Барков Ю.А., Зверев О.М., Перминов А.В. Сборник задач по общей физике

Подождите немного. Документ загружается.

4. При криволинейном движении ускорение

можно представить как сумму нормальной

и тангенциальной

составляющих:

τn

аа

Абсолютное значение этих ускорений:

= ;

;

aaa

где R – радиус кривизны в данной точке траектории.

Кинематическое уравнение равномерного движения мате-

риальной точки вдоль оси х (v = const, a = 0):

х = х

+ vt,

где х

– начальная координата, t – время.

Кинематическое уравнение равнопеременного движения

вдоль оси х (а = const):

xx vt=+⋅+

где v

– начальная скорость; t – время.

Скорость точки при равнопеременном движении вдоль оси Х

v = v

+ at.

Положение твердого тела (при заданной оси вращения) оп-

ределяется углом поворота (или угловым перемещением) φ

. Кине-

матическое уравнение вращательного движения:

= f (t).

Угловая скорость

dφ

Угловое ускорение

dω

Угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение

являются псевдовекторами, их направления совпадают с осью вра-

щения и определяются по правилу правого винта.

Кинематическое уравнение равномерного вращения (ω =

= const,

ε = 0):

φ = φ

+ωt,

где φ

– начальное угловое перемещение; t – время.

Т – период вращения (время одного полного оборота):

;

ν – частота вращения (число оборотов в единицу времени):

или

где N – число оборотов, совершаемых телом за время t,

ω =

2π

2πν

10. Кинематическое уравнение равнопеременного вращения

(ε = const):

φφ ω

⋅

=+⋅+

где ω

– начальная угловая скорость; φ = 2πN.

Угловая скорость тела при равнопеременном вращении

ω = ω

+ εt.

11. Связь между линейными и угловыми величинами, харак-

теризующими вращение материальной точки:

S = φ · R; v = ω · R; a

= ε · R; a

Примеры решения задач

№ 1

. Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Один,

имея скорость

18 км/ч, движется равнозамедленно с ускорением

0,2 м/с

; другой, имея скорость 5,4 км/ч, движется равноускоренно

с тем же ускорением. Через какое время велосипедисты встретятся

и какой путь проедет каждый из

них до встречи, если расстояние

между ними в начальный момент времени 130 м?

Р е ш е н и е.

Начало системы координат

(т. 0) помещаем в точку, где в

начальный момент времени на-

ходился первый велосипедист,

а ось

Х совпадает с направлением его движения (рисунок).

На чертеже изображаем векторы скоростей и ускорений обоих ве-

лосипедистов. Очевидно, что

= 0, х

= S. Уравнения движения

велосипедистов с учетом выбранного положительного направления

оси

Х будут:

= v

⋅ t – a

⋅ t

/2; x

= S – v

⋅ t – a

⋅ t

/2.

В момент встречи

(t = τ) х

= х

. Тогда, с учетом того,

что

получаем

01 02

130

51,5

===

20 с;

= x



t = τ

= v

⋅τ =

a ⋅

= 5⋅20 –

0,2 20

⋅

= 60 м;

= S – S

= 130 – 60 = 70 м.

№ 2. Из орудия вылетает снаряд со скоростью v

под углом α

к горизонту. Определить: а) скорость (модуль и направление) и по-

ложение (координаты) снаряда в любой момент времени; б) время

подъема до наивысшей точки и время полета; в) высоту подъема

и дальность полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Р е ш е н и е.

Делаем чертеж (рисунок). Начало координат удобнее выбрать

на месте выстрела, оси

x и y направить в стороны полета снаряда.

Векторы скорости и перемещения изменяются по законам:

vv gt

=+⋅

GG G

Svt

⋅

=⋅+

, где

–

ускорение свободного паде-

ния. Разложим на проекции. Если

= 0 и y

= 0 – проекция переме-

щения равна координате:

cosα

(1)

sinα

(2)

vv gt



=⋅





=⋅ −⋅





;

cosα

(3)

sinα

(4)

xv t

yv t

=⋅







⋅

=⋅ ⋅−





По принципу независимости движений движение тела, бро-

шенного под углом к горизонту, мы представили как состоящее

из двух более простых: равномерного движения в горизонталь-

ном направлении и равноускоренного (с ускорением g) – в верти-

кальном.

