Барков Ю.А., Зверев О.М., Перминов А.В. Сборник задач по общей физике

Подождите немного. Документ загружается.

101

– I

= 0,05;

50 I

+ 25 I

= 1;

100 I

+ 0,05·20 = ε

Перенеся в этих уравнениях неизвестные величины в левые

части, а известные – в правые, получим следующую систему урав-

нений:

– I

= 0,05; 50 I

+ 25 I

= 1; 100 I

– ε

= –1.

Эту систему с тремя неизвестными можно решить обычны-

ми приемами алгебры, но так как по условию задачи требуется оп-

ределить только одно неизвестное ε

из трех, воспользуемся мето-

дом Крамера.

Составим и вычислим определитель ∆ системы:

() ()

110

50 25 0 1 25 50 75.

50 25

100 0 1

−

∆= = − =− + =−

−

Составим и вычислим определитель ∆ε

()

110,05

25 1 50 1 50 25

ε 50 25 1 1 1 0,05

0 1 100 1 100 0

100 0 1

−

∆= = −− + =

−−

−

25 50 125 300.

=− − − =−

Разделив определитель ∆ε

на определитель ∆, найдем число-

вое значение ЭДС ε

= –300/(–75) = 4 В.

№ 6.

Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом на-

растает в течение времени ∆t = 2 с по линейному закону от I

= 0 до

= 6 А. Определить теплоту Q, выделившуюся в этом проводнике

за вторую секунду.

Р е ш е н и е. Закон Джоуля – Ленца в виде Q = I

Rt справед-

лив только для постоянного тока (I = const). Если же сила тока

102

в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бес-

конечно малого промежутка времени и записывается в виде

dQ = I

Rdt. (1)

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени.

В нашем случае

I = kt + I

, (2)

где k – коэффициент пропорциональности, численно равный при-

ращению силы тока в единицу времени, т.е.

A/c

∆

===

∆

С учетом (2) формула (1) примет вид

dQ = k

dt. (3)

Для определения теплоты, выделившейся за конечный проме-

жуток времени ∆t, выражение (3) следует проинтегрировать в преде-

лах от t

до t

()

22 233

QkRtt kRt t

==−

∫

При определении теплоты Q, выделившейся за вторую секун-

ду, пределы интегрирования t

= 1 с, t

= 2 с, тогда

()

Q =⋅⋅ −=

320 81 420

Дж.

Варианты заданий приведены на стр. 310–339.

3.3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Задачи по теме электромагнетизма можно разделить на две

основные группы: задачи о силовом действии однородного магнит-

ного поля на проводники с током и заряженные частицы и задачи на

закон электромагнитной индукции.

103

Задачи расчетного характера о силах, действующих на про-

водники с током в однородном магнитном поле, удобно решать по

следующей схеме:

Сделать схематический чертеж, на котором указать контур

(

проводник) с током и направление линий магнитной индукции по-

ля. Обозначить углы между направлением вектора

и отдельными

элементами контура, если последний состоит из нескольких про-

водников.

Используя правило левой руки, определить направление

сил Ампера, действующих на каждый элемент контура, и нанести

их на чертеж.

Если в задаче рассматривается равновесие проводника, то,

помимо сил Ампера, нужно указать все остальные силы, приложен-

ные к проводнику, и записать условие его равновесия.

Решение задач на движение заряженных частиц в электро-

магнитных полях в большинстве случаев основано на составлении

основного уравнения динамики материальной точки с учетом сил,

действующих на заряженную частицу со стороны магнитного

и электрического полей. При нахождении направления силы Лоренца

следует обратить особое внимание на знак заряда частицы. Указав

силы, нужно попытаться определить вид траектории частицы.

Иногда это удается сделать просто, иногда это представляет ос-

новное содержание задачи.

При решении задач на закон электромагнитной индукции

следует придерживаться следующей последовательности действий:

Анализируя условие задачи, необходимо прежде всего уста-

новить причины изменения магнитного потока, сцепленного с конту-

ром и определить, какая из величин – В, S или α – изменяется с тече-

нием времени. После этого нужно записать закон Фарадея. Если в за-

даче рассматривается поступательное движение прямого проводника,

то ЭДС индукции определяют по формуле ε = B ⋅l ⋅V ⋅sinα (l – длина

проводника, V – его скорость), вытекающей из закона электро-

магнитной индукции.

