Барков Ю.А., Зверев О.М., Перминов А.В. Сборник задач по общей физике

Подождите немного. Документ загружается.

нением величины на этом промежутке можно было пренебречь (ри-

сунок). Таким образом, приближенно на участке d

М можно L счи-

тать постоянной (L = const).

Тогда

dK = L(M) · dM,

где dK – изменение величины K на участке dM.

Используя принцип суперпозиции (суммируя величины по

всем участкам изменения величины

М), получаем значение величи-

ны K в виде

()

KLMM

∫

где М

и М

– начальное и конечное

значения величины

М. Таким образом, метод ДИ состоит из двух

частей. В первой

находят дифференциал искомой величины. Для

этого в большинстве случаев производят или деление тел на столь

малые части, чтобы последние можно было принять за материаль-

ные точки, или деление большого промежутка времени на такие

малые промежутки времени dt, чтобы в течение этих малых проме-

жутков процесс можно было п р и б л и ж е н н о считать равно-

мерным (или стационарным), и т. д.

Во второй части метода

производят суммирование (ин-

тегрирование). Наиболее трудными в этой части являются выбор

переменной интегрирования и определение пределов интегрирова-

ния. Для определения переменной интегрирования необходимо де-

тально проанализировать, от каких переменных зависит дифферен-

циал искомой величины и какая переменная является главной, наи-

более существенной. Эту переменную чаще всего и выбирают в

качестве переменной при интегрировании. После этого все осталь-

ные переменные выражают как функции от этой переменной. В ре-

зультате

дифференциал искомой величины принимает вид функции

от переменной интегрирования. Затем определяют пределы интег-

рирования как крайние (предельные) значения переменной интег-

рирования. После вычисления определенного интеграла получают

числовое значение искомой величины.

Третью группу составляют задачи на определение емкости,

потенциала или заряда какого-либо тела, расчет соединений кон-

денсаторов и энергии электрического поля.

Если по условию задачи дано одно заряженное тело, то вели-

чины, характеризующие электрические свойства тела, связаны меж-

ду собой известными формулами:

εε

⋅⋅

222

qU CU q

⋅⋅

== =

⋅

С учетом зависимости потенциала от величины заряда эти

формулы позволят найти одни из величин, если другие заданы.

Следует иметь в виду, что если плоский конденсатор подклю-

чить к источнику питания, зарядить его и затем отключить, то при

изменении емкости конденсатора

С вследствие раздвижения (сбли-

жения) пластин, внесения (удаления) диэлектрика заряд на конден-

саторе не меняется. Что при этом происходит с напряжением U или

энергией конденсатора

Е легко установить, анализируя вышеприве-

денные формулы.

Если же конденсатор подключен к источнику по-

стоянного напряжения, то при всех изменениях емкости конденса-

тора напряжение между его пластинами остается неизменным.

Основные формулы

1. Закон Кулона:

12 12 12

12 21

; ,

εε

qr qq

FF F

=− = ⋅ ⋅ =

4 4

где

– сила, с которой заряд q

действует на заряд q

;

– равная

ей и противоположно направленная сила;

– радиус-вектор, на-

правленный от q

к q

; r – модуль

; ε – диэлектрическая прони-

цаемость среды,

; Е

– напряженность электростатического

поля в вакууме;

Е – напряженность электростатического поля внут-

ри однородного диэлектрика; ε

– электрическая постоянная.

2. Напряженность электрического поля и потенциал:

, φ

где W

– потенциальная энергия положительного точечного заряда

q, находящегося в данной точке поля.

Сила, действующая на точечный заряд q, находящийся в элек-

трическом поле, и потенциальная энергия этого заряда

;

FqE

= qϕ.

3. Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным

зарядом q:

, φ

πε ε πε ε

где r – расстояние от заряда q до точки, в которой определяются

напряженность или потенциал.

4. Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой

точечных зарядов (принцип суперпозиции полей):

; φφ

∑∑

где

– напряженность и потенциал в данной точке поля, созда-

ваемого i-м зарядом.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого сферой ра-

диусом R на расстоянии r от центра сферы:

а) 0; φ (при

);

4πε ε

ErR

== <

б)

; φ (при

);

4πε ε 4πε ε

== =

в)

; φ (при

4πε ε 4πε ε

== >

где q – заряд сферы.

Линейная плотность заряда

τ dd

или τ = q/l.

Поверхностная плотность заряда

σ dd

или σ = q/S.

Объемная плотность заряда

или ρ = q/V.

Связь заряда и плотностей dq = σdS = τd l= ρdV.

7. Напряженность и потенциал поля, создаваемого распреде-

ленными зарядами. Если заряд равномерно распределен вдоль ли-

нии с линейной плотностью τ, то на линии выделяется малый уча-

сток длиной dl с зарядом dq = τdl. Такой заряд можно рассматри-

вать как точечный и применять формулы:

ττd

d;dφ

4πεε

πεε

rr r

где

– радиус-вектор, направленный от выделенного элемента dl

к точке, в которой вычисляется напряженность; r – его модуль.

Используя принцип суперпозиции электрических полей, нахо-

дим интегрированием напряженность

и потенциал ϕ поля, созда-

ваемого распределенным зарядом:

; φ

4ππε 4ππε

lr l

rr r

∫

Интегрирование ведется вдоль всей длины l заряженной линии.

8. Напряженность поля, создаваемого бесконечно прямой рав-

номерно заряженной линией или бесконечно длинным цилиндром,

ππε

2 r

где r – расстояние от нити или оси цилиндра до точки, в которой

определяется напряженность поля.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно

заряженной плоскостью,

2εε

Электрическое смещение (электрическая индукция)

εε

Теорема Гаусса:

εε

ES q

∑

∫v

или

∑

∫v

10. Связь потенциала с напряженностью:

а)

φE =−

grad или

φφφ

()

Ei j k

∂∂∂

=− + +

∂∂∂

в общем случае,

где

– единичные векторы вдоль осей координат (орты);

б)

φφ

−

в случае однородного поля;

в)

dφ

=−

в случае поля, обладающего центральной или

осевой симметрией.

11. Электрический момент диполя

Pql

где q – заряд; l – плечо диполя (векторная величина, направленная

от отрицательного заряда к положительному и численно равная

расстоянию между зарядами).

12. Работа сил поля по перемещению заряда q из точки поля

с потенциалом ϕ

, в точку с потенциалом ϕ

()

212

d φφ

AqElq==−

∫

13. Электроемкость уединенного тела и конденсатора

С =

где ϕ – потенциал проводника; U – разность потенциалов пластин

конденсатора.

Следует помнить, что при изменении электрической емкости

конденсатора, подключенного к источнику напряжения, меняется

величина заряда на его пластинах, а разность потенциалов остается

постоянной и равной ЭДС источника тока. При изменении емкости

конденсатора, отключенного от источника напряжения, меняется

разность потенциалов на его пластинах, а величина заряда остается

при этом неизменной.

Электроемкость плоского конденсатора

C =

εε

где S – площадь одной пластины конденсатора; d – расстояние меж-

ду пластинами.

Электроемкость батареи конденсаторов:

а)

∑

при последовательном соединении;

б)

∑

при параллельном соединении,

где N – число конденсаторов в батарее.

Энергия заряженного конденсатора:

222

qU CU q

== =,

εε

WEV

где V – объем конденсатора.

Объемная плотность энергии электрического поля

εε

Примеры решения задач

№ 1.

Три точечных заряда q

= q

= 1 нКл расположены

в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд q

нужно

поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов

находилась в равновесии?

Р е ш е н и е.

Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника,

находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить,

какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы какой-

нибудь один из трех зарядов, например q

, находился в равновесии.

