Барков Ю.А., Зверев О.М., Перминов А.В. Сборник задач по общей физике

Подождите немного. Документ загружается.

()

222 22

12 12 12 12

2 πα

αdrr rr rr rr=+− −=++cos cos ,

222

−−

cos

В данном случае во избежание громоздких записей удобно

значение cos α вычислить отдельно:

()( )( )

222

0,1 0,09 0,07

cosα

0,238

20,090,07

−−

==−

⋅⋅

Подставляя выражение

, из формулы (1) и E

из форму-

лы (2) в равенство (3) и вынося общий множитель 1/(4πε

) за знак

корня, получим

12 12

44 22

12 12

2cosα

πε

qq qq

rr rr

=++

. (4)

Подставим числовые значения величин в формулу (4) и про-

изведем вычисления:

()

() ()()

()

мЕ

−−

⋅

⋅⋅

=⋅ + + − =

⋅

44 22

10 2 10

9 10 2 0,238

0,04 0,07 0,09 0,07

= 3,58 кВ/м.

При вычислении

Е знак заряда q

опущен, так как знак заряда

определяет направление вектора напряженности, а направление

было учтено при его графическом изображении (рисунок).

В соответствии с принципом суперпозиции электрических

полей потенциал φ результирующего поля, создаваемого двумя за-

рядами q

и q

, равен алгебраической сумме потенциалов, т.е.

φ = φ

+ φ

. (5)

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме то-

чечным зарядом q на расстоянии г от него, выражается формулой

πε

. (6)

В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получим

πε πε

или

πε







Подставляя в это выражение числовые значения физических

величин, получим

−−



−⋅

=⋅ + =−





10 2 10

910 В 157В

0,09 0,07

№ 4. Точечный заряд q = 25 нКл находится в поле, созданном

прямым бесконечным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно

заряженным с поверхностной плотностью σ = 0,2 нКл/см

. Опреде-

лить силу F, действующую на заряд, если его расстояние от оси ци-

линдра r = 10 см.

Р е ш е н и е.

Численное значение силы F, действующей на точечный заряд

q, находящийся в поле, определяется по формуле

F = qE, (1)

где Е – напряженность поля, создаваемого заряженным цилиндром.

Как известно, напряженность поля бесконечно длинного рав-

номерно заряженного цилиндра

2πε

, (2)

где τ – линейная плотность заряда.

Выразим линейную плотность τ через поверхностную плот-

ность σ. Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим

находящийся на нем заряд q двумя способами:

q = σS = σ·2·π·Rl; q = τl.

Приравняв правые части этих равенств и сократив на l, получим

τ= 2π·Rσ.

С учетом этого формула (2) примет вид

Подставив это выражение в (1), получим искомую силу F:

⋅

(3)

Выпишем в единицах СИ числовые значения величин: q =

= 25 нКл = 2,5·10

–8

Кл, σ = 0,2 нКл/см

= 2·10

–6

Кл/м

, ε

= 8,85·10

–12

Ф/м. Так как R и r входят в формулу в виде отноше-

ния, они могут быть выражены в любых, но только одинаковых

единицах. Подставим в (3) числовые значения величин:

−−

−

⋅⋅⋅⋅

==⋅=

⋅⋅

2,5 10 2 10 1

H5,6510 H565 мкН

8,85 10 10

Направление силы

совпадает с направлением напряжен-

ности

а последняя направлена перпендикулярно поверхности

цилиндра.

№ 5. Две концентрические проводящие сферы радиусами

= 6 см и R

= 10 см несут соответственно заряды q

= 1 нКл

и q

= –0,5 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоя-

щих от центра сфер на расстояниях r

= 5 см, r

= 9 см, r

= 15 см.

Р е ш е н и е.

Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженно-

сти электрического поля, лежат в трех областях (рисунок): область I

< R

), область II (R

< r

< R

), область III (r

> R

1. Для определения напряженности

в области I проведем

замкнутую сферическую поверхность S

радиусом r

и воспользу-

емся теоремой Гаусса:

ES=

∫

(так как суммарный заряд, на-

ходящийся внутри данной

замкнутой поверхности, равен

нулю). Следовательно,

(на-

пряженность поля в области I)

во всех точках, удовлетво-

ряющих условию r

< R

, будет

равна нулю.

2. В области II замкну-

тую поверхность проведем ра-

диусом r

. В этом случае

ES=

∫

(так как внутри этой замкнутой поверхности находится только

заряд q

Так как

= Е = const, Е можно вынести за знак интеграла:

ES=

∫v

или

ES =

Обозначив напряженность

Е для области II через Е

, получим

где S

– площадь замкнутой сферической поверхности, S

= 4π·r

Тогда

πε

. (1)

3. В области III сферическая поверхность проводится радиу-

сом r

. Обозначим напряженность Е области III через Е

и учтем,

что в этом случае замкнутая поверхность охватывает обе сферы

и, следовательно, суммарный заряд будет равен q

+ q

. Тогда

πε

Выразим все величины в единицах СИ (q

= 10

–9

Кл, q

= –0,5·10

–9

Кл, r

= 0,05 м, r

= 0,09 м, r

= 0,15 м, 1/(4πε

) = 9·10

м/Ф)

и произведем вычисления:

кВ

;

−

=⋅ =

910 1,11

(0,09)

()

–9

1–0,5 10

= 9 10 = 200

(0,15)

⋅

№ 6.

По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, равно-

мерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 10 нКл/м.

