. В однозарядном ионе гелия электрон перешел с третьего энергетического

уровня на первый. Определить длину волны



излучения, испущенного ионом

гелия.

27.19. Электрон в атоме водорода находится на третьем энергетическом уровне.

Определить кинетическую Т, потенциальную U и полную Е энергию электрона.

Ответ выразить в электрон-вольтах.

27.20. Фотон выбивает из атома водорода, находящегося в основном состоянии,

электрон с кинетической энергией Т =10 эВ. Определить энергию



фотона.

§ 28. КОРПУСКУЛЯРНО—ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ

Гипотеза де Бройля. Дифракция электронов. Соотношение

неопределенностей. Волновые свойства микрочастиц и соотношение

неопределенностей. Волновая функция и ее статистический смысл. Амплитуда

вероятностей.

Основные формулы

 Связь дебройлевской длины волны частицы с импульсом р

.p/h

 Фазовая скорость свободно движущейся со скоростью



частицы массой

m

,/cp/Ek/

2

фаз



84

где

E

энергия частицы (



круговая частота);

 kp 

импульс

 /2k(

волновое число).

 Групповая скорость свободно движущейся частицы

.

dp

dE

dk

d

u 





 Соотношение неопределенностей для координаты и импульса:

,

x

px

,

y

py

,

z

pz

где

 z,y,x

неопределенности координат;



zyx

p,p,p

неопределенности

соответствующих проекций импульса частицы на оси координат.

Для энергии и времени

, tE

где

E

неопределенность энергии данного квантового состояния;

t

время

пребывания системы в данном состоянии.

 Вероятность нахождения частицы в объеме

dV

,dVdV*dW

2



где

 

 t,z,y,x

волновая функция, описывающая состояние частицы;

 *

функция, комплексно сопряженная с



;

 *

2

квадрат модуля волновой

функции является плотностью вероятности нахождения частицы вблизи точки с

координатой х.

Семестровые задания

28.1. Протон обладает кинетической энергией Т = 1кэВ. Определить дополни-

тельную энергию

T

, которую необходимо ему сообщить для того, чтобы

длина волны



де Бройля уменьшилась в три раза.

28.2. Определить длины волн де Бройля





частицы и протона, прошедших

одинаковую ускоряющую разность потенциалов U = 1 кВ.

28.3. Электрон обладает кинетической энергией Т =1,02 МэВ. Во сколько раз

изменится длина волны де Бройля, если кинетическая энергия Т электрона

уменьшится вдвое?

28.4. Кинетическая энергия Т электрона равна удвоенному значению его

энергии покоя. Вычислить длину волны  де Бройля для такого электрона.

28.5. Найти длину волны де Бройля для электронов, прошедших разность

потенциалов 100 В.

28.6. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину



одномерного потенциального ящика, в котором минимальная энергия

электрона

min

E

= =10 эВ.

28.7. Альфа-частица находится в бесконечно глубоком, одномерном,

прямоугольном потенциальном ящике. Используя соотношение

неопределенностей, оценить ширину



ящика, если известно, что

минимальная энергия



-частицы

min

E

= 8 МэВ.

28.8. Используя соотношение неопределенностей, оценить наименьшие ошибки

в определении импульса электрона и протона, если координаты центра масс

этих частиц могут быть установлены с неопределенностью

01,0x

мм.

85

28.9. Определить относительную неопределенность

pp /

импульса

движущейся частицы, если допустить, что неопределенность ее координаты

равна длине волны де Бройля.

28.10. Принимая, что электрон находится внутри атома диаметром d=0,3 нм,

определить неопределенность энергии данного электрона.

§ 29. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА.

Временное уравнение Шредингера. Стационарное уравнение Шредингера.

Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме. Прохождение

частицы через потенциальный барьер.

Основные формулы

 Коэффициент прозрачности

D

прямоугольного потенциального барьера

конечной ширины



 

,EUm2

2

expDD

0













 



где



0

D

множитель, который можно приравнять к единице;

U

высота

потенциального барьера;

E

энергия частицы.

 Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

0)()(

2

22

2

 xUE

m

dx

d





,

где

)(x



- волновая функция, описывающая состояние частицы;

m

- масса

частицы; Е- полная энергия;

)(xUU 

- потенциальная энергия частицы.

 Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокого,

прямоугольного потенциального ящика:

а)

x

l

n

l

x

n





sin

2

)( 

(собственная нормированная волновая функция);

б)

2

22

2

n

ml

E

n







(собственное значение энергии), где

l

– ширина потенциального

ящика,

n

= 1,2,3…

86

Семестровые задания.

29.1. Написать уравнение Шредингера для линейного гармонического

осциллятора. Учесть, что сила, возвращающая частицу в положение

равновесия,

 = - кх (где к – коэффициент пропорциональности, х - смещение).

29.2. Временная часть уравнения Шредингера имеет вид

dt

d

i





. Найти решение

уравнения.

29.3.Написать уравнение Шредингера для свободного электрона, движущегося

в положительном направлении оси Х со скоростью



. Найти решение этого

уравнения.

29.4. Электрон находится в бесконечно глубоком прямоугольном одномерном

потенциальном ящике шириной



. Написать уравнение Шредингера и его

решение ( в тригонометрической форме).

29.5.Электрону в потенциальном ящике шириной



отвечает волновое число

к= =



n



( n = 1,2,3,…). Используя связь энергии Е электрона с волновым

числом к, получить выражения для собственных значений Е

n

.

29.6. Частица находится в потенциальном ящике. Найти отношение разности

соседних энергетических уровней

nn

Е

,1



к энергии частицы Е

n

при n  .

29.7. Электрон находится в потенциальном ящике шириной



= 0,5 нм.

Опередить наименьшую разность  энергетических уровней электрона.

29.8. Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной



.

Определить среднее значение координаты  х  электрона (0  х 



).

29.9. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме

шириной



с бесконечными высокими стенками. Определить вероятность

обнаружения электрона в средней трети ямы, если электрон находится в

возбужденном состоянии (n=2).

29.10. В прямоугольной потенциальной яме шириной



с абсолютно

непроницаемыми стенками (0 < х <



) находится частица в основном

состоянии. Найти вероятность местонахождения этой частицы в области

.//

4

3

4

1

  x

§ 30. КОНДЕНСИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

Элементы структурной кристаллографии. Методы исследования

кристаллических структур. Теплоемкость кристаллической решетки. Фононный

газ. Размерный эффект в теплопроводности кристаллов. Носители тока как

квазичастицы. Энергетические зоны В кристаллах. Уровень Ферми.

Поверхность Ферми. Металлы, диэлектрики и полупроводники в зонной

теории. Понятие дырочной проводимости. Собственная и примесная

87

проводимость. Явление сверхпроводимости. Куперовское спаривание.

Кулоновское отталкивание и фононное притяжение. Эффект Джозефсона.

Квантовые представления о свойствах ферромагнетиков. Обменное

взаимодействие. Температура Кюри. Намагничивание ферромагнетиков.

Основные формулы

 Средняя энергия квантового одномерного осциллятора

 

,

1

/

0





kT

e







где



0

нулевая энергия

 

 2/1

0

;



постоянная Планка;



круговая

частота колебаний осциллятора;

k

постоянная Больцмана;



термодинамическая температура.

 Молярная внутренняя энергия системы, состоящей из невзаимодействующих

квантовых осцилляторов,

),1e/(R3UU

T/

Em0m

E





где

R

молярная газовая постоянная;

 k/

E



характеристическая темпера-

тура Эйнштейна;



Em

RU



2

3

0

молярная нулевая энергия (по Эйнштейну).

 Молярная теплоемкость кристаллического твердого тела в области низких

температур (предельный закон Дебая)

3

234

3

5

3

12





























D

T

R

D

T

R

m

C





 

.T

D



 Теплота, необходимая для нагревания тела,

,

2

1





T

m

dTC

M

m

Q

где

m

масса тела;

M

молярная масса;

1



и



2

начальная и конечная

температуры тела.

 Удельная проводимость собственных полупроводников

 

kT2/exp

0





,

где



ширина запрещенной зоны;



0

константа.

