Барков Ю.А., Зверев О.М., Перминов А.В. Сборник задач по общей физике

Подождите немного. Документ загружается.

9. Термический КПД цикла Карно (имеет наибольший КПД)

1212

QTT

−−

где Т

и Т

– термодинамические температуры нагревателя и холо-

дильника.

10. Изменение энтропии при переходе из состояния 1 в со-

стояние 2

−=

∫

Примеры решения задач

№ 5.

Вычислить удельные теплоемкости при постоянном

объеме c

и при постоянном давлении с

неона и водорода, при-

нимая эти газы за идеальные.

Р е ш е н и е.

Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются фор-

мулами:

2 µ

c = , (1)

2 µ

= , (2)

где i – число степеней свободы молекулы газа; µ – молярная масса.

Для неона (одноатомный газ) i = 3 и µ =20⋅10

–3

кг/моль. Вычис-

ляя по формулам (1) и (2), получим:

38,31

Дж

кг К

)6,2410

Дж

кг К

);

22010

−

=⋅=⋅⋅

⋅

328,31

Дж

кг К

)1,0410

Дж

кг К

22010

−

=⋅=⋅⋅

⋅

Для водорода (двухатомный газ) i = 5 и µ = 2⋅10

–3

кг/моль.

Вычисляя по тем же формулам, получим:

38,31

Дж

кг К

)

22010

−

=⋅=

⋅

1,04⋅10

Дж/(кг· К)

528,31

Дж

кг К

)1,4610

Дж

кг К

)

22010

−

=⋅=⋅⋅

⋅

№ 6. Вычислить удельные теплоемкости с

и c

смеси неона

и водорода, если массовая доля неона ω

= 80 %, массовая доля во-

дорода ω

= 20 %. Значения удельных теплоемкостей газов взять из

предыдущего примера.

Р е ш е н и е.

Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме с

найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания

смеси на ∆T, выразим двумя способами:

Q = c

)∆T, (1)

Q = (с

V,1

+ c

V,2

)∆T, (2)

где c

V,1

– удельная теплоемкость неона; c

V,2

– удельная теплоемкость

водорода.

Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе части по-

лученного равенства на ∆T, получим:

+ m

) = с

V,1

+ c

V,2

откуда

,1 ,2

12 12

VV V

cc c

mmm

(3)

или

= c

V,1

V,2

(4)

где

ωиω

– массовые доли неона и водорода в смеси,

Подставив в формулу (4) числовые значения величин, найдем

= (6,24·10

·0,8 + 1,04·10

·0,2) Дж/(кг·К) = 2,58·10

Дж/(кг· К).

Рассуждая таким же образом, получим формулу для вычисле-

ния удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

= c

р,1

р,2

(5)

Подставим в формулу (5) числовые значения величин:

= (1,04·10

·0,8 + 1,46·10

·0,2) Дж/(кг·К) = 3,75·10

Дж/(кг· К).

№ 7. Кислород массой т = 2 кг занимает объем V

= 1 м

и находится под давлением p

= 0,2 MПа. Газ был нагрет сначала

при постоянном давлении до объема V

= 3 м

, а затем при постоян-

ном объеме до давления p

= 0,5 МПа. Найти изменение ∆U внутрен-

ней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, передан-

ную газу.

Р е ш е н и е.

Изменение внутренней энергии газа выражается формулой

2 µ

cmT mT∆= ∆= ∆ (1)

где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных мо-

лекул кислорода i = 5), µ – молярная масса.

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравне-

ния Клапейрона – Менделеева pV =

= . (2)

Выпишем заданные величины в системе СИ: m = 2 кг, µ =

= 32⋅10

–3

кг/моль, R = 8,31 Дж/(моль⋅К), V

= 1 м

, V

= V

= 3 м

= р

= 0,2 МПа = 2⋅10

Па, р

= 0,5 МПа = 5⋅10

Па. Подставляя

эти значения в выражение (2) и выполняя арифметические дейст-

вия, получим:

2. 10 1 32 10

385

;

28,31

−

⋅⋅⋅⋅

⋅

2. 10 3 32 10

1155

1,16

кК

;

28,31

−

⋅⋅⋅⋅

===

⋅

5. 10 3 32 10

2887

2,89

кК

28,31

−

⋅⋅⋅⋅

===

⋅

Подставляя в выражение (1) числовые значения величин, вхо-

дящих в него, находим:

()

58,31

2 2887 385

Дж

3,24 10

Дж

3,24

МДж

23210

−

∆= − = ⋅ =

⋅

Работа расширения газа при постоянном давлении выражает-

ся формулой

RT=∆

Подставляя числовые значения величин, получим:

()

8,31 1155 385

Дж

0,400 10

Дж

0,4

МДж

32 10

−

=−=⋅=

⋅

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна ну-

лю, т.е. А

= 0. Следовательно, полная работа, совершенная газом,

равна А = А

+ А

= 0,4⋅10

Дж.

Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, пере-

данная газу, равна сумме изменения внутренней энергии ∆U и рабо-

ты А; Q = ∆U + А, следовательно, Q = 0,4⋅10

Дж + 3,24⋅10

Дж =

= 3,64⋅10

Дж = 3,64 МДж.

№ 8. В цилиндре под поршнем находится водород массой

m = 0,02 кг при температуре Т = 300 К. Водород

сначала расши-

рился адиабатически, увеличив свой объем в n

= 5 раз, а затем был

cжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n

= 5 раз. Най-

ти температуру в конце адиабатического расширения и работу, со-

вершенную газом при этих процессах.

Р е ш е н и е.

Температуры и объемы газа, совершающего адиабатический

процесс, связаны между собой соотношением

γ 1

21 2

12 1

, или

TV T

VTn

−







где γ – отношение теплоемкости газа при постоянном давлении

и постоянном объеме (для водорода как двухатомного газа γ =1,4),

= V

= 5.

Отсюда получаем выражение для конечной температуры T

−

= .

Подставляя числовые значения заданных величин, находим

1,4 1 0,4

300 300

КК

−

==.

Так как 5

0,4

= 1,91, то Т

= 157 К.

Работа A

газа при адиабатическом расширении может быть

определена по формуле

() ()

112 12

µµ2

mmi

ACTT RTT

=−= −

где С

– молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Подставив числовые значения величин: R = 8,31 Дж/(моль К)

и i = 5 (для водорода как двухатомного газа), µ = 2⋅10

–3

кг/моль,

m = 0,02 кг, T

= 300 К, T

= 157 К в правую часть последней фор-

мулы, получим:

()

0,02 5 8,31

300 157

Дж

2,98 10

Дж

210 2

−

⋅⋅

=−=⋅

⋅⋅

Работа А

газа при изотермическом процессе может быть вы-

ражена в виде

22 22

или

ln ,

µµ

mV m

ART ART

где n

= V

= 5.

Подставляя известные числовые значения величин, входящих

в правую часть этого равенства, находим

0,02 1

8,31 157ln

Дж

–2 10

Дж

210 5

−

=⋅=⋅

⋅

Знак «минус» показывает, что при сжатии работа газа совер-

шается над газом внешними силами.

№ 9.

Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно.

Температура нагревателя Т

= 500 К. Определить термический КПД

цикла и температуру Т

охладителя тепловой машины, если за счет

каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина

совершает работу А = 350 Дж.

Р е ш е н и е.

Термический КПД тепловой машины, называемый также ко-

эффициентом использования теплоты, показывает, какая доля теп-

лоты, полученной от нагревателя, превращается в механическую

работу. Термический КПД выражается формулой

= ,

где Q

– теплота, полученная от нагревателя; А – работа, совершен-

ная рабочим телом тепловой машины. Подставив числовые значе-

ния в эту формулу, получим

350

0,35.

1000

Зная КПД цикла, можно по формуле

ТТ

−

= определить

температуру охладителя

= Т

(1 – η).

Подставив в эту формулу полученное значение КПД и темпе-

ратуру T

нагревателя, получим:

= 500(1 – 0,35) К = 325 К.

№ 10. Найти изменение ∆S энтропии при нагревании воды мас-

сой m = 100 г от температуры t

= 0 °С до температуры t

= 100 °С

и последующим превращением воды в пар той же температуры.

Р е ш е н и е.

Найдем отдельно изменение энтропии ∆S′′ при нагревании

воды и изменение энтропии ∆S′′ при превращении ее в пар. Полное

изменение энтропии выразится суммой

∆S′′ и ∆S′′.

Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой

SS S

∆= − =

∫

. (1)

При бесконечно малом изменении температуры нагреваемого

тела затрачивается количество теплоты dQ = mcdT, где m – масса

тела; c – его удельная теплоемкость. Подставив выражение dQ в равен-

ство (1), получим формулу для вычисления изменения энтропии при

нагревании воды:

mc T

′

∆=

∫

Вынесем за знак интеграла постоянные величины и произве-

дем интегрирование, тогда получим

Smc

′

∆= .

