Барков Ю.А., Зверев О.М., Перминов А.В. Сборник задач по общей физике

Подождите немного. Документ загружается.

Скорость v колеблющейся точки определяем, взяв первую

производную смещения х по времени:

cos

vAt

Учтем, что v

max

= Aω(cosϕ = 1), и подставим это выражение

в уравнение энергии W

к,max

Найдем амплитуду колебаний

= .

Выразим амплитуду через период Т, учитывая что

2π

= :

2π

= .

Произведем вычисления:

ω = π

–1

;

1210

0,045

3,14 10

−

⋅

м.

Записываем уравнение гармонических колебаний для дан-

ной точки:

х = 0,045sinπt.

Второй закон Ньютона

max

= ma.

Ускорение колеблющейся точки найдем, взяв первую произ-

водную скорости по времени:

sin

aAt

==−

Максимальное ускорение (при sinωt = 1)

mах

| = Aω

Запишем выражение силы:

mах

| = mAω

Произведем вычисления:

mах

= 0,01 ⋅ 0,045 ⋅ 3,14

Н = 4,44 · 10

–3

Н.

№ 2. Складываются два колебания одинакового направления,

заданные уравнениями:

= cosπ(t + 1/6),

= 2cosπ(t +1/2)

(длина в см, время в с). Определить амплитуды, периоды и началь-

ные фазы складывающихся колебаний; написать уравнение резуль-

тирующего колебания.

Р е ш е н и е.

1. Запишем уравнение гармонического колебания в общем виде:

x = A cos

2π







(1)

2. Приводим заданные уравнения в соответствие с общим

уравнением:

= A cos







(2)

= A cos







(3)

3. Сравним уравнения (2) и (3) с (1). Из сравнения:

= 1 см;

= 2 см.

2π

= πt;

2π

= πt; ⇒ T

= 2 c; T

= 2 c.

= π/6 рад = 30°; ϕ

= π/2 рад = 90°.

Для написания уравнения результирующего колебания необ-

ходимо определить параметры результирующего колебания:

T, А, ϕ

1. Так как периоды колебаний одинаковы, период результи-

рующего колебания будет тот же:

T = 2c.

2. Для определения амплитуды ре-

зультирующего колебания

А удобно вос-

пользоваться векторной диаграммой. В сис-

теме координат

х0y откладываем под углами,

соответствующими начальным фазам, век-

торы амплитуд

. На них, как на сто-

ронах, строим параллелограмм, диагональ

которого и будет амплитудой результирую-

щего колебания. Ее величину определим,

используя теорему косинусов:

А =

12 12

2cosφ

AA AA++ ∆

Подставим числовые значения:

1 2 2 1 2cos(90 30 ) 7 2,6

A =++⋅⋅ °−°== см.

Начальную фазу результирующего колебания определяем

по тангенсу угла ϕ

112 2

sinφ

sin

tgφ

cosφ

cos

откуда начальная фаза

112

sinφ

arctg

cos

Подставляем данные:

1sin30 2

φ arctg arctg2,88=71 0,4π

ад

1cos30

°+

==°=

Таким образом, параметры результирующего колебания найдены:

А = 2,6 см; Т = 2 с; ϕ = 0,4π рад.

Запишем закон колебания:

2π

2,6cos 0,4π







или

x = 2,6 cosπ(t + 0,4).

№ 3.

Материальная точка участвует одновременно в двух вза-

имно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения ко-

торых имеют вид:

x = cosπt, (1)

y = 2cos

(2)

(амплитуда – в см, время – в с).

Определить траекторию точки.

Р е ш е н и е.

Для определения траектории необходимо получить зависи-

мость координат

y = f (x). Для этого из уравнений (1) и (2) следует

исключить время. Применив формулу косинуса половинного угла:

1cos

cos ,

можно записать

y = 2

1cos

cos

=±

Так как cosπ

t = x(1),

=±

у =

22,

x±+

или

= 2 +2x.

№ 4. Физический маятник представляет собой стержень дли-

ной

l = 1 м и массой 3m

с прикрепленным к одному из его концов

обручем диаметром

D = l/2 и массой m

. Горизонтальная ось маят-

ника проходит через середину стержня перпендикулярно ему. Оп-

ределить период

T колебаний этого маятника.