Модуль скорости можно найти из уравнения

vvv

=+,

а направление (угол с горизонтом β) из соотношения

tgβ

= . При-

чем в точке, показанной на рисунке, угол β < 0, так как проекция

скорости v

< 0; это говорит о том, что снаряд уже уменьшает высоту.

В наивысшей точке траектории скорость

направлена гори-

зонтально, её проекция v

вy

= 0; подставив 0 в уравнение (2) получа-

ем время подъема

под

sinαv

⋅

= . Положив в уравнении (4)

у = 0,

получаем два корня: первый t = 0 соответствует началу полета, вто-

рой времени полета

пол

2sinαv

⋅⋅

= . Заметьте, t

пол

= 2 · t

под

, значит,

время подъема равно времени спуска.

Максимальную высоту подъема найдем из (4) подставив t

под

sin α

⋅

== . Эту же формулу можно получить, разложив на

проекции уравнение

⋅⋅= −

. Подставив t

пол

в (3) и вспом-

нив, что 2sinα · cosα = sin2α, получаем дальность полета снаряда

sin2αv

⋅

. Из формулы видно, что наибольшая дальность полета

при угле α = 45°.

Если в полученных выше формулах подставить α = 0°, полу-

чим формулы для вертикального движения. Если выразить время t

из (3) и подставить в (4), увидим что

траектория – парабола.

№ 3. Зависимость угла поворота тела от времени дается

уравнением ϕ =

А + Вt +Ct

+ Dt

, где А = 1 рад, В = 0,1 рад/с,

D = 0,01 рад/с

. Найти: а) угловой путь, пройденный за 3 с от на-

чала отсчета времени; б) среднюю угловую скорость; в) среднее

угловое ускорение за 3 с от начала движения.

Р е ш е н и е.

Угловой путь, пройденный за 3 с, ϕ = ϕ

– ϕ

, где ϕ

– угловой

путь, пройденный за 3 с (t

= 3c); ϕ

– угловой путь к моменту вре-

мени t

= 0 c.

а) из зависимости углового пути от времени ϕ(t) (см. условие

задачи) найдем ϕ

и ϕ

= А = 1 рад;

= А + Вt

+ Dt

= 1 + 0,1 ⋅ 3 + 0,02 ⋅ 3

+ 0,01 ⋅ 3

= 1,75 рад;

ϕ = ϕ

– ϕ

= 1,75 – 1 = 0,75 рад.

б) средняя угловая скорость за 3 с от начала вращения выра-

жается формулой

φφ1, 75 1

ω 0,25

ад

30tt

−−

<>= = =

−−

в) среднее угловое ускорение за 3 с от начала вращения

ωω

−

<>=

−

где ω

– угловая скорость в момент времени t

= 3 c; ω

– угловая

скорость в момент времени t

= 0 с.

Мгновенную угловую скорость найдем по определению

dφ

= B + 2Ct + 3Dt

Подставим числовые данные:

= 3 с, ω

= 0,1 + 2 ⋅ 0,2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 0,01 ⋅ 3

= 0,49 рад/с;

= 0 c, ω

= B = 0,1 рад/с.

Среднее угловое ускорение

ε> =

0,49 0,1

0,13

−

рад/с

№ 4. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону

ϕ = 10 + 20t – 2t

Найти полное ускорение точки (величину и направление), на-

ходящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения, для момента вре-

мени t = 4 с.

Р е ш е н и е.

Каждая точка вращающегося тела описывает окружность.

Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может

быть найдено как геометрическая сумма тангенциального

, на-

правленного по касательной к траектории, и нормального

, на-

правленного к центру кривизны траектории:

aaa

=+ (1)

Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающего-

ся тела выражаются формулами:

= ε · R, (2)

= ω

R, (3)

где ω – угловая скорость тела; ε – его угловое ускорение; R – рас-

стояние точки от оси вращения.

