Барков Ю.А., Зверев О.М., Перминов А.В. Сборник задач по общей физике

Подождите немного. Документ загружается.

141

4.4. АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА

Основные формулы

Атом водорода

Первый постулат Бора. Атомы могут длительно пребывать

только в таких состояниях, находясь в которых они не излучают

энергии. Этим стационарным состояниям соответствуют опреде-

ленные энергии Е

, … Е

атома.

Второй постулат Бора. При переходе из одного стационарного

состояния в другое атом испускает или поглощает излучение строго

определенной частоты, определяемой условием hν = E

– E

Стационарным состояниям атома соответствуют вполне оп-

ределенные орбиты, по которым движутся электроны. Момент им-

пульса (количества движения) L электрона для стационарных орбит

кратен

Радиусы круговых орбит электрона определяются равенством

Lmvrn==

, где r – радиус орбиты; v – скорость электрона на

этой орбите; n – целое число, называемое квантовым числом (n = 1,

2, 3, …).

Энергия электрона, находящегося на n-й орбите,

222

8ε

=− .

Длина волны λ света, излучаемого атомом водорода при

переходе с одной орбиты на другую, может быть определена из

сериальной формулы

111



=−





где R – постоянная Ридберга; n

и n

– кван-

товые числа, определяющие номера орбит электрона.

142

Энергия кванта света, излучаемого атомом водорода при пе-

реходе с одной орбиты на другую,

ε E



=−





, где Е

– энергия

ионизации атома водорода: Е

= –13,6 эВ.

Энергия ионизации, выраженная в электрон-вольтах, чис-

ленно равна потенциалу ионизации, выраженному в вольтах. По-

тенциалом ионизации называется ускоряющая разность потен-

циалов, которую должен пройти бомбардирующий электрон,

чтобы приобрести кинетическую энергию, достаточную для ио-

низации атома.

Волны де Бройля

Формула де Бройля. Длина волны λ, связанная с частицей, об-

ладающей импульсом р, выражается равенством

Так как импульс р в классическом приближении (v << c) выра-

жается формулой p = m

v, то

, где m

– масса покоя частицы.

В релятивистском случае, когда скорость частицы срав-

нима со скоростью света в вакууме, импульс

pmv

−1

Тогда

mv c

=−1

Иногда при вычислениях длины волны де Бройля импульс р

частицы удобно выражать через ее кинетическую энергию W.

При этом следует пользоваться соотношением

pmW

= 2 , в реля-

тивистском случае

()

pWWE

=+2

, где Е

– энергия покоя

частицы (Е

= m

143

Радиоактивность

Основной закон радиоактивного распада: число нераспав-

шихся атомов в образце радиоактивного изотопа уменьшается со

временем экспоненциально: N = N

–λt

, где N – число нераспавших-

ся атомов в момент времени t; N

– число нераспавшихся атомов

в момент, принятый за начальный (t = 0); е – основание натураль-

ных логарифмов; λ – постоянная радиоактивного распада.

Число атомов, распавшихся за время t: N

– N = N

(1 – e

–λt

Если промежуток времени ∆t очень мал по сравнению с пе-

риодом полураспада Т

1/2

, то для определения числа распавшихся

атомов служит приближенная формула ∆N ≈ λN∆t.

Период полураспада Т

1/2

– промежуток времени, за кото-

рый число нераспавшихся атомов уменьшается в два раза. Пе-

риод полураспада связан с постоянной распада соотношением

λλ

ln2 0,693

Среднее время жизни τ радиоактивного нуклида – промежу-

ток времени, за который число не распавшихся атомов уменьшает-

ся в е раз:

Число атомов, содержащихся в образце нуклида:

= ,

где m – масса образца; А – масса килограмм-атома нуклида; N

–

число Авогадро.

Активность а образца измеряется числом ядер, распавшихся в

единицу времени:

=− = , или после замены N: а = λN

–λt

Активность образца в начальный момент (при t = 0) а

= λN

Активность образца изменяется со временем по тому же зако-

ну, что и число нераспавшихся ядер: а =а

–λt

Энергия связи атомных ядер

Дефект массы. Согласно релятивистской механике масса по-

коя М устойчивой системы взаимосвязанных частиц меньше суммы

масс покоя m

+ m

+ … + m

тех же частиц, взятых в свободном со-

144

стоянии. Разность ∆М = (m

+ m

+ … + m

) – М называется дефек-

том массы системы частиц.

Уменьшение массы покоя свободных частиц при соединении

их в устойчивую систему происходит вследствие освобождения не-

которой части энергии покоя этих частиц. Выделившаяся энергия

называется энергией связи.

Из закона сохранения энергии следует, что наименьшая энер-

гия, которую нужно затратить, чтобы расчленить устойчивую сис-

тему взаимосвязанных частиц на отдельные свободные частицы,

равна энергии связи.

