Барков Ю.А., Зверев О.М., Перминов А.В. Сборник задач по общей физике

Подождите немного. Документ загружается.

111

Магнитную индукцию В

найдем, воспользовавшись выра-

жением для магнитной индукции в центре кругового тока:

= .

В нашем случае магнитное поле в точке

О создается лишь по-

ловиной кругового тока, поэтому

= .

Магнитную индукцию

найдем, применив соотношение (4),

пример 1:

312

(cosα

cos

)

4π

=−

В нашем случае r

= R, α

= π/2 (cos α

= 0), α

→π (cos α

= –1).

Тогда

= .

Используя найденные выражения, получим

В = В

+ В

, получим

(π

=+.

Произведем вычисления:

–4

4π 10 80

(π

1) = 3,31 10

4π 0,1

−

⋅⋅

=+⋅

⋅

Тл.

№ 3.

По двум параллельным прямым проводам длиной l = 2 м

каждый, находящихся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут

одинаковые токи I = 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.

Р е ш е н и е.

Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осу-

ществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное

поле, которое действует на другой провод.

Предположим, что оба тока (обозначим их I

и I

) текут в од-

ном направлении. Ток I

создает в месте расположения второго про-

вода (с током I

) магнитное поле, направление вектора магнитной

индукции

определяется по правилу буравчика. Модуль магнит-

ной индукции

задается соотношением

. (1)

112

Согласно закону Ампера, на каждый элемент

второго про-

вода действует в магнитном поле сила

ddsinαFIBl= . Так как век-

тор

перпендикулярен вектору

sinα

= , и тогда dF = I

dl.

Подставив в это выражение значение

, получим

012

= .

Силу F взаимодействия то-

ков найдем интегрированием:

2012

µµ

2π 2π

II II

Fll

∫

Учитывая, что I

= I

= I,

получим

Произведем вычисления:

732

4π10 (10 ) 2,5

H=2,5 H

2π0,2

−

Сила

сонаправлена с силой

а направление

опреде-

ляется правилом левой руки.

№ 4. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов

U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией

В = 0,3 Тл

и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.

Р е ш е н и е.

Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

будет происходить по окружности только в том случае, если части-

ца влетит в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции:

⊥

. Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору

, она со-

общает частице (протону) нормальное ускорение

113

Согласно второму закону Ньютона,

Fma

, (1)

где m – масса протона. На рисунке

совмещена траектория протона с плос-

костью чертежа и дано (произвольно)

направление вектора скорости

. Си-

лу Лоренца направим перпендикуляр-

но вектору

к центру окружности

(векторы

сонаправлены.). Ис-

пользуя правило левой руки, определим направление магнитных

силовых линий (направление вектора

Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в проекции

на радиус):

= ma

. (2)

В скалярной форме F

= qvBsin α. В нашем случае

⊥

и sin α = 1, тогда F

= qvB. Так как нормальное ускорение a

= v

/R,

выражение (2) перепишем следующим образом: qvB = mv

/R. Отсю-

да выразим радиус окружности:

R = mv/(qB). (3)

Скорость протона найдем, воспользовавшись связью между

работой сил электрического поля и изменением кинетической энер-

гии протона, т.е.

А = ∆W, или q(ϕ

– ϕ

) = W

– W

, где (ϕ

– ϕ

) = U –

ускоряющая разность потенциалов (или ускоряющее напряжение);

и W

– начальная и конечная кинетические энергии протона.

Пренебрегая начальной кинетической энергией протона W

≈ 0

и учитывая, что W

= mv

/2, получим qU = mv

/2.

Найдем из этого выражения скорость

и подставим

ее в формулу (3), в результате получим

= (4)

114

Произведем вычисления:

1 2 1,6710 600

= 0,0118

0,3 1,610

−

⋅

№ 5. Электрон, влетев в однородное магнитное поле

(В = 0,2 Тл), стал двигаться по окружности радиуса R = 5 см. Опре-

делить магнитный момент

эквивалентного кругового тока.

Р е ш е н и е.

Электрон начинает двигаться по окружности, если он влетает

в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной

индукции.

Движение электрона по окружности эквивалентно току, кото-

рый в данном случае определяется выражением:

экв

∆

где

е – заряд электрона; Т – период его обращения.