Определить напряженность

Е и потенциал φ электрического поля,

создаваемого таким распределенным зарядом в точке, совпадаю-

щей с центром кривизны дуги. Длина l нити составляет одну треть

длины окружности и равна 16 см.

Р е ш е н и е.

Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпа-

дало с центром кривизны дуги, а ось Y была бы симметрично рас-

положена относительно концов дуги.

На нити выделим элемент длины dl. Заряд dq = τdl, находя-

щийся на выделенном участке, можно считать точечным.

Определим напряженность электрического поля в точке 0.

Для этого найдем сначала напряженность

поля, создаваемого

зарядом dq:

τd

πε

где r – радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, напря-

женность в которой вычисляется.

Выразим вектор

через проекции dE

и dE

на оси координат:

EiE jE

где

– единичные векторы направлений (орты).

Напряженность

найдем интегрированием:

dd d

ll l

Ei E jE== +

∫∫ ∫

Интегрирование ведется вдоль дуги длины l. В силу симмет-

рии интеграл

∫

равен нулю. Тогда

jE=

∫

, (1)

где

τd

ddcos

cos

πε

Так как r = R = const, dl = Rdθ, то

τ dθτ

dcosθ

cos

πε πε

44R

Подставим найденное значение dE

в выражение (1) и, при-

няв во внимание симметричное расположение дуги относительно

оси Y, пределы интегрирования возьмем от 0 до π/3, а результат

удвоим:

π 3

2ττ

cosθ

sin

πε πε

Ej j

∫

42R

Подставив указанные пределы и выразив R через длину дуги

(3l = 2πR), получим

6ε

Из этой формулы видно, что вектор

совпадает с положи-

тельным направлением оси Y.

Подставим значения τ и l в полученную формулу и произве-

дем вычисления:

кВ

мЕ

−

⋅

⋅⋅⋅

10 1,73

2,18

68,8510 0,15

Найдем потенциал электрического поля в точке 0. Сначала

найдем потенциал dφ, создаваемый точечным зарядом dq в точке 0:

dφ

πε

Заменим r на R и произведем интегрирование:

ττ

φ d

πε πε

∫

44R

Так как l = 2πR/3, то φ = τ/6ε

. Произведем вычисления:

φ В

−

⋅⋅

188

68,8510

№ 7. На пластинах плоского конденсатора находится заряд

q = 10 нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см

диэлектрик – воздух. Определить силу F, с которой притягива-

ются пластины.

Р е ш е н и е.

Заряд q второй пластины находится в поле напряженностью

созданном зарядом первой пластины конденсатора. Следовательно,

на заряд q действует сила

F = qE

. (1)

Так как

εε

, (2)

где σ – поверхностная плотность заряда пластины, то формула (1) с

учетом выражения (2) примет вид

. (3)

Подставив числовые значения величин в формулу (3), по-

лучим

−

−−

==⋅

⋅⋅⋅

12 2

5,65 10

28,8510 10

-q

№ 8. Электрическое поле создано длинным цилиндром ра-

диусом R = 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью

τ = 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого

поля, находящихся на расстоянии

= 0,5 см и а

= 2 см от поверх-

ности цилиндра в средней его части.

Р е ш е н и е.

Для определения разности потенциалов воспользуемся соот-

ношением между напряженностью поля и изменением потенциала:

gradφE =−

Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилинд-

ра, это соотношение можно записать в виде

dφ

=−

, или dφ = –E

dr.

Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов

двух точек, отстоящих на расстояниях r

и r

от оси цилиндра:

φφ

−=−

∫

. (1)

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней

части, для напряженности можно воспользоваться формулой на-

пряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:

πε

E =

2 r

Подставив выражение Е в (1), получим:

τ d τ

φφ

πε πε

−=− =−

∫

или

φφ

πε

−=

. (2)

Выразим τ и 1/2πε

в единицах СИ: τ = 20 нКл/м = 2·10

–8

Кл/м,

= 8,85·10

–12

Ф/м.

Так как величины r

и r

входят в формулу (2) в виде отноше-

ния, их можно выразить в любых, но только одинаковых единицах:

= R + а

= 1,5 см; r

= R + а

= 3 см. Подставим числовые значе-

ния в (2) и вычислим:

φφ

−

−=⋅ ⋅⋅ = ⋅⋅⋅ =

810 2

2 10 1,8 10 ln 3,6 10 2,3 ln2 250

1,5

№ 9.

Конденсатор емкостью С

= 3 мкФ был заряжен до раз-

ности потенциалов U

= 40 В. После отключения от источника тока

конденсатор был соединен параллельно с другим незаряженным

конденсатором емкостью С

= 5мкФ. Какая энергия W′ израсходу-

ется на образование искры в момент присоединения второго кон-

денсатора?

Р е ш е н и е.

Энергия, израсходованная на образование искры,

′ = W

– W

, (1)

где W

– энергия, которой обладал первый конденсатор до присое-

динения к нему второго конденсатора; W

– энергия, которую имеет

батарея, составленная из первого и второго конденсаторов. Энергия

заряженного конденсатора определяется по формуле

W =

, (2)

где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов; U – раз-

ность потенциалов.

Выразив в формуле (1) энергии W

и W

по формуле (2) и при-

нимая во внимание, что общая емкость параллельно соединенных кон-

денсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

()

122

ССU

С U

′

=−

, (3)

где U

– разность потенциалов на зажимах батареи параллельно со-

единенных конденсаторов.