Энергия связи прямо пропорциональна дефекту массы сис-

темы частиц ∆W = с

∆М, где с

– коэффициент перехода от массы

к энергии, численно равный квадрату скорости света в вакууме;

2161622

8,987 10

Дж

кг

8,987 10

∆

== ⋅ = ⋅

∆

Если энергия выражена в мегаэлектрон-вольтах, а масса в атом-

ных единицах, то с

= 931, 44 МэВ/а.е.м.

Дефект массы ∆М атомного ядра есть разность между сум-

мой масс свободных протонов и нейтронов и массой образовавше-

гося из них ядра ∆М = (Ζm

+ Nm

) – M, где Ζ – число протонов

в ядре; N – число нейтронов (N = A – Ζ); m

и m

– массы свобод-

ных протона и нейтрона; М – масса ядра.

Ядерные реакции

Символическая запись ядерной реакции может быть дана или

в развернутом виде, например

91 4 6

41 2 3

Be H He Li

+→ +

, или сокращен-

но

Be (р, α)

Li.

Обозначения частиц: p – протон, n – нейтрон, d – дейтрон,

t –

тритон, α – альфа-частица, γ – гамма-фотон.

При решении задач применяются законы сохранения:

–

числа нуклонов А

+ А

= А

+ А

;

–

заряда Ζ

+ Ζ

= Ζ

+ Ζ

;

–

релятивистской полной энергии Е

+ Е

= Е

+ Е

;

–

импульса

1234

ррр+=+

GG GG

Энергетический эффект ядерной реакции Q = c

[(m

+ m

) –

– (m

+ m

)], где m

– масса покоя ядра – мишени; m

– масса покоя

145

бомбардирующей частицы; m

+ m

– сумма масс покоя ядер про-

дуктов реакции.

Если m

+ m

> m

, то энергия освобождается, энергетиче-

ский эффект положителен, реакция экзотермическая.

Если m

+ m

< m

, то энергия поглощается, энергетиче-

ский эффект отрицателен, реакция эндотермическая.

Примеры решения задач

№ 1.

Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энер-

гетического уровня на второй. Определить энергию испущенного

при этом фотона.

Р е ш е н и е.

Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной

формулой для водородоподобных ионов:

111



=−





, (1)

где λ – длина волны фотона; R – постоянная Ридберга; Z – заряд

ядра в относительных единицах (при Z = 1 формула переходит

в сериальную формулу для водорода); n

– номер орбиты, на кото-

рую перешел электрон; n

– номер орбиты, с которой перешел

электрон (n

и n

– главные квантовые числа).

Энергия фотона ε выражается формулой ε = hc/λ. Поэтому,

умножив обе части равенства (1) на hc, получим выражение для

энергии фотона

ε RhcZ



=−





Так как величина Rhc есть

энергия ионизации E

атома водорода, то

Е Z



=⋅ −





Вычисления выполним во внесистемных единицах: Е

= 13,6 эВ;

Z = 1 (

заряд ядра атома водорода в относительных единицах, где

за единицу заряда принято абсолютное значение заряда электро-

на); n

= 2; n

= 4;

11 3

ε 13,6 1 эВ

13,6

эВ

2,55

эВ

24 16



=⋅ − = =





146

№ 2. Электрон, начальной скоростью которого можно пре-

небречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти дли-

ну волны де Бройля для двух случаев: 1) U

= 51 В; U

= 510 кВ.

Р е ш е н и е.

Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р

и определяется формулой

λ = h/р, (1)

где h – постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинети-

ческая энергия W. Связь импульса с кинетической энергией различна

для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы

много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда

кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).

В нерелятивистском случае

mW=

(2)

где m

– масса покоя частицы.

В релятивистском случае

()

=+ (3)

где Е

– энергия покоя частицы, Е

= m

Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется:

–

в нерелятивистском случае

= ; (4)

–

в релятивистском случае

()

. (5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего задан-

ные в условии задачи разности потенциалов U

= 51 В и U

= 510 кВ,

с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую

147

из формул – (4) или (5) – следует применить для вычисления длины

волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона W, прошедше-

го ускоряющую разность потенциалов U, находится следующим

образом: W = eU.

В первом случае W

= eU

= 51 эВ = 0, 51⋅10

–4

МэВ, что много

меньше энергии покоя электрона Е

= m

= 0, 51 МэВ. Следователь-

но, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения

расчетов заметим, что W

= 10

–4

. Подставив это выражение

в формулу (4), перепишем ее в виде

mmc

−

==⋅

⋅⋅

Учитывая, что

есть комптоновская длина волны Λ, полу-

чим

=⋅Λ. Так как Λ = 2, 43 пм, то

λ 2,43 пм

171

пм

=⋅ = .

Во втором случае кинетическая энергия W

= eU

= 510 кэВ =

= 0,51

МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае не-

обходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что

= 0, 51 МэВ = m

, по формуле (5) найдем

()

222

eee

mc mc mc

, или

2,43

λпм

1,4

пм

№ 3.

Кинетическая энергия электрона в атоме водорода со-

ставляет величину порядка T = 10 эВ. Используя соотношение не-

определенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Р е ш е н и е.

Соотношение неопределенностей для координаты и импульса

имеет вид xp∆∆ ≥= , где ∆x – неопределенность координаты части-

цы (в данном случае электрона); ∆р – неопределенность импульса

частицы (электрона);

– постоянная Планка, деленная на 2π.

148

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее

определяется положение частицы в пространстве, тем более неоп-

ределенным становится импульс, а следовательно, и энергия части-

цы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома

будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью

∆х = l/2. (1)

Соотношение неопределенностей (1) можно записать в этом

случае в виде /2lp⋅∆ ≥= , откуда

≥∆= . (2)

Физически разумная неопределенность импульса ∆р во вся-

ком случае не должна превышать значения самого импульса р,

т.е. ∆р ≈ р.

Импульс р связан с кинетической энергией Т соотношением

pmW

= . Заменим

∆

р на 2

(такая замена не увеличит l).

Переходя от неравенства к равенству, получим

min

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

min

31 19

21,0510

λм

1,24 10

124

пм

29,110 1,610 10

−

−−

⋅⋅

==⋅=

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅

№ 4.

Вычислить дефект массы и энергию связи ядра

Р е ш е н и е.

Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находя-

щихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образова-

лось. Дефект массы ядра ∆m и есть разность между суммой масс

свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т.е.

()

mZm AZm m

∆= + − −, (1)

где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число

(

число нуклонов в ядре); m

, m

, m – соответственно массы протона,

нейтрона и ядра.

149

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных

атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобра-

зовать так, чтобы в нее входила масса М нейтрального атома.

Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс

ядра и электронов, составляющих нейтральную оболочку атома:

М = m + Zm

, откуда m = М – Zm

Выразив в равенстве (1) массу ядра по последней формуле,

получим ∆m = Ζm

+ (A – Ζ)m

– M + Ζm

, или ∆m = Ζ (m

+ m

) +

+ (A –

Ζ)m

– M.

Замечая, что m

+ m

= M

, где M

– масса атома водорода,

окончательно получим

()

H n

mZM AZm

М∆= + − − . (2)

Подставив в выражение (2) числовые значения масс (из спра-

вочных таблиц), получим

()

3 1,00783 7 3 1,00867 7 0,1601

. 0,04216

m∆= ⋅+−⋅−⋅ =



Энергией связи ∆Е ядра называется энергия, которая в той

или иной форме выделяется при образовании ядра из свободных

нуклонов.

В соответствии с соотношением пропорциональности мас-

сы и энергии

Е = с

∆m, (3)

или с

= Е/∆m = 9 · 10

Дж/кг. Если вычислить энергию связи, поль-

зуясь внесистемными единицами, то с

= 931 МэВ/а.е.м. С учетом

этого формула (3) примет вид

Е = 931∆m. (4)

Подставив ранее найденное значение дефекта массы ядра

в формулу (4), получим

Е = 931 ⋅ 0,04216 МэВ = 39,2 МэВ.

№ 5.

При соударении α-частицы с ядром бора

произошла

ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых яд-

150

ра. Одно из них – ядро атома водорода

. Определить порядковый

номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись

ядерной реакции и определить ее энергетический эффект.

Р е ш е н и е.

Обозначим неизвестное ядро символом

. Так как α-частица

представляет собой ядро гелия

, запись реакции имеет вид

4101A

251z

He B H X

+→+.

Применив закон сохранения числа нуклонов, получим урав-

нение 4 +10 = 1 + А, откуда А = 13. Применив закон сохранения за-

ряда, получим уравнение 2 + 5 = 1 +Z, откуда Z = 6.

Следовательно, неизвестное ядро является ядром изотопа

атома углерода

Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется

по формуле Q = 931[(m

+ m

) – (m

+ m

)]. Здесь в первых

круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых

скобках – массы ядер – продуктов реакции. При числовых под-

счетах по этой формуле массы ядер заменяют массами ней-

тральных атомов. Возможность такой замены вытекает из сле-

дующих соображений.

Число электронов в электронной оболочке нейтрального ато-

ма равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных

ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Сле-

довательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вме-

сте столько же электронов, сколько их содержат электронные обо-

лочки ядер углерода и водорода.

Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтральных ато-

мов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы

электронов выпадут, и мы получим тот же результат, как если бы

брали массы ядер. Подставив массы атомов, взятые из справочной

таблицы в расчетную формулу, получим

Q = 931[(4,00260 + 10,01294) – (1,00783 + 13,00335)]

МэВ = 4,06 МэВ.

№ 6. Определить начальную активность радиоактивного пре-

парата магния

Mg массой m = 0,2 мкг, а также его активность А че-

рез время t = 6 ч. Период полураспада T

1/2

магния считать известным.