Р е ш е н и е.

1. Период колебаний физического

маятника

2π

mgd

= (1)

где

I – момент инерции маятника отно-

сительно оси колебаний;

m – его масса;

d – расстояние от центра масс маятника

(точка

С) до оси колебаний (точка О).

2. Определим момент инерции сис-

темы. Момент инерции маятника равен сумме моментов инерции

стержня

и обруча I

I = I

+ I

. (2)

Момент инерции стержня относительно оси, перпендикуляр-

ной стержню и проходящей через его центр масс, определим по

формуле

Iml

= В данном случае m = 3m и

Iml

Момент инерции обруча находим по теореме Штейнера:

= I

+ ma

где

– момент инерции обруча относительно произвольной оси;

– момент инерции относительно оси, проходящей через центр

масс обруча параллельно заданной оси;

а – расстояние между ука-

занными осями.

21 1 1

448

Im ml ml

  

=+ =

  

  

Найдем момент инерции системы, подставив выражения

и I

в формулу (2):

222

111

157

488

ml ml ml=+=

3. Найдем расстояние

d от оси колебаний до центра масс ма-

ятника:

11 1

3416

mmlm

dll

mmmm

⋅+

== ==

∑

4. Определяем период колебаний

Т, подставив в формулу (1)

момент инерции маятника

I, расстояние d, массу системы (m = m

+ 3

= 4m

(7 /8) 7

2π

4 (3/16) 6

ml l

mg l g

Т = 2,17 с.

№ 5.

Волна распространяется по прямой со скоростью v = 20 м/с.

Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии l

= 12 м

и l

= 15 м от источника волн, колеблются по закону синуса с оди-

наковыми амплитудами

А = 0,1 м и с разностью фаз ∆ϕ = 0,75π. Найти

длину волны λ; написать уравнение волны; найти смещение указан-

ных точек в момент времени t = 1,2 с.

Р е ш е н и е.

1. Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном

длине волны λ, колеблются с разностью фаз, равной 2π; точки, на-

ходящиеся друг от друга на любом расстоянии ∆l, колеблются

с разностью фаз

∆

∆φ

Решим это уравнение относительно λ:

2π

=∆

∆

где ∆l – расстояние между точками, равное 3 м.

Подставим значения величин:

2π

λ 3

0,75π

= 8 м.

2. Запишем уравнение плоской волны:

s = Asin(ωt – kx),

где k – волновое число 2π/λ,

или s = Asinω(t –

2π











решая систему относительно ω, получаем:

2π 2π 20

−

⋅

== =

Уравнение волны

s = 0,1sin5π(t –

3. Найдем смещение s, подставляя в это уравнение значения t и l:

= 0,1sin5π(1,2 – 12/20) = 0,1sin3π = 0;

= 0,1sin5π(1,2 – 15/20) = 0,1sin2,25π = 1sin0,25π = 0,071 м.

Варианты заданий приведены на стр. 213–249.

ГЛАВА 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

И ТЕРМОДИНАМИКА

2.1. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Любое вещество состоит из огромного числа мельчайших частиц,

сохраняющих все химические свойства данного вещества. Эти мель-

чайшие частицы называются

молекулами. Сами молекулы состоят из

более простых частиц –

атомов. Например, молекула воды Н

О состоит

из трех атомов: одного атома кислорода и двух атомов водорода. Если

различного вида молекул известно огромное число (миллионы), то раз-

личных атомов совсем немного. В настоящее время известно 105 раз-

личных видов атомов, причем в природе их встречается 88, а 17 получе-

но искусственным путем. Это атомы так называемых химических эле-

ментов. Размеры молекул и составляющих их атомов чрезвычайно

малы: если представить их в виде шариков, то их радиус имеет числен-

ное значение порядка 10

–10

м. Зато число частиц в веществе очень вели-

ко. В одном грамме воды, например, содержится 3,3·10

молекул.

