Барков Ю.А., Зверев О.М., Перминов А.В. Сборник задач по общей физике

Подождите немного. Документ загружается.

или для двух состояний газа

= p

;

б) закон Гей-Люссака (изобарный процесс:

р = const, m = const)

const,

или для двух состояний

;

в) закон Шарля (изохорный процесс: V = const, m = const)

const,

или для двух состояний

;

г) объединенный газовый закон (m = сonst)

122

const,

или

pV pV p V

TTT

где p

, V

, T

– соответственно давление, объем и температура

газа в начальном состоянии; p

, V

, T

– те же величины в конеч-

ном состоянии.

3. Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов

= р

+ р

+…+ р

где

– парциальные давления компонентов смеси; n – число ком-

понентов смеси.

Парциальным давлением называется давление газа, которое

производил бы газ, если бы только он один находился в сосуде, за-

нятом смесью при температуре смеси.

Молярная масса смеси газов

...

mm m

νν

где m

– масса i-го компонента смеси; ν

– количество вещества i-го

компонента смеси; n – число компонентов смеси.

Массовая доля i-го компонента смеси газа (в долях единицы

или процентах)

где m – масса смеси.

4. Концентрация молекул

где N – число молекул, содержащихся в данной системе; ρ – плот-

ность вещества; V – объем системы. Формула справедлива не толь-

ко для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества.

5. Основное уравнение кинетической теории газов

pnm=⋅

где <v> – средняя квадратичная скорость поступательного движе-

ния молекулы; m

– масса молекулы.

6. Зависимость давления газа от концентрации молекул и тем-

пературы

p = nkT.

7. Скорости молекул:

кв

> =

kT RT

– среднеквадратичная;

<v> =

ππµ

kT RT

– среднеарифметическая;

v =

– наиболее вероятная,

где m

– масса одной молекулы.

Примеры решения задач

№ 1

. Определить число N молекул, содержащихся в объеме

V = 1 мм

и массу т

молекулы воды.

Р е ш е н и е.

Число N молекул, содержащихся в некоторой массе m, равно

произведению числа Авогадро N

на количество вещества ν:

N = νN

Так как количество молей вещества

ν = m/µ,

где µ – молярная масса, то

N= .

Выразив в этой формуле массу как произведение плотности

на объем V, получим

N= (1)

Подставим в формулу (1) следующие значения величин: ρ =

= 10

кг/м

; V = 1 мм

= 10

–9

, µ = 18·10

–3

кг/моль; N

= 6,02·10

моль

–1

и произведем вычисления:

10 10

6,02 10

18 10

−

=⋅

⋅

молекул = 3,34⋅10

молекул.

Массу одной молекулы можно найти делением молярной мас-

сы на число Авогадро:

= µN

Подставив сюда числовые значения µ и N, найдем массу мо-

лекулы воды:

18 10

6,02 10

−

⋅

кг = 2,99 ⋅10

–26

кг.

№ 2. В баллоне объемом V = 10 л находится гелий под давле-

нием

= 1 МПа, при температуре Т

= 300 К. После того как из

баллона было взято

т = 10 г гелия, температура в баллоне понизи-

лась до

= 290 К. Определить давление р

гелия, оставшегося

в баллоне.

Р е ш е н и е.

Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева –

Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа.

= (1)

где

– масса гелия в баллоне в конечном состоянии; µ – молярная

масса гелия; R – универсальная газовая постоянная.

Из уравнения (1) выразим искомое давление p

= . (2)

Массу гелия

выразим через массу т

и массу m гелия, взя-

того из баллона:

– m

= m. (3)

Массу гелия

найдем также из уравнения Менделеева –

Клапейрона, применив его к начальному состоянию:

= (4)

Подставляя в выражение (3) массу

из формулы (4), а затем

полученное выражение

в формулу (2), найдем

pV RT

RT V



=−





или после преобразования и сокращения

mRT

Выразим величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ

и произведем вычисления:

= 1 МПа = 10

Па; m = 10 г = 10

–2

кг;

µ = 4⋅10

–3

кг/моль; R = 8,31 Дж/моль⋅К; Т

= 300 К; T

= 290 К;

V = 10

–2

№ 3. Баллон содержит m

= 80 г кислорода и т

= 320 г арго-

на. Давление смеси

р = 1 МПа, температура T = 300 К. Принимая

данные газы за идеальные, определить объем V баллона.

