Барков Ю.А., Зверев О.М., Перминов А.В. Сборник задач по общей физике

Подождите немного. Документ загружается.

151

Р е ш е н и е.

Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивно-

го распада и равняется числу ядер, распадающихся в единицу вре-

мени:

=− , где dN – число ядер, распавшихся за время dt.

Согласно основному закону радиоактивного распада

−=, где λ – постоянная радиоактивного распада. Так как

NNe

−

= , где N

– число не распавшихся ядер в момент време-

ни, принятый за начальный, то

−

= . Очевидно, что началь-

ная активность при t = 0

= λN

(1)

Поэтому закон изменения активности со временем выражает-

ся формулой

−

= . (2)

Начальную активность определим по формуле (1). Входящая

в эту формулу постоянная радиоактивного распада λ может быть

выражена через период полураспада соотношением λ = ln 2/T

1/2

= 0,693/T

1/2

Для

Mg период полураспада T

1/2

= 10 мин = 600 с. Следова-

тельно, λ = 0,693/600 с

–1

= 1,15 · 10

–3

–1

Число радиоактивных атомов N

, содержащихся в изотопе,

равно произведению числа Авогадро N

на количество вещества ν

данного изотопа:

NN== , где m – масса изотопа; µ – мо-

лярная масса. Выразив в этой формуле значения величин в системе

СИ, получим

923

0,210 6,0210

27 10

−

⋅⋅⋅

⋅

ядер = 4,46 · 10

ядер.

Вычислим по формуле (1) начальную активность изотопа:

= λN

= 1,15 · 10

–3

· 4,46 · 10

Бк = 5,13 · 10

Бк, или А

= 5,13 ТБк.

Активность через 6 ч (6 ч = 2,16⋅10

с) получим по формуле (2):

λ 12 1,510 2,16 10

5,13 10

Бк

81,3

Бк

ААe е

−

−−⋅⋅⋅

==⋅⋅ = .

152

Модуль 1. Кинематика.

Динамика поступательного движения

Вариант 1

Уравнение движения точки по прямой имеет вид: х = А +

+ B

⋅ t + C ⋅ t

м (А = 4 м, В = 2 м/с, С = 0,2 м/с

). Найдите среднюю

скорость за промежуток времени от 2 до 5 с.

Скорость поезда, при торможении двигающегося равноза-

медленно, уменьшается в течение 1 мин от 40 до 28 км/ч. Найдите

ускорение поезда и расстояние, пройденное им за время торможения.

Колесо радиусом R = 0,1 м вращается так, что зависимость

угла поворота от времени дается уравнением ϕ = (1 + 2t + t

), рад.

Для точек, лежащих на ободе колеса, найдите нормальное, танген-

циальное и полное ускорения через 2 с после начала вращения.

Диск равноускоренно вращается

вокруг оси (рисунок). Направление век-

тора угловой скорости точки А на ободе

диска совпадает со стрелкой…

Маховик получил начальную

угловую скорость 2π рад/с. Сделав 10

оборотов, он, вследствие трения в под-

шипниках, остановился. Найдите угло-

вое ускорение маховика, считая его постоянным.

Найдите силу тяги, развиваемую мотором автомобиля,

движущегося в гору с ускорением 1 м/с

. Угол наклона горы 30°.

Вес автомобиля 10

Н. Коэффициент трения равен 0,1.

Тело весом 10 Н, движущееся горизонтально со скоростью

м/с, догоняет второе тело весом 5 Н и сталкивается с ним. Какую

скорость получат тела, если: 1) второе тело стояло неподвижно;

второе тело двигалось со скоростью 0,5 м/с в том же направле-

нии, что и первое; 3) второе тело двигалось со скоростью 0,5 м/с

в противоположном направлении?

Танк весом 147,2 кН равномерно поднимается по уклону

в 30° и развивает мощность 368 кВт. С какой максимальной скоро-

стью движется танк на подъеме?

153

9. Брошенное вертикально вверх тело массы 200 г упало на

землю спустя 1,44 с. Найдите потенциальную энергию тела в верх-

ней точке траектории.

10.

Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с и сталки-

вается абсолютно неупруго с телом массой 3 кг, движущимся со

скоростью 1 м/с. Определите скорости тел после удара и количе-

ство выделившегося при ударе тепла, если тела движутся навстре-

чу друг другу.

Модуль 1. Кинематика.

Динамика поступательного движения

Вариант 2

График зависимости координаты

тела х имеет вид, указанный на рисунке.