Массы атомов и молекул тоже малы, поэтому их удобнее из-

мерять не в килограммах, а в специальных единицах. Эта единица

называется

атомной единицей массы [а.е.м.]. Согласно современ-

ным измерениям 1 а.е.м. = 1,66·10

–27

кг.

В молекулярной физике удобно использовать понятие

коли-

чества вещества. Единица количества вещества называется молем.

По определению, моль любого вещества – это такое количество ве-

щества, которое содержит столько же молекул (или атомов, если

вещество состоит из одноатомных молекул), сколько их содержится

в 0,012 кг углерода

. Из определения моля следует, что моль

любого вещества состоит из одинакового числа молекул. Это число

называется

числом Авогадро N

. Масса одного моля вещества назы-

вается его

молярной массой µ [кг/моль]. Ясно, что µ = m

.Число

молекул в m [кг] вещества

NN N

=⋅ = .

2.2. ЗАКОНЫ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Идеальным газом называется такой газ, в котором силами

взаимодействия

молекул и размерами молекул можно пренебречь.

Время от времени молекулы сталкиваются между собой, но столк-

новения происходят настолько редко, что большую часть времени

молекулы газа движутся равномерно и прямолинейно. Чем более

разряжен реальный газ, тем ближе его свойства к свойствам иде-

ального. Для такого газа оказывается возможным получить зависи-

мость между его макроскопическими параметрами p, V и

Т, рас-

сматривая движение одной молекулы, а затем усредняя это движе-

ние по огромному числу составляющих этот газ молекул.

Задачи на расчет параметров состояния газов можно разде-

лить на две основные группы. К первой следует отнести задачи,

в которых рассматриваются два или несколько состояний газа по-

стоянной массы и к которым, следовательно, применимо уравнение

объединенного газового закона (уравнение Клапейрона):

122

pV pV

⋅⋅

= .

Вторую группу составляют задачи, в условии которых дана

масса газа или рассматриваются процессы, в которых масса газа

изменяется.

I. Если по условию задачи даны два состояния газа и при пе-

реходе газа из одного состояния в другое его масса не меняется, то для

решения задачи можно рекомендовать следующую последовательность:

1. Составить схему, отметив каждое состояние газа, указать

параметры

р, V, Т, характеризующие эти состояния. Определить из

условия, какой из этих

трёх параметров не меняется. В общем слу-

чае могут изменяться все три параметра.

2. Записать для данных двух состояний уравнение объединен-

ного газового закона. Если какой-либо параметр считается неизмен-

ным, уравнение автоматически переходит в одно из трех уравнений,

выражающих закон Бойля-Мариотта, Гей-Люссака или Шарля.

3. Представить в развернутом виде параметры

, V

, р

, V

выразив

их через заданные величины. Естественно, что речь идет

о параметрах, заданных косвенно (например, V = m/ρ или

р = F/S).

4. Записать математически все вспомогательные условия

и решить полученную систему уравнений относительно неизвест-

ной величины.

В задачах на газовые законы рекомендуется пользоваться

только абсолютной температурой и сразу же переводить значения

температуры по шкале Цельсия в значения по шкале Кельвина.

II. Если по условию задачи дано только одно состояние газа

и требуется определить какой-либо параметр этого состояния или

же даны два состояния с разной массой газа, то рекомендуется по-

ступать так:

1. Установить, какие газы участвуют в paссматриваемых

процессах.

2. Для каждого состояния газа составить уравнение Менде-

леева – Клапейрона. Если дана смесь газов, то это уравнение запи-

сывают для каждого компонента. Связь между значением давле-

ний отдельных газов и давлением смеси устанавливается законом

Дальтона.

3. Записать математически дополнительные условия задачи

и решить полученную систему уравнений относительно искомой

величины.

Основные формулы

1. Уравнение Менделеева – Клапейрона (уравнение состояния

идеального газа)

ν .

VRTRT==

где m – масса газа; µ – молярная масса газа; R – молярная газовая

постоянная; ν – количество вещества;

Т – термодинамическая тем-

пература.

2. Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями

уравнения Менделеева – Клапейрона для изопроцессов:

а) закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс:

Т = const,

m = const)

pV = const,