 Сила тока в

 np

переходе

 

 

1/exp

0

 kTeU

,

где



0

предельное значение силы обратного тока;

U

внешнее напряжение,

приложенное к

 np

переходу.

 Внутренняя контактная разность потенциалов

,

e

U

21

FF

12





88

где

1

F



и



2

F

энергия Ферми соответственно для первого и второго металлов;

e

заряд электрона.

Семестровые задания

30.1. Вычислить удельную теплоемкость с кристалла меди по классической

теории теплоемкости.

30.2. Пользуясь классической теорией вычислить удельную теплоемкость

кристалла NaCl.

30.3. Вычислить по классической теории теплоемкости теплоемкость С

кристалла бромида алюминия AlBr

3

объемом V

3

1м

. Плотность



кристалла

бромида алюминия равна 3,0110

3

кг/м

3

.

30.4. Масса кристалла никеля равна 20 г. Вычислить теплоемкость С при

нагревании его от 0

о

С до 200

о

С.

30.5. Вычислить значение средней энергии



классического линейного

гармонического осциллятора при Т = 300 К.

30.6. Найти частоту



колебаний атомов серебра по теории теплоемкости

Эйнштейна, если характеристическая температура Q

E

серебра равна 165 К.

30.7. Во сколько раз изменится средняя энергия



квантового осциллятора,

приходящаяся на одну степень свободы, при повышении температуры от Т

1

= =



E

/2 до Т

2

=



E

? Учесть нулевую энергию.

30.8. Определить отношение



/



т

средней энергии квантового

осциллятора к средней энергии теплового движения молекул идеального газа

при температуре Т =



E.

.

30.9. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, определить

изменение

m

U

молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его

на

К2Т 

от температуры Т =



E

/2.

30.10. Пользуясь теорией теплоемкости Эйнштейна, определить изменение

m

U

молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до T

1

= =0,1

Е





.Характеристическая температура данного кристалла равна 300 К.

§ 31. АТОМ И МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

Уравнение Шредингера для атома водорода. Водородоподобные атомы.

Энергетические уровни. Ширина уровней в сложных атомах. Принцип Паули.

Молекула водорода. Ионная и ковалентная связи. Электронные термы

двухатомной молекулы.

Основные формулы

 Потенциальная энергия

 

rU

взаимодействия электрона с ядром в

89

водородоподобном атоме:

 

,

r4

Ze

rU

0

2





где

r

расстояние между электроном и ядром;

Z

порядковый номер

элемента;



0

электрическая постоянная.

 Собственное значение энергии

n

Е

электрона в водородоподобном атоме

2

0

2

42

2

8

1



h

meZ

n

E

n



 

.,...3,2,1n 

 Энергия ионизации атома водорода

.

h8

me

EE

2

0

2

4

1i





 Момент импульса (механический орбитальный момент) электрона

 

1 



L

,

где



орбитальное квантовое число, принимающее при заданном

n

следующие значения:

1n,...,1,0 

(всего

n

значений).

 Проекция момента импульса на направление

z

внешнего магнитного поля

,mL

z 



где





m

магнитное квантовое число, принимающее при заданном



следующие значения:



 ,...,1,0m

(всего

 

12 

значений).

 Правила отбора для орбитального и магнитного квантовых чисел



1 и

.1,0m 



 Нормированная волновая функция, отвечающая

s1

состоянию

(основному состоянию n=1, l=0,m=0) электрона в атоме водорода,

 

,e

a

1

r

a/r

3

100







где

 



22

0

me/4a 

величина, совпадающая с первым боровским радиусом.

 Вероятность обнаружить электрон в атоме водорода, находящемся в

s1

состоянии, в интервале от

r

до

drr 

.drr4dVdW

2

100

2

100



 Спин (собственный механический момент импульса) электрона

,mL

ssz



где



s

m

магнитное спиновое квантовое число

 

.2/1m

s



 Коротковолновая граница сплошного рентгеновского спектра

 

,eU/ch

min



где

e

заряд электрона;

U

разность потенциалов, приложенная к

рентгеновской трубке.



Закон Мозли, определяющий частоты спектральных линий

характеристического рентгеновского излучения,

 

,

n

1

m

1

ZR

22

2















где

R

постоянная Ридберга;

Z

порядковый номер элемента в периодической

системе;



постоянная экранирования;

m

определяет рентгеновскую серию

 

nm ;,...3,2,1

определяет линии соответствующей серии

 

,...2m,1mn 

.

90

Семестровые задания

31.1. Написать уравнение Шредингера для электрона, находящегося в

водородном атоме.

31.2. Волновая функция, описывающая движение электрона в основном

состоянии атома водорода, имеет вид

 

,

0

/ ar

er







где



— некоторая постоянная,

0

a

— первый боровский радиус. Найти для

основного состояния атома водорода наиболее вероятное расстояние электрона

от ядра.

31.3. Волновая функция, описывающая движение электрона в основном

состоянии атома водорода, имеет вид

 

,er

0

a/r



где



— некоторая постоянная;

0

a

— первый боровский радиус. Найти для

основного состояния атома водорода среднее значение

F

кулоновской силы.

31.4. Волновая функция, описывающая движение электрона в основном

состоянии атома водорода, имеет вид

 

,

0

/ ar

er







где



— некоторая постоянная;

0

a

— первый боровский радиус. Найти для

основного состояния атома водорода среднее значение

U

потенциальной

энергии.

31.5. Определить с помощью уравнения Шредингера энергию электрона,

находящегося в атоме водорода в состоянии

ar

earAr



 )1()(



, где A, а и  -

некоторые постоянные.

31.6. Волновая функция

)/2sin( xA





определена только в области

x0

.

Используя условие нормировки, определить нормировочный множитель А.

31.7. Волновая функция, описывающая 1s – состояние электрона в атоме

водорода, имеет вид

0

/

)(

ar

Cer







, где r – расстояние электрона от ядра, a

0

–

первый боровский радиус. Определить нормированную волновую функцию,

отвечающую этому состоянию.

31.8. Собственная функция, описывающая основное состояние электрона в

атоме водорода, имеет вид

 

,Cer

a/r



где

 

me/4a

22

0



(боровский радиус).

Определить расстояние

,r

на котором вероятность нахождения электрона

максимальна.

31.9. Электрон в атоме водорода описывается в основном состоянии волновой

функцией

 

.Cer

a/r



Определить отношение вероятностей

21

/ 

пребывания

электрона в сферических слоях толщиной

a01.0r 

и радиусами

a5.0r

1



и

a5,1r

2



.

91

31.10. Зная, что нормированная собственная волновая функция, описывающая

основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид

 

,e

a

1

r

a/r

3







найти среднее расстояние

 r

электрона от ядра.

ГЛАВА VI. ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА

§ 32. АТОМНОЕ ЯДРО

Строение атомных ядер. Ядерные силы. Обменный характер ядерных сил.

Модели ядра. Закономерности и происхождение альфа-, бета- и гамма-

излучения и взаимодействие их с веществом. Ядерные реакции. Радиоактивные

превращения атомных ядер. Реакции ядерного деления. Цепная реакция

деления. Ядерный реактор. Реакция синтеза. Проблема управляемой

термоядерной реакции.

Основные формулы



Ядро обозначается тем же символом, что и нейтральный атом:

,X

A

Z

где

X

символ химического элемента;

Z

атомной номер (число протонов в

ядре);

A

массовое число (число нуклонов в ядре). Число



нейтронов в ядре

равно разности

Z

.

 Закон радиоактивного распада

,dtdN 

или

,e

t

0





где

d

число ядер, распадающихся за интервал времени

dt

;



число ядер,

распадающихся к моменту времени

t

;



0

число ядер в начальный момент

 

0t 

;



постояная радиоактивного распада.

 Период полураспада



2/1

промежуток времени, за который число

нераспавшихся атомов уменьшается в два раза. Период полураспада связан с

постоянной распада соотношением:

.

693,02ln

2/1









 Число атомов, распавшихся за время

t

,

 

.e1

t

00





 Среднее время жизни



радиоактивного ядра – промежуток времени, за

который число нераспавшихся ядер уменьшается в е раз:

./1 

 Число атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе,

92

Бедельбаева Г.Е. Учебное пособие по курсу общей физики

Подождите немного. Документ загружается.