Выражение для Ф представить в развернутом виде. Для

этого выбирают два момента времени и для каждого из них опреде-

ляют потоки Ф

и Ф

, связанные с данным контуром. Изменение

магнитного потока будет равно или ∆Ф = (В

– В

)S⋅cosα, если из-

104

меняется индукция магнитного поля, или ∆Ф = В ⋅S(cosα

– cosα

при изменении положения рамки, или ∆Ф = В ⋅∆S⋅cosα, где ∆S –

изменение площади контура, описанного в пространстве движу-

щимся проводником.

Подставить выражение для ∆Ф в исходную формулу закона

Фарадея и, записав дополнительные условия, решить совместно по-

лученные уравнения относительно искомой величины.

Основные формулы

Связь магнитной индукции

с напряженностью

магнит-

ного поля.

µµ

где µ – магнитная проницаемость однородной среды; µ

– магнит-

ная постоянная. В вакууме µ = 1, и магнитная индукция в вакууме

Закон Био – Савара – Лапласа

µµ

Blr



=×



или

µµ

sin

dd,

где

– магнитная индукция поля, создаваемого элементом про-

вода длиной

c током I;

– радиус-вектор, направленный от

элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная

индукция; α – угол между радиус-вектором и направлением тока

в элементе провода.

Принцип суперпозиции магнитных полей

∑

или

∫

для

созданных элементом тока

Направление вектора магнитной индукции

поля, создавае-

мого прямым током, определяется по правилу буравчика (правого

винта). Для этого проводим магнитную силовую линию (штриховая

105

линия на рисунке) и по касательной

к ней в интересующей нас точке прово-

дим вектор

. Вектор магнитной ин-

дукции

в точке А направлен перпен-

дикулярно плоскости чертежа от нас.

Магнитная индукция в центре

кругового тока

µµ

где R – радиус кругового витка.

Магнитная индукция на оси кругового тока

223/2

µµ π

()

где h – расстояние от центра витка до точки, в которой определяет-

ся магнитная индукция.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода

с током (вывод этой формулы в примере № 1),

µµ

( αα

=−

cos cos

Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным

прямолинейным проводником с током,

µµ

где r

– расстояние от оси провода до точки, в которой определяется

магнитная индукция.

Магнитная индукция поля бесконечно длинного соленоида

B = µµ

· n · I,

где n – отношение числа витков соленоида N к его длине l.

Сила, действующая на элемент провода с током в магнит-

ном поле (закон Ампера),

106

FIlB



=×



где

– вектор, равный по модулю длине участка провода и совпа-

дающий по направлению с током; α – угол между направлением

тока в проводе и вектором магнитной индукции

Для однородного магнитного поля и прямого отрезка провода

получим:

sinαFIBl= .

Магнитный момент плоского контура с током

где

– единичный вектор нормали (положительной) к плоскости кон-

тура; I – сила тока, протекающего по контуру; S – площадь контура.

Механический вращающий момент, действующий на кон-

тур с током, помещенный в однородное магнитное поле:





=×





или sinα

sin

MpB IBS==⋅

где α – угол между векторами и

Сила Лоренца

qv B



=×



или sinαFqvB= ,

где

– скорость заряженной частицы; α – угол между векторами

Если частица находится одновременно в электрическом и маг-

нитном полях, то на нее действует сила

qE q v B



=+ ×



9. Магнитный поток (через поверхность S):

а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности

Ф = BScosα или Ф = B

где S – площадь контура; α – угол между нормалью к плоскости

контура и вектором магнитной индукции;

107

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности

∫

(

интегрирование ведется по всей поверхности).

Потокосцепление (полный поток) Ψ = NФ.

Эта формула верна для соленоида и тороида с равномерной

намоткой плотно прилегающих друг к другу N витков.

10.