Заряд q

будет находиться в равновесии, если векторная сумма дей-

ствующих на него сил равна нулю:

234 4

FFFFF++=+=

GGGG

, (1)

где

– силы, с которыми соответственно действуют на

заряд q

заряды q

, q

;

– равнодействующая сил

Так как силы

направлены по одной прямой в проти-

воположные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить

скалярным равенством F – F

= 0, откуда

= F.

Выразив в последнем равенстве F через F

и F

и учитывая,

что F

= F

, получим

2cos

FF F== .

Применяя закон Кулона и имея в виду, что q

= q

, найдем

14 1

πε πε

qq q

cos

откуда

αqr

cos2

. (2)

Из геометрических построений в равностороннем треуголь-

нике (α = 60°) следует, что

r == =

°cos30

cos

С учетом этого формула (2) примет вид

q = .

Подставив числовое значение q

= 1 нКл = 10

–9

Кл, получим

пКлq

−

==⋅=

5,77 10 577

Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет не-

устойчивым.

№ 2. Тонкий стержень длиной l = 20 см несет равномерно

распределенный заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии

а = 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд q

= 40 нКл,

который взаимодействует со стержнем с силой F = 6 мкН. Опреде-

лить линейную плотность τ заряда на стержне.

Р е ш е н и е.

При вычислении силы F

следует иметь в виду, что заряд

на стержне не является точеч-

ным, поэтому закон Кулона не-

посредственно применить нель-

зя. Применим метод ДИ. Выде-

лим на стержне малый участок dr

с зарядом dq = τdr. Этот заряд можно рассматривать как точечный.

Тогда, согласно закону Кулона,

τd

πε

qrr

, (1)

где

– сила взаимодействия заряда q

и заряда, участка dr. Так

как все

сонаправлены, можно воспользоваться скалярным вы-

ражением для

πε

(2)

Интегрируя это выражение в пределах от а до а + l, получим

11 1

τ d ττ

πε πε

πε

()

qrq ql

raa aal



==−=





∫

00 0

44 4

откуда интересующая нас линейная плотность заряда

πε

()

Выразим все величины в единицах СИ: q

= 40 нКл = 4·10

–8

Kл,

F = 6

мкН = 6·10

–6

Н, l = 0,2 м, а = 0,1 м,

4πε

910

⋅

Ф/м,

= 8,85·10

–12

Ф/м.

Подставим числовые значения величин в полученную форму-

лу и произведем вычисления:

()

−

⋅+ ⋅⋅

⋅⋅⋅ ⋅

0,1 0,1 0, 2 6 10

910 410 0,2

Кл/м = 2,5·10

–9

Кл/м = 2,5 нКл/м.

№ 3

. Два точечных электрических заряда q

= 1 нКл и q

= –2 нКл находятся в воздухе на расстоянии

d = 10 см друг от друга.

Определить напряженность

и потенциал φ поля, создаваемого

этими зарядами в точке

А, удаленной от заряда q

на расстоянии

= 9 см и от заряда q

на r

= 7 см.

Р е ш е н и е.

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, ка-

ждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространст-

ве других зарядов. Поэтому напряженность

электрического по-

ля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма

напряженностей

полей, создаваемых каждым зарядом

в отдельности:

ЕЕ=+

GG G

. Напряженность электрического поля,

создаваемого в воздухе (ε = 1) зарядом q

πε

, (1)

зарядом q

–

πε

. (2)

Вектор

направлен по силовой линии от заряда q

, так как

заряд q

положителен; вектор

направлен также по силовой ли-

нии, но к заряду q

, так как заряд q

отрицателен.

Абсолютное значение вектора

Е найдем как следствие из тео-

ремы косинусов:

12 12

2cosαEEE EE=++ , (3)

где α – угол между векторами

, который может быть найден

из треугольника со сторонами r

, r

и d по теореме косинусов: