Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів

Подождите немного. Документ загружается.

261

Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

8.7. Завдання для індивідуальної роботи з частини 8

Провести повне дослідження заданої функції та побудувати її

графік





; b)







; c)



21x







;







; e)







; f)





;



; h)



Розв’язати задачі.

Кількість хворих під час епідемії грипу в 1996 р. змінювалась

часом

(вимірюється днями) з початку вакцинації населення за

законом



200

100





Знайти час максимуму захворювань, інтервали зростання та спа!

дання епідемії.

Температура повітря на протязі декількох днів змінювались за

законом



Tt e











016t

де

– час вимірювання температури. Побудувати графік цієї функції.

Промислова продукція держави на протязі

років, після 1990 р.,

змінювалась за законом



0,07

500 1 215





Коли випуск продукції зростав, а коли спадав?

Зміна населення держави з часом

здійснюється за законом









262

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Мал. 9.

де

та

– постійні величини. Знайти значення

, при якому

швидкість

зростання населення максимальна. Чому дорівнює ця мак!

симальна швидкість?

Знайти еластичність попиту та вказати стан доходу відповід!

ного підприємства при



та



, якщо заданий зв’язок між

кількістю

виготовлених та проданих виробів

та вартості кожного

виробу



;b)



100 2 5

Np 

;



50 5 4

 

;d)



200 2 9

Np

;



400 4 100xNp

;f)

1000 8





За заданим графіком похідної неперервної функції знайти для

всіх

f(x): інтервали зростання та спадання, інтервали опуклості та

угнутості

, кількість екстремальних точок, точок перегину та самі ці

точки

(див. мал. 9).

a) b)

()



()



2N+1

()



263

Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

5. Знайти границі за правилом Лопіталя:

lim

xxx







;b)

lim

ctg



;

lim

1sin







;d)

lim



;

lim



;f)

sin

lim





Знайти границі:

а)

sin

lim









; b)

lim









264

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Частина 9

ФУНКЦІЇЇ КІЛЬКОХ ЗМІННИХ

В частинах 7 та 8 ми розглянули функції однієї змінної вигляду



x

, способи її задання, області визначення та значень, грани!

цю та неперервність, похідні функції та застосування їх до розв’язу!

вання різних задач.

В цій частині розглянемо аналогічні питання, але для функцій

кількох

змінних. Саме такі функції найчастіше використовуються у

практичній

діяльності менеджерів, бізнесменів та інших спеціалістів

різних

галузей, у тому числі й економіки.

Наприклад, температура

залежить від часу її вимірювання

та координат

точки

, в якій вимірюють температуру.

Отже, температура залежить від чотирьох змінних тобто



,,,T

zt

9.1. Функції, їх способи задання, області визначення,

границі та неперервність

9.1.1. Поняття функції кількох змінних та області її визначення

При

дослідженні процесів часто спостерігають одночасну зміну

декількох

величин і залежність однієї з них від інших.



Означення 1. Якщо змінна величина w залежить від n неза&

лежних змінних

...

, то її називають функцією цих змінних,

а функціональну залежність позначають так:



, ,...,

xx x

, або



M

, де точка



Незалежні змінні рівноправні і називаються аргументами.



Означення 2. Сукупність усіх числових значень, які можуть прий&

мати аргументи

,,...

xx x

і при яких функція



,,...,

xx x

265

Частина 9. Функції кількох змінних

приймає певні дійсні значення, називають областю визначення

функції

Якщо функція визначена для усіх

...

з деякої області

та її межі

, тоді кажуть, що функція визначена у замкненій

області

DDdD





Приклад 1. Знайти область визначення функції



25 1 2uxyz



Розв’язання. Задана функція u залежить від трьох змінних x, y

та z. Вона приймає певні дійсні значення лише при умові

 

22 22

25 1 2 0 1 2 25xyz xyz  



 

Рівність



222

xa yb zc R

є рівнянням сфери з

центром

у точці



,,Cabc

і радіусом

Отже, одержана нерівність означає, що областю визначення

функції

буде куля радіуса

з центром в точці



1, 2, 0

C 

Нерівність нестрога, тому функція

визначена на сфері – межі цієї

кулі

. Отже, задана функція

визначена у замкненій області







1225Dx y z

Згідно з основними поняттями аналітичної геометрії, функція

двох

змінних



,zfxy

в тривимірному просторі зображується

деякою

поверхнею. Кожна точка цієї поверхні



має координати



. Областю визначення функції





буде деяка об!

ласть

площини

(див. мал. 1). Коли точка



пробігає

область

, тоді точка



xyz



пробігає поверхню

, рівняння

якої





266

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Отже, функцію двох

змінних

можна зада!

ти як функцію змінної точ!

ки

, що змінюється в об!

ласті

, тобто



M

Аналогічно можна розг!