Период обращения можно найти через скорость электрона и

путь, проходимый электроном за период

Т = (2πR)/v. Тогда

экв

(1)

По определению, магнитный момент контура с током выра-

жается соотношением

= I

экв

S, (2)

где S – площадь, ограниченная окружностью, описываемой элек-

троном S = πR

. Учитывая (1), (2) и (3), получим Р

или

P evR

Известно, что R = mv/(

еB) (см. пример 4). Тогда для скорости

v электрона находим

eBR

= . Подставив это выражение в (4) для

магнитного момента P

электрона получим

eBR

Произведем вычисления:

115

19 2

(1,6 10 ) 0,2 (0,05)

7,03 10

29,110

−

⋅⋅⋅

==⋅

⋅

А·м

№ 6.

На железный стержень длиной 50 см и сечением 2 см

намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины

стержня приходится 20 витков. Определить энергию магнитного

поля в сердечнике соленоида, если сила тока в обмотке 0,5 А.

Р е ш е н и е.

Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по

обмотке которого течет ток I, выражается формулой

WLI

= . (1)

Индуктивность соленоида зависит от числа витков на едини-

цу длины n, от объема сердечника V и от магнитной проницаемо-

сти µ сердечника, т.е. L = µµ

V, где µ

– магнитная постоянная.

Магнитную проницаемость можно выразить следующей

формулой:

где В – индукция магнитного поля; Н – на-

пряженность.

Подставив в формулу (1) выражение индуктивности L и маг-

нитной проницаемости, получим

WnVI

= .

Объем сердечника выразим через длину l и сечение S:

WnISl

Напряженность магнитного поля найдем по формуле

Н = nI.

Подставив данные в единицах СИ, получим:

Н = 2 ⋅ 10

· 0,5 А/м =

= 10

А/м.

Значению напряженности намагничивающего поля в 10

А/м

в железе соответствует индукция

В = 1,3 Тл (см. график зависимо-

сти между

Н и В в приложении).

Произведем вычисления:

32 2 4

11,3

(210 ) (0,5) 210 0,5

Дж

= 0,065

Дж

210

⋅−

=⋅⋅

116

№ 7. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по ко-

торому течет ток I = 100 А, свободно установился в однородном маг-

нитном поле (

В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внеш-

ними силами при повороте контура относительно оси, проходящей

через середину его противоположных сторон, на угол ϕ = 90°. При

повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Р е ш е н и е.

На контур с током в магнитном

поле действует момент силы

M = p

B sinϕ, (1)

где p

– магнитный момент контура,

= I · S= I · a

; В – индукция магнит-

ного поля; ϕ – угол между вектором

(направлен по нормали к контуру)

и вектором

По условию задачи в начальном

положении контур свободно установился

в магнитном поле. При этом момент силы

равен нулю (

М = 0), а значит, угол ϕ = 0,

т.е. векторы

сонаправлены. Если внешние силы выведут контур

из положения равновесия, то возникший момент сил будет стремиться

возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет

совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный

(зависит от угла поворота ϕ), для подсчета работы применим формулу

работы в дифференциальной форме dA = Mdϕ. Учитывая формулу (1),

получаем dA = IBa

sinϕdϕ.

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при пово-

роте на конечный угол

sinφ

AIBa=

∫

Работа при повороте на

угол ϕ = 90°

π/2

22 2

sinφdφ (cosφ)|

IBa IBa IBa==−=

∫

(2)

Произведем вычисления:

А = 100 · 1(0,1)

= 1 Дж.

Варианты заданий приведены на стр. 339–377.

117

ГЛАВА 4. ОПТИКА.

АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА

4.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

Здесь можно выделить следующие типы задач: задачи на от-

ражение света, задачи на преломление света и задачи на линзы.

Первую группу составляют задачи на построение изображения

в плоском зеркале с использованием закона отражения. При по-

строении изображения предмета в плоском зеркале следует пом-

нить, что все лучи, исходящие из какой-либо точки предмета

А, по-

сле отражения от зеркала пойдут так, что их продолжения будут

пересекаться за зеркалом в одной и той же точке

, которая являет-

ся

мнимым изображением точки А. В результате изображение

предмета получается прямым, мнимым, равным по величине само-

му предмету, расположенному симметрично с

ним по отношению

к плоскости зеркала.