Подставляя формулы (2) и (3) в (1), находим

22 42 2 4

εω εω

aRRR=+=+

(4)

Угловая скорость вращающегося тела равна первой произ-

водной от угла поворота по времени:

dφ

20 4 .

==−

В момент времени t = 4 с угловая скорость

ω = (20 – 4 ⋅ 4)

–1

= 4 рад/с.

Угловое ускорение вращающегося тела равно первой произ-

водной от угловой скорости по времени:

dω

4 рад

==−

Это выражение не содержит аргумента времени t, следова-

тельно, угловое ускорение имеет постоянное значение, не завися-

щее от времени.

Подставив значения ω и ε в формулу (4), получим

0,1 ( 4) 4

=⋅−+=1,65 м/с

1.2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Динамика – раздел механики, в котором изучается движение

тел с причинно-следственной точки зрения, т.е. под действием дру-

гих тел. Из опыта известно, что все тела взаимодействую между

собой. Меру взаимодействия тел, в результате которого тела де-

формируются или приобретают ускорение, называют силой.

Основная задача динамики материальной точки состоит в том,

чтобы найти законы движения точки, зная приложенные к ней си-

лы, или, наоборот, по известным законам движения определить си-

лы, действующие на эту точку. Для овладения методом решения

этих задач необходимо усвоить следующее: понятие силы как век-

тора, имеющее абсолютное значение (модуль), направление и точку

приложения; формулировки и физическую сущность трех законов

Ньютона; типы сил, рассматриваемых в механике (трения, упруго-

сти, тяготения). Рекомендуется придерживаться следующей после-

довательности действий:

Выбрать систему отсчета (см. главу «Кинематика»).

Найти все силы, действующие на тело, и изобразить их на

чертеже. Определить (или предположить) направление ускорения

и изобразить его на чертеже.

Следует помнить, что, говоря о движении какого-либо тела,

например поезда, самолета, автомобиля и т.д., мы подразумеваем

под этим движение материальной точки. Расставляя силы, прило-

женные к телу, необходимо все время руководствоваться третьим

законом Ньютона, помня, что силы могут действовать на это тело

только со стороны других тел: со стороны Земли это будет сила тя-

жести, равная

; cо стороны нити – сила натяжения

;

со сторо-

ны поверхности – силы нормальной реакции N

и трения

тр

Записать для данного тела (тел) уравнение второго закона

Ньютона в векторной форме и перейти к скалярной записи, заменив

все векторы их проекциями на оси координат.

Исходя из физической природы сил, выразить силы через

величины, от которых они зависят. Скажем, силу трения нужно

представить через коэффициент трения и силу нормального давле-

ния, если известно, что тело скользит по поверхности.

5. Если в задаче требуется определить положение или скорость

точки, то к полученным уравнениям динамики добавить кинематиче-

ские уравнения.

Решить полученную систему уравнений относительно ис-

комых величин.

Основные формулы

1. Импульс материальной точки, движущейся поступательно

со скоростью v:

pmv

Второй закон Ньютона

pFt

Fma

∑

где

– сила, действующая на тело.

Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

= –kx,

где k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость); х –

абсолютная деформация;

б) вес

– сила, с которой тело действует на опору или подвес;

в) сила гравитационного притяжения

где m

и m

– массы взаимодействующих тел; r – расстояние между

телами (тела – материальные точки или сферы);

г) сила тяжести

F = mg,

где g – ускорение свободного падения;

д) сила трения скольжения

тр

= µN,

где µ – коэффициент трения; N – сила нормальной реакции опоры.

Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы

не изменяется с течением времени:

вн

const,

при

mv F

∑∑

Для двух тел (i = 2)

122112

mv m v mu mu

+=+

GGGG

где v

и v

– скорости тел в момент времени, принятый за начальный;

и u

– скорости тех же тел в момент времени, принятый за

конечный.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно

или

mv p

Потенциальная энергия:

а) упруго деформированной пружины

Wkx

= ,

где k – жесткость пружины; х – абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия

=−

где G – гравитационная постоянная; m

и m

– массы взаимодейст-

вующих тел; r – расстояние между ними (тела – материальные точ-

ки или сферы);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

= mgh,