лядати і функцію в аргу!

ментів, як функцію точки

, що знімається в області

!вимірного простору

, тобто



M

MDE



9.1.2. Способи задання функції кількох змінних

Функцію

однієї змінної можна задавати аналітично, таблично,

графічно, мовно і за допомогою комп’ютерної програми. Функцію

двох

змінних



,zfxy

, крім цих способів, можна задавати ще й

геометрично

, за допомогою ліній рівня.

У табличному способі завдання функції



,zfxy

використо!

вують таблицю з двома входами вигляду

кожній клітці вказують значення z для відповідної пари



Мал. 1.



...

267

Частина 9. Функції кількох змінних

Розглянемо геомет!

ричний спосіб задання

функції

. Нехай графі!

ком функції



,zfxy

буде поверхня, зображе!

на на мал. 2. Неважко ба!

чити, що різні точки цієї

поверхні

знаходяться на

різній

відстані від пло!

щини

Якщо придати z

постійні значення

, ,...hh

, то одержимо

площині аргументів

лінії



,fxy h

та



h

,..., які називають лініями рівня

функції





Означення 3. Криві лінії

, що лежить у площині

і ма&

ють рівняння



c

(c – стала) називають лініями рівня

функції



,zfxy

Іншими словами: лінія рівня – це множина усіх точок площини

, для яких функція



,zfxy

приймає одне значення.



Приклад 2. Визначити лінії рівня функції



23zx y 



Розв’язання. Згідно з означенням 3 рівняння ліній рівня має

вигляд



23x

c

Мал. 2.

f(x, y)=h

268

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Якщо надати

різні числові значення (наприклад,

4c 



,...), то одержимо сукупність кіл з центром в точці



2, 3C 

відповідними

радіусами (наприклад, 2, 3, 4,...).

Відмітимо, що лінії рівні широко використовуються в топографії.

На топографічних картах нанесені лінії рівня, для яких величина

дорівнює

. Величина

вказана на карті (наприклад,

3h 

м) і доз!

воляє ефективно використовувати умови місцевості.

У випадку залежності функції від трьох та більшої кількості

змінних

найчастіше використовують аналітичний спосіб задання

функції

9.1.3. Границя та неперервність



Означення 4. Околом радіуса

точки



010 20 0

, , ...,

xx x

називають сукупність усіх точок



, , ...,

xx x

простору

відстань яких до точки

менше або дорівнює

, тобто виконується

співвідношення

  

22 2

110 2 20 0

...

xx xx xx r 



Означення 5. Число

називають границею функції



, ,...,

xx x



або w f M

в точці



010 20 0

, , ...,

xx x

якщо для будь&якого





знайдеться число

таке, що для усіх то&

чок



, , ...,

Mx x x

з околу радіуса

точки

, відмінних від точ&

ки

, виконується нерівність



, , ...,

fx x x A





або



fM A





Використовується позначення:



110

220

... ...

lim , , ...,

xx x A





або



lim





269

Частина 9. Функції кількох змінних

9.1.4. Вправи до розділу 9.1

1. Знайти значення заданої функції у вказаних точках:



222

,, 2 3fxyz x y z 



1, 2, 3 ,



2,1, 4

M 

;



xyt

fxyt

xyt









,, , ,1

xyt











,, , ,1

xyt









;



,ln

fuv u v



 



,2,1,, 2,,,0,

uv uv e uv e



;





fxy







;

    

01 2

1, 2, 3, 2, 2, 2

MMM



Означення 6. Функція



, ,...,

xx x



M

на&

зивається неперервною в точці



010 20 0

, , ...,

xx x

, якщо вона

визначена

в цій точці і

  

lim

MfM





незалежно від способу

прямування

точки

до точки

Функція, неперервна в кожній точці деякої області, називається

неперервною в цій області

Якщо функція неперервна в області

та на її межі

, тоді

кажуть

що вона неперервна в замкненій області

DdD





При знаходженні області неперервності функції багатьох змінних

доцільно

використовувати слідуючу властивість неперервних

функцій

області визначення та неперервності функцій співпадають.

Крім

цієї властивості неперервних функцій часто використову!

ють ще таку властивість:

функція, неперервна в замкненій області

, обмежена, тоб!

то існують такі числа

та

, що виконується співвідношення



, , ...,

mfxx x M



для усіх



, , ...,

xxD



270

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

2. Знайти області визначення та неперервності функцій:



; b)





; c)



ln 4 9 36zxy



;



; e)

zzx 

; f)









Побудувати графіки ліній перетину поверхні



,zfxy

та

площин

0, 1; 0, 1xy

 



;b)



;



25 3



;d)



Обчислити границі:

220

lim







;b)

lim







;



sin

lim





;d)

lim









;



lim 1









;f)

lim





Знайти розрив функції:





; b)







; c)



119