Р е ш е н и е.

По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных

давлений газов, входящих в состав смеси.

По уравнению Менделеева – Клапейрона, парциальные дав-

ления кислорода

и аргона р

выражаются формулами:

µµ

RT m RT

Следовательно, по закону Дальтона давление смеси газов

или

µµ

mmRT

pp p p



=+ = +





откуда объем баллона

µµ

mmRT







. (1)

Выразим в единицах СИ числовые значения величин, входя-

щих в эту формулу: m

= 0,08 кг, µ

= 32⋅10

–3

кг/моль, т

= 0,32 кг,

= 40⋅10

–3

кг/моль, р

= 1 МПа = 10

Па, R = 8,31 Дж/моль⋅К.

Подставим числовые значения в формулу (1) и произведем

вычисления:

336

0,08 0,32 8,31 300

0,0262

26,2

32 10 40 10 10

−−

⋅



=+ = =



⋅⋅



№ 4. Найти среднюю кинетическую энергию < ε

вращ

> вра-

щательного движения одной молекулы кислорода при температуре

Т = 350 К, а также кинетическую энергию E

вращательного дви-

жения всех молекул кислорода массой

т = 4 г.

Р е ш е н и е.

Известно, что на каждую степень свободы молекулы газа при-

ходится одинаковая средняя энергия <ε

> = ½ kТ, где k – постоянная

Больцмана,

Т – абсолютная температура газа. Так как вращательному

движению двухатомной молекулы (молекула кислорода – двухатом-

ная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия враща-

тельного движения молекулы кислорода выразится формулой

вращ

<>= (1)

Подставив в формулу (1) значения k = 1,38 10

–23

Дж/К и Т = 350 К,

получим:

<ε

вращ

> = 1,38 10

–23

·350Дж = 4,83 10

–21

Дж.

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул

газа определяется равенством

= <ε

вращ

>N. (2)

Число всех молекул

газа можно вычислить по формуле

N = N

ν, (3)

где N

– число Авогадро; µ – количество вещества.

Если учесть, что количество молей вещества

ν = m/µ, где т –

масса газа, µ – молярная масса газа, то формула (3) примет вид

NN= .

Подставив это выражение в формулу (2), получим:

квращ

=<> (4)

Выразим величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ:

= 6,02 10

моль

–1

, т = 4 г = 4⋅10

–3

кг, µ = 32⋅10

–3

кг/моль, <ε

вращ

= 4,83 ⋅10

–21

Дж. Подставив эти значения в формулу (4), найдем

= 6,02 10

410

4,83 10

32 10

−

⋅

Дж = 364 Дж.

2.3. ТЕПЛОТА И РАБОТА. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

Любое тело (твердое, жидкое, газообразное), находящееся

в состоянии теплового равновесия, которое характеризуется его

макроскопическими параметрами

р, V и Т, обладает определенным

запасом

внутренней энергии U. Внутренняя энергия тела складыва-

ется из кинетической энергии движения молекул, кинетической

энергии движения атомов внутри молекулы (если молекула не од-

ноатомная), потенциальной энергии взаимодействия между атома-

ми внутри молекулы и потенциальной энергии взаимодействия мо-

лекул между собой. В нее, однако, не входит кинетическая энергия

движения тела как целого и потенциальная энергия внешних сил,

действующих на тело.

Внутренняя энергия тела обладает тем замечательным свой-

ством, что при переходе тела из какого-то первоначального состоя-

ния 1

(р

, V

, Т

) в конечное состояние 2 (р

, V

, Т

) изменение

внутренней энергии ∆U

не зависит от того, с помощью какого про-

цесса произошел этот переход, и

∆U = U

– U

где

– внутренняя энергия тела в начальном и U

– в конечном

состояниях. Если над телом совершается

циклический процесс, то

изменение внутренней энергии при этом ∆U = 0, так как U

= U

(в результате циклического процесса тело возвращается в исходное

состояние). Поэтому говорят, что внутренняя энергия тела является

функцией состояния.

Изменение внутренней энергии и передача ее от одного тела

к другому происходит в процессе взаимодействия тел. Есть два спосо-

ба, две формы такого взаимодействия. При первом способе внутренняя

энергия одного тела изменяется за счет изменения энергии упорядо-

ченного (механического) движения частиц другого тела (механической

работы, электризации, перемагничивания, облучения). Мерой измене-

ния энергии упорядоченного движения частиц вещества в процессе

макроскопического взаимодействия тел служит работа

А.