Найдите зависимость х = х(t) и укажите,

какое это движение.

Поезд движется со скоростью 36 км/ч.

Если выключить ток, то поезд, двигаясь рав-

нозамедленно, останавливается через 20 с.

Найдите: а) ускорение поезда; б) на ка-

ком расстоянии до остановки надо вы-

ключить ток.

Точка движется по окружности радиусом R = 0,1 м с посто-

янным тангенциальным ускорением. Найдите нормальное ускоре-

ние точки через 20 с после начала движения, если известно, что

к концу 5-го оборота после начала движения линейная скорость

точки равна 10 см/с.

Диск равноускоренно вращает-

ся вокруг оси (рисунок). Направление

вектора углового ускорения точки А на

ободе диска совпадает со стрелкой…

Вентилятор вращается со ско-

ростью, соответствующей частоте

900

об/мин. После выключения венти-

лятор, вращаясь равнозамедленно, сде-

лал до остановки 75 об. Сколько вре-

154

мени прошло с момента выключения вентилятора до его полной

остановки?

На автомобиль массой 1 т во время движения действует си-

ла трения, равная 0,1 его силы тяжести. Найдите силу тяги, разви-

ваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с постоян-

ной скоростью в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути.

Два шарика массами 2 и 4 кг двигаются со скоростями

= 5 м/с и v

= 7 м/с. Определите скорости шаров после прямого

неупругого удара в случаях: 1) большой шар догоняет меньший;

шары движутся навстречу друг другу.

Какой кинетической энергией обладает тело массы 1 кг,

падающее без начальной скорости, спустя время 5 с после начала

падения?

Подъемный кран за время 7 ч поднимает массу 3000 т

строительных материалов на высоту 10 м. Какова мощность дви-

гателя крана, если КПД крана 0,6?

10.

Груз массой 25 кг висит на шнуре длиной 2,5 м. На какую

наибольшую высоту можно отвести в сторону груз, чтобы при

дальнейших свободных качаниях шнур не оборвался? Прочность

шнура на разрыв 550 Н.

Модуль 1. Кинематика.

Динамика поступательного движения

Вариант 3

Зависимость пути от времени дана уравнением: S = 2t

, м.

Найдите: а) среднюю скорость за первые 2 с движения; б) мгновен-

ное ускорение в момент времени t = 1 с.

Какова была скорость тела в начальный момент времени,

если, двигаясь с постоянным ускорением 2 м/с

, за 3 с тело прошло

путь 60 м?

Камень брошен с горы горизон-

тально со скоростью 15 м/с. Через какое

время его скорость будет направлена под

углом 45° к горизонту?

Диск равноускоренно вращается

вокруг оси (рисунок). Направление век-

155

тора тангенциального ускорения точки А на ободе диска совпадает

со стрелкой…

Тело, вращаясь с частотой 1200 об/мин, начало вращаться

равнозамедленно и остановилось, сделав 2000 об. Найдите величи-

ну углового ускорения и время, в течение которого произошла ос-

тановка тела.

В лифте, опускающемся с ускорением 3 м/с

, находится че-

ловек массой 60 кг. Найдите вес человека.

Человек массой 60 кг, бегущий со скоростью 3 м/с, догоня-

ет тележку массой 80 кг, движущуюся со скоростью 0,7 м/с, и вска-

кивает на нее. Найдите: 1) с какой скоростью станет двигаться те-

лежка? 2) с какой скоростью будет двигаться тележка, если человек

бежал ей навстречу?

Абсолютно неупругие шары массой 1 и 2 кг двигаются на-

встречу друг другу со скоростями соответственно 1 и 2 м/с. Найди-

те изменение кинетической энергии системы после удара.

Каково значение потенциальной энергии стрелы массой 50 г,

выпущенной из лука со скоростью 30 м/с вертикально вверх, через

с после начала движения?

10.

Молот массой m

= 200 кг падает на поковку, масса кото-

рой вместе с наковальней m

= 2500 кг. Скорость молота в момент

удара равна 2 м/с. Найдите энергию, затраченную на сотрясение

(

движение) фундамента. Удар молота о поковку считать неупругим.

Модуль 1. Кинематика.

Динамика поступательного движения

Вариант 4

1. График зависимости координаты

тела х имеет вид, указанный на рисунке.

Найдите зависимость х = х(t) и укажите,

какое это движение.

Поезд, достигнув скорости 54 км/ч,

стал двигаться равнозамедленно с ускоре-

нием –0,4 м/с

. Через сколько времени его

скорость уменьшится в 3 раза? Какой путь

он пройдет за это время?