Выразим заданные величины в единицах СИ: m = 0,1 кг;

= 273 К; T

= 373 К; c = 4190 Дж/кг К; λ = 2,26 МДж/кг.

После вычислений найдем

∆S′ = 132 Дж/К.

При вычислении по формуле (1) изменение энтропии во

время превращения воды в пар той же температуры постоянная

температура Т

выносится за знак интеграла. Вычислив интеграл,

найдем

∆= =

∫

, (2)

где Q – количество теплоты, переданное при превращении нагретой

воды в пар той же температуры.

Подставив в равенство (2) выражение количества теплоты

Q = λm, где λ – удельная теплота парообразования, получим

′′

∆= . (3)

Произведя вычисления по формуле (3), найдем

′′

∆

= 605 Дж/К.

Полное изменение энтропии при нагревании воды и после-

дующем превращении ее в пар:

∆S = ∆S′+

′′

∆

= 737 Дж/К.

Варианты заданий приведены на стр. 249–274.

ГЛАВА 3. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

3.1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Задачи по электростатике удобно разделить на три группы.

К первой можно отнести задачи о точечных зарядах и системах,

сводящихся

к ним, ко второй – все задачи о заряженных телах, раз-

мерами которых нельзя пренебречь, к третьей – задачи на опреде-

ление емкости, потенциала или заряда какого-либо тела, расчет со-

единений конденсаторов и энергии электрического поля.

Решение задач

первой группы основано на применении за-

конов механики совместно с законом Кулона и вытекающих из

него следствий. Такие задачи рекомендуется решать в следую-

щем порядке:

1. Расставить силы, действующие на точечный заряд, поме-

щенный в электрическое поле, записать для него уравнение равно-

весия или уравнение второго закона Ньютона.

2. Выразить силы электрического взаимодействия через заря-

ды и характеристики поля и подставить эти выражения в исходное

уравнение. Силы взаимодействия зарядов можно рассчитать

или по

закону Кулона, или по формуле

qE=⋅

считая, что один из заря-

дов находится в поле действия другого.

3. Если при взаимодействии заряженных тел между ними

происходят перераспределение зарядов, к составленным уравнени-

ям добавляют уравнение закона сохранения зарядов.

4. Далее записывают вспомогательные формулы и решают

систему уравнений относительно неизвестной величины.

Проводя вычисления полезно помнить

, что множитель

4πε

k =

входящий во многие

расчетные формулы, равен 9⋅10

м/Ф. Именно

такое значение и

следует подставлять в окончательную формулу.

Во

вторую группу входят задачи, связанные с расчетами на-

пряженности и потенциала электрического поля, создаваемого сис-

темами точечных зарядов, заряженными плоскостями и телами сфе-

рической формы.

В задачах на вычисление напряженности электрического поля

особое внимание нужно обратить на векторный характер

– векторы напряженности электрического поля уединенно-

го точечного заряда направлены от заряда, если он положителен,

и к заряду, если он отрицателен;

– поле заряженной плоскости однородно; векторы напряжен-

ности поля плоскости направлены перпендикулярно ее поверхности

от плоскости, если ее заряд положителен, и к плоскости, если заряд

отрицателен;

– для электрического поля заряженной сферы в точках, рас-

положенных за ее пределами, векторы напряженности направлены

так же, как у точечного заряда, находящегося в центре сферы; внут-

ри сферы электрическое поле равно нулю;

– для поля шара, заряженного равномерно по объему, в точ-

ках, расположенных за его пределами, векторы напряженности

направлены так же, как у сферы; внутри – как у точечного заряда,

помещенного в центр шара (совпадают только направления, а не

величины!); если шар проводящий, то нескомпенсированные заря-

ды расположатся на его поверхности, что с точки зрения электро-

статики эквивалентно заряженной сфере;

– электрическое поле внутри проводника и внутри полой про-

водящей оболочки отсутствует (это справедливо независимо от на-

личия у проводника заряда и внешнего электрического поля).

При решении задач данной группы часто используется метод

дифференцирования и интегрирования (метод ДИ).

Сущность метода ДИ

заключается в следующем.

Предположим, что физи-

ческий закон имеет вид

K = LM, где K, L,

М – неко-

торые физические величи-

ны. Выделим столь малый

промежуток d

М изменения

величины

М, чтобы изме-