Работа по перемещению замкнутого контура с током в маг-

нитном поле dA = IdФ или А = I ⋅ ∆Ф.

11.

Основной закон электромагнитной индукции (закон Фара-

дея – Максвелла):

ΨΦ

=− =−

Разность потенциалов на концах проводника, движущегося со

скоростью

в магнитном поле, U = Blv · sinα,

где l – длина провода; α – угол между векторами

Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении

магнитного потока, пронизывающего этот контур:

=− или

dqN

ΦΨ

=− =−

, где R – сопротивление контура.

12.

Индуктивность контура L = Ф/I.

Индуктивность соленоида L = µµ

lS,

где n – отношение числа витков соленоида к его длине; l – длина

соленоида, S – площадь его поперечного сечения.

13.

ЭДС самоиндукции

=−

14.

Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей со-

противлением R и индуктивностью L:

а)

(1 )

−

=− – при замыкании цепи, где ε – ЭДС источ-

ника тока; t – время, прошедшее после замыкания цепи;

108

б)

IIe

−

– при размыкании цепи, где I

– сила тока в це-

пи при t = 0; t – время, прошедшее с момента размыкания цепи.

15.

Энергия магнитного поля соленоида W =

Объемная плотность энергии магнитного поля (отношение

энергии поля к его объему)

w = BH/2 = B

/(2µµ

) =

µµ

Примеры решения задач

№ 1.

По отрезку прямого провода длиной l = 80 см течет ток

I = 50 А. Определить магнитную индукцию

поля, создаваемого

этим током в точке

А, равноудаленной от концов отрезка провода

и находящейся на расстоянии r

= 30 см от его середины.

Р е ш е н и е.

Для решения задачи воспользуемся законом Био – Савара –

Лапласа:

µµ

Blr



=×



(1)

и принципом суперпозиции магнит-

ных полей:

∫

, (2)

где символ l означает, что интегри-

рование распространяется на всю

длину провода,

– магнитная ин-

дукция, создаваемая элементом тока

в точке, определяемой радиус-

вектором

;

– магнитная посто-

янная;

µ – магнитная проницае-

мость среды, в которой находится

109

провод (в нашем случае µ = 1). Векторы

от различных эле-

ментов тока сонаправлены, поэтому выражения (1), (2) можно

переписать в скалярной форме:

µ α

sin

∫

где

α есть угол между вектором

и радиус-вектором

Таким

образом,

sin

4π

∫

. (3)

Выразим длину элемента провода dl через угол d

α: dl =

= rd

α/sinα.

Запишем выражение

sinα

в виде

sinα

sin

Перемен-

ная r также зависит от

α (r = r

/sinα), следовательно:

dα

sin

dα

Таким образом, выражение (2) можно переписать в виде

∫

sin

, где α

и α

– пределы интегрирования.

Выполним интегрирование:

()

αα

=−

cos cos

(4)

При симметричном расположении точки

А относительно отрезка

провода cos

= –cos α

. С учетом этого формула (4) примет вид

cos

. (5)

Из рисунка следует

222

cosα







110

Подставив выражение cosα

в формулу (5), получим

. (6)

Произведя вычисления по формуле (6), получим

В = 26,7 мкТл.

№ 2. Бесконечно длинный провод изогнут так, как изображе-

но на рисунке. Радиус R дуги окружности равен 10 см. Определить

индукцию

магнитного поля, создаваемого в точке О током I = 80 А,

текущим по этому проводу.

Р е ш е н и е.

Магнитную индукцию

в точке О найдем, используя прин-

цип суперпозиции магнитных полей:

∑

В нашем случае провод можно разбить на три части: два пря-

молинейных провода (1 и 3), одним концом уходящие в бесконеч-

ность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда

BB B B

=++

GG G G

где

– индукции магнитных полей в точке

О, создавае-

мые током первого, второго и третьего участков провода.

Так как точка

О лежит на оси провода 1,

= 0, и тогда

. Учитывая, что векторы

направлены в соот-

ветствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости черте-

жа от нас, геометрическое суммирование можно заменить алгеб-

раическим:

В = В

+ В