156

3. По дуге окружности радиуса R = 10 м движется точка.

В некоторый момент времени нормальное ускорение точки равно

4,9

м/с

. В этот момент времени векторы полного и нормального

ускорений образуют угол 60°. Найдите скорость, тангенциальное

и полное ускорения точки.

Диск равнозамедленно вращает-

ся вокруг оси (рисунок). Направление

вектора угловой скорости точки А на

ободе диска совпадает со стрелкой…

Частота оборотов диска равна

об/с. С некоторого момента времени

диск тормозится и вращается равноза-

медленно с угловым ускорением 2 рад/с

Сколько оборотов он сделает до остановки?

Тело массой 100 кг, двигаясь по горизонтальной поверхно-

сти с некоторой начальной скоростью, проделало путь до остановки

м за 10 с. Найдите силу трения, действующую на тело.

Граната, летящая со скоростью 15 м/с, разорвалась на два

осколка массами 0,6 и 1,4 кг. Скорость большего осколка увеличи-

лась до 24 м/с. Определите скорость и направление движения

меньшего осколка.

Самолет для взлета должен иметь скорость 800 км/ч.

Длина разбега перед взлетом 150 м. Какова мощность моторов

при взлете, если вес самолета 10

Н и коэффициент трения колес

шасси о землю 0,02?

Тело брошено вертикально вверх со скоростью 49 м/с.

На какой высоте его кинетическая энергия будет равна потенци-

альной энергии?

10.

С вершины наклонной плоскости, имеющей длину 10 м

и высоту 5 м, начинает двигаться без начальной скорости тело. Ка-

кую скорость будет иметь тело у основания плоскости? Коэффици-

ент трения между телом и плоскостью 0,2.

157

Модуль 1. Кинематика.

Динамика поступательного движения

Вариант 5

График зависимости координаты

тела х имеет вид, указанный на рисунке.

Найдите зависимость х = х(t) и укажите,

какое это движение.

Тело, брошенное вертикально

вверх, вернулось на землю через 3 с. Ка-

кова была начальная скорость тела? На

какую высоту оно поднялось?

Камень брошен под углом 30°

к горизонту с начальной скоростью 10 м/с.

Через какое время камень будет на высо-

те 1 м?

Диск равнозамедленно вращает-

ся вокруг оси (рисунок). Направление

вектора углового ускорения точки А на

ободе диска совпадает со стрелкой…

Материальная точка движется по

дуге окружности радиуса R = 5 см с по-

стоянным угловым ускорением 2 рад/с

. Найдите полное ускорение

точки к концу третьей секунды движения.

Тело массой 10 кг находится на наклонной плоскости, со-

ставляющей горизонтом угол 30°. Коэффициент трения тела о плос-

кость µ = 0,6. Какую силу нужно приложить к телу, чтобы подни-

мать его вверх с ускорением 2 м/с

Два тела движутся без трения навстречу друг другу. Для

тела 1: m

= 5 кг; v

= 4 м/c (движется слева направо), для тела 2:

= 3 кг; v

= 2 м/c. Куда и с какой скоростью будут двигаться те-

ла после неупругого столкновения?

Тело движется под действием постоянной силы в 2 Н по за-

кону S = 6t + 4t

. Направление силы совпадает с направлением пе-

ремещения. Определите среднюю мощность в промежутке времени

от t

= 3 c до t

= 5 c.

158

9. Каково значение потенциальной энергии стрелы массой

г, выпущенной из лука со скоростью 30 м/с вертикально вверх,

через 2 с после начала движения?

10.

Тяжелый шарик, подвешенный на нерастяжимой и невесо-

мой нити, имеющей длину 1 м, отклоняют от вертикали на угол 60° и

отпускают. Какую максимальную скорость приобретет шарик?

Модуль 1. Кинематика.

Динамика поступательного движения

Вариант 6

Уравнение движения задано выражением: х =

, м. Опре-

делите: а) ускорение в момент времени t = 5 с; б) среднее ускорение

за первые 5 с движения.

Тело двигалось с постоянным по величине и направлению ус-

корением. Скорость его в конце пятой секунды была 1,5 м/с, в конце

шестой тело остановилось. Определите начальную скорость тела.

Точка движется по окружности радиусом R = 0,2 м с по-

стоянным тангенциальным ускорением 5 см/с

. Через сколько

времени после начала движения нормальное ускорение точки бу-

дет вдвое больше тангенциального?