Задачи

второй группы сравнительно просты. Их решают на ос-

новании формулы закона преломления с использованием геометрии

и тригонометрии. При решении задачи нужно прежде всего сделать

чертеж, где следует указать ход лучей, идущих из одной среды в дру-

гую. Перед тем как чертить преломленный луч, необходимо устано-

вить, переходит ли он из оптически менее плотной среды в более

плотную или наоборот. В зависимости от этого луч отклоняется от

своего начального направления или приближаясь к нормали в точке

падения или удаляясь от нее. После того

как сделан чертеж, нужно

записать формулу закона преломления для каждого перехода луча из

одной среды в другую и составить вспомогательные уравнения, свя-

зывающие

углы и расстояния, используемые в задаче.

Задачи

третьей группы – на построение изображения в оди-

ночных линзах и расчеты, связанные с этим изображением – реша-

ются почти так же, как и задачи на зеркала. Для каждого положения

предмета нужно построить изображение, отметить характерные

точки линзы (F и 2F), расстояния от линзы до предмета и его изо-

118

бражения (d и f) и записать формулу линзы и формулу увеличения,

связывающие расстояния

d, f и F. Добавив к основным уравнениям

вспомогательные (обычно они устанавливают дополнительные свя-

зи между расстоянием от линзы до предмета и изображения), нужно

решить полученную систему уравнений.

Основные формулы

1. Отношение синуса угла падения i

к синусу угла преломле-

ния i

для данной пары веществ есть величина постоянная, назы-

ваемая относительным показателем преломления второго вещества

относительно первого:

sin

Абсолютным показателем преломления какого-либо вещества

называется показатель преломления этого вещества по отношению

к вакууму или воздуху.

Относительный показатель преломления второго вещества

относительно первого n

равен отношению абсолютных показате-

лей преломления этих веществ:

= .

Если луч света переходит из оптически более плотного веще-

ства (n

) в оптически менее плотное (n

< n

), то при некотором пре-

дельном значении угла падения i

пред

угол преломления становится

равным 90°, преломленный луч исчезает, а падающий испытывает

полное отражение. Предельный угол определяется из формулы

пред

sin ,

= где n

< n

2. Формула тонкой линзы:

111

dfF

(собирающая линза),

119

11 1

df F

−=−

(рассеивающая линза),

где d – расстояние от предмета до линзы; f – расстояние от линзы

до изображения, F – фокусное расстояние линзы.

Оптичская сила линзы

= .

Линейное увеличение предмета – это отношение размера изо-

бражения

Н к размеру предмета h:

Н fF

hddF

Γ= = =

−

Примеры решения задач

№ 1.

На стеклянную пластинку, показатель преломления ко-

торой 1,5, падает луч света. Найти угол падения луча, если угол ме-

жду отраженным и преломленным лучами 90°.

Р е ш е н и е.

Из рисунка видно, что α + β + γ = π,

откуда β = π – γ – α = π/2 – α. С другой сто-

роны, по закону преломления

sinα

sinβ

. Но

sin β = sin(π/2 – α) = cos α. Тогда

sinα

cos

или tg α = n, откуда α = arctg n = 0,98 рад.

№ 2. В фокусе рассеивающей линзы установлен предмет вы-

сотой 5 см. На каком расстоянии от линзы находится изображение?

Определите размеры изображения. Фокусное расстояние линзы 10

см.

Р е ш е н и е.

Для рассеиваюшей линзы формула тонкой линзы имеет вид

120

11 1

df F

−=−

где d = F, откуда находим рас-

стояние мнимого изображения

от линзы

f =

0,05 м.

Увеличение

Γ= =

откуда

0,05 0,05

0,1

⋅⋅

== =

0,025 м.

4.2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА

Волновой оптикой называют раздел физики, в котором изу-

чаются оптические явления на основе представления о свете как

электромагнитной волне. Основной задачей волновой оптики явля-

ется установление закономерностей распространения световых волн

в прозрачных средах и взаимодействия света с веществом. Волно-

вой характер света проявляется в таких физических явлениях, как

интерференция, дифракция и поляризация.

Задачи на

интерференцию света делятся в основном на

две группы: задачи, связанные с интерференцией волн от двух

когерентных источников, и задачи на интерференцию в тонких

пленках.

Если когерентные источники образуются путем разделения

одного и того же источника на два (с помощью зеркал, призм или

как-либо еще), то предварительно нужно определить положение

этих источников друг относительно друга и относительно экрана.

Для этого следует воспользоваться законами геометрической опти-

ки. Далее если положения источников света известны, то координа-