Во втором случае изменение внутренней энергии происходит

вследствие соударения хаотически движущихся молекул сопри-

касающихся тел.

Процесс изменения внутренней энергии тела, обусловленный

передачей теплового движения молекул без совершения работы

внешней средой, называют тепловым процессом или процессом те-

плопередачи.

Мерой взаимодействия тел, приводящего к изменению энер-

гии хаотического движения и взаимодействия молекул (мерой энер-

гии хаотического движения, переданной от одного тела к другому

в процессе теплообмена), служит величина Q, называемая коли-

чеством теплоты.

При решении задач на определение количества тепла, полу-

ченного или отданного рабочим телом за цикл, работы за цикл или

КПД цикла, удобно придерживаться следующей последовательности:

1. Внимательно рассмотрев циклический процесс, ясно пред-

ставить, в каких процессах участвует рабочее тело. Часто удобно

изобразить цикл графически на диаграмме

р–V; если по условию

задачи цикл уже задан графически, но в переменных

р–T или V–T,

то перестроить его на диаграмму

р–V, отметив параметры состоя-

ния в начале и конце каждого процесса.

2. Найти работу

А, совершаемую рабочим телом (или над

ним), и количество тепла Q, полученное (или отданное) им, для всех

рассматриваемых процессов, составляющих цикл.

3. Проанализировав условие задачи, установить, на каких уча-

стках цикла рабочее тело отдавало тепло, а на каких получало. Сумма

количеств теплоты на участках, где Q > 0 будет равна количеству

теплоты, полученной рабочим телом за цикл, т.е. теплу, полученному

от нагревателя

. Сумма количеств теплоты в процессах, где Q < 0,

будет равна теплоте, отданной за цикл холодильнику

4. Работу

А за цикл вычислить как алгебраическую сумму ра-

бот на каждом из его участков. Если график цикла в переменных

р–V

представляет собой простую геометрическую фигуру (треугольник,

квадрат, трапеция и т.п.), то работу можно определить как площадь

фигуры, ограниченной петлей цикла; при этом работа положительна,

если состояние рабочего тела изменяется в цикле по часовой стрелке,

в противном случае – отрицательна.

5. Вычислить КПД цикла.

Если тепловая машина работает по

циклу Карно, то схема решения задач такая же, как для произволь-

ного цикла, за исключением, что КПД такой машины можно также

вычислить через температуры нагревателя

и холодильника Т

Следует также помнить, что машина Карно получает тепло

лишь на участке изотермического расширения, а отдает – на участке

изотермического сжатия. При этом количество полученного или

отданного тепла за цикл равно работе соответствующего изотерми-

ческого процесса.

Основные формулы

1. Среднекинетическая энергия поступательного движения

молекулы

<ε

> =

kT,

где k – постоянная Больцмана.

Полная средняя кинетическая энергия молекулы

<ε

> =

где i – число степеней свободы молекулы.

2. Внутренняя энергия идеального газа

µ 2 µ

mi m

RT C

3. Теплоемкость тела

= .

Удельная теплоемкость

= .

Молярная теплоемкость

d µ

νdd

tmt

== .

4. Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (

)

и постоянном давлении (

2 µ

RiR

Связь между удельной и молярной

С теплоемкостями

с = С/µ, С = сµ.

Уравнение Майера

– с

= R.

5. Работа расширения газа:

∫

– в общем случае;

А = р(V

– V

) – при изобарном процессе;

ART

= – при изотермическом процессе.

6. Первое начало термодинамики:

Q = ∆U + A,

где Q – теплота, сообщенная системе (газу); ∆U – изменение внут-

ренней энергии системы;

А – работа, совершенная системой против

внешних сил.

7. Адиабатный процесс – процесс в теплоизолированной сис-

теме (ΣQ

= 0). Уравнения Пуассона, связывающие параметры иде-

ального газа при адиабатном процессе:

V = const,

−













;

(γ

1)/

−







γ 1

или

µ γ 1 µ

mRTmV

AU с TA

−





=−∆ =− ∆ = −





−







где γ – показатель адиабаты, γ = с

8. Термический КПД цикла

−

где Q

– теплота, полученная рабочим телом от теплоисточника;

– теплота, переданная рабочим телом теплоприемнику.