Диск равнозамедленно вращается

вокруг оси (рисунок). Направление векто-

ра тангенциального ускорения точки А на

ободе диска совпадает со стрелкой…

Маховое колесо, спустя 1 мин

после начала вращения, приобретает

скорость, соответствующую частоте

720

об/мин. Найдите угловое ускорение

колеса и число оборотов колеса за эту минуту. Движение считать

равноускоренным.

Два бруска с массами m

= 2 кг и m

= 3 кг, связанные ни-

тью, двигаются по гладкой поверхности стола под действием гори-

зонтальной силы F = 15 Н, приложенной

ко второму бруску (рисунок). Определите

силу натяжения нити.

159

7. Шарик массы 100 г подлетает к стенке со скоростью 5 м/с

по направлению нормали к стенке, упруго ударяется о нее и отска-

кивает. Найдите изменение импульса шарика.

Тело движется по закону S = 14t + t

под действием посто-

янной силы 10 Н. Определите мощность, развиваемую движущимся

телом через 3 с после начала движения.

С башни высотой 20 м горизонтально со скоростью v

= 10 м/с

брошен камень массой 400 г. Пренебрегая сопротивлением воздуха,

определите потенциальную энергию через 1 с полёта.

10.

Шар массой 1 кг, катящийся без скольжения, ударяется

о стенку и отскакивает от нее. Скорость шара до удара о стенку

= 10 см/с, после удара v

= 8 см/с. Найдите количество тепла Q,

выделившееся при ударе.

Модуль 1. Кинематика.

Динамика поступательного движения

Вариант 7

Зависимость пройденного телом пути от времени дается урав-

нением: S = А + Bt + Ct

+ Dt

, где А = 0,5 м, В = 0,1 м/с, С = 0,14 м/с

D = 0,01

м/с

. Через сколько времени после начала движения ускоре-

ние тела будет равно 1 м/с

Тело падает вертикально с высоты Н = 19,6 м с нулевой на-

чальной скоростью. За какое время тело пройдет первый и послед-

ний метры своего пути?

Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным

ускорением 0,5 м/с

. Определите полное ускорение точки на участке

кривой с радиусом кривизны R = 3 м, если точка движется на этом

участке со скоростью 2 м/с.

Диск равноускоренно вращается

вокруг оси (рисунок). Направление век-

тора угловой скорости точки А на ободе

диска совпадает со стрелкой…

Диск вращается с частотой

об/мин. При равномерном торможении

диск остановился в течение 5 мин. Сколько

оборотов он сделал до остановки?

160

6. Два груза массами 6 и 4 кг

соединены шнуром, перекину-

тым через блок. Масса шнура и масса блока много меньше массы

грузов. Трения в блоке нет. Определите ускорение грузов.

Снаряд массой 20 кг, летевший горизонтально со скоростью

500

м/с, попадает в платформу с песком массой 10 т и застревает

в песке. С какой скоростью стала двигаться платформа от толчка?

Автомобиль массой 2 т движется в гору. Уклон горы равен

м на каждые 100 м пути. Коэффициент трения 0,08. Найдите:

работу, совершенную двигателем автомобиля на пути 3 км;

мощность, развиваемую двигателем, если известно, что этот путь

был пройден за 4 мин.

Тело массой 0,5 кг бросают со скоростью 10 м/с под уг-

лом 30° к горизонту. Определите потенциальную энергию через 0,4 с

после начала движения.

10.

Для определения скорости снаряда используют балли-

стический маятник (ящик с песком). Определите скорость снаряда,

если его масса 10 кг, масса маятника 2 т и высота, на которую он

поднялся после попадания в него снаряда, Н = 30 см. Какова рабо-

та деформации?

Модуль 1. Кинематика.

Динамика поступательного движения

Вариант 8

Движение точки задано уравнением х = 4t – 0,05t

. Опреде-

лите момент времени, в который скорость равна нулю.

Шарик, скатываясь с наклонной плоскости, за первую секун-

ду прошел путь равный 10 см. Чему равен путь, пройденный шари-

ком за четвертую секунду? Начальная скорость шарика равна нулю.

Уравнение движения диска ра-

диусом R = 20 см имеет вид ϕ = 3 – t +

+ 0,1t

, рад. Определите тангенциаль-

ное, нормальное и полное ускорения

точек на окружности диска для момента

времени t = 10 с.

Диск равноускоренно вращается

вокруг оси (рисунок). Направление век-