Барков Ю.А., Зверев О.М., Перминов А.В. Сборник задач по общей физике

Подождите немного. Документ загружается.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденса-

тора остается прежним, выразим разность потенциалов U

следую-

щим образом:

12 12

qCU

CC CC

Подставим выражение U

в формулу (3):

()

2222

1211

11 11 1 1

ССCU

С U С UCU

′

=− =−

222

После преобразований имеем

1 CC

′

Подставим числовые значения и вычислим W´:

мДж

−−

⋅⋅⋅

′

=⋅=

⋅+⋅

1310 510

1600 1,5

23 10 5 10

Варианты заданий приведены на стр. 275–310.

3.2. ПОСТОЯННЫЙ ТОК

Задачи на постоянный ток можно разделить на два типа:

вычисление сопротивлений, сил токов или напряжений на каком-

либо участке цепи; задачи на работу, мощность и тепловое дей-

ствие тока.

Из задач первого типа можно выделить вспомогательную

группу – задачи на вычисление сопротивлений отдельных провод-

ников и соединений из них. Если в условии задачи указано, из ка-

кого материала изготовлен проводник, или приводятся сведения

о его геометрических размерах или массе, то для нахождения не-

известной величины нужно воспользоваться формулой сопротив-

ления и соотношением между массой, объемом и плотностью про-

водника. Решение задач на вычисление сопротивлений сложных

соединений нужно начинать с анализа схемы и отыскания в ней

каких-нибудь двух (иногда более) проводников, соединенных друг

с другом последовательно или параллельно. Их сопротивление

следует заменить одним эквивалентным сопротивлением, исполь-

зуя соответствующие формулы:

посл

∑

парал

∑

и получить упрощенную схему. В схемах, представляющих собой

комбинацию последовательно и параллельно включенных провод-

ников, этот прием нужно применять несколько раз и таким образом

найти общее сопротивление.

При решении задач на определение силы тока, напряжения

или сопротивления на каком-либо участке цели следует:

а) начертить схему и указать на ней все элементы цепи – ис-

точники тока, резисторы и конденсаторы;

б) установить, какие элементы цепи включены последова-

тельно, какие – параллельно;

в) расставить токи и напряжения на каждом участке цепи;

г) используя законы Ома, установить связь между токами

и напряжениями (ЭДС). В результате получается система уравне-

ний, полностью отражающая условия задачи и позволяющая опре-

делить искомую величину.

Задачи второго типа можно, в свою очередь, разбить на три

группы. К первой группе относятся задачи на расчет электрической

цепи, аналогичные рассмотренным выше. Для их решения состав-

ляют те же уравнения законов Ома, но к ним добавляют формулы

мощности (работы). Особое внимание следует обратить на выбор

исходной формулы мощности. Если речь идет о мощности, выде-

ляемой на участке цепи, нужно пользоваться формулой

P = I ⋅ U = I

⋅ R = U

/R.

Мощность, развиваемая источником, – полная мощность, оп-

ределяется по формуле

= I ⋅ ε =

а мощность во внешней цепи источника тока

P = I ⋅ ε

– I

⋅ r =

()

⋅

Ко второй группе относятся задачи на тепловое действие

тока. Основным расчетным соотношением в них является закон

Джоуля – Ленца:

Q = I

⋅ R ⋅ t.

Если участок цепи не содержит источников тока, то количе-

ство теплоты, выделяющееся на этом участке, можно определять по

формуле

Q = I ⋅ U ⋅ t =

Третью, небольшую, группу составляют задачи о превраще-

нии электрической энергии в механическую, тепловую и химиче-

скую при работе электромашин постоянного тока. Решение таких

задач основано на применении уравнения закона сохранения и пре-

вращения энергии.

Основные формулы

1. Сила тока

где q – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за

время t.

Плотность тока

j = I/S,

где S – площадь поперечного сечения проводника.

Связь плотности тока со средней скоростью

упорядочен-

ного движения заряженных частиц

jqnv

где q – заряд частиц; n – их концентрация.

Закон Ома:

а)

φφ

−

– для участка цепи, не содержащего ЭДС

(для однородного участка цепи), где ϕ

– ϕ

= U – разность потен-

циалов (напряжение) на концах участка цепи; R – сопротивление

участка;

б)

(φφ

)

−±

= – для участка цепи, содержащего ЭДС (для

неоднородного участка цепи), где ε – ЭДС источника тока; R – пол-

ное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопро-

тивлений). Знаки «+» или «–» выбираются в зависимости от поляр-

ности включения источника.

в)

– для замкнутой (полной) цепи, где R – сопротив-

ление внешней цепи; r – сопротивление внутреннее (сопротивление

источника тока).

Правила Кирхгофа:

а)

I =

∑

– первое правило;

б) ε

IR=

∑∑

– второе правило,

где

∑

– алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле;

∑

– алгебраическая сумма произведений сил токов на сопро-

тивления участков замкнутого контура; ε

∑

– алгебраическая

сумма ЭДС в замкнутом контуре.

Сопротивление R и проводимость G однородного про-

водника:

R =

, G =γ

где ρ – удельное сопротивление; γ – удельная проводимость; l – дли-

на проводника; S – площадь поперечного сечения.

Зависимость удельного сопротивления от температуры:

()

ρρ

где α – температурный коэффициент сопротивления; t – температу-

ра по шкале Цельсия.

Сопротивление системы проводников:

а)

∑

– при последовательном соединении;

б)

∑

– при параллельном соединении,

где R

– сопротивление i-го проводника.

Работа тока:

dd dd

AIUtIRt t

=⋅⋅ = = .

Закон Джоуля – Ленца (тепловое действие тока):

dd d,

QAIRt

где dQ – количество теплоты, выделяющейся в проводнике; dt – про-

межуток времени, в течение которого выделялось тепло.

Мощность тока полной цепи

P = I

ε.

Мощность тока на внешнем участке цепи

P = IU = I

R = U

/R.

Закон Ома в дифференциальной форме

Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме

w =

γ E

где w – объемная плотность тепловой мощности (количество тепла,

выделяющегося в единице объема за единицу времени).

Примеры решения задач

№ 1.

Сила тока в проводнике равномерно нарастает от I

= 0

до I = 2 А в течение времени τ = 5 с. Определите заряд, прошедший

по проводнику.

Р е ш е н и е.

Так как сила тока в проводнике изменяется, воспользоваться

для подсчета заряда формулой Q= I · t нельзя. Поэтому возьмем

дифференциал заряда dQ = I · dt и проинтегрируем:

=⋅

∫

. (1)

В силу равномерного нарастания тока I = kt, где k – коэффи-

циент пропорциональности. Очевидно,

ττ

−

ddd.

Qktt tt

=⋅= ⋅

Проинтегрировав, получим

1 τ

Qtt=⋅=

∫

Подставим числовые значения:

⋅

Кл.

№ 2.

Найти полное сопротивление схемы (а), если она вклю-

чена в цепь в точках 1 и 2. R

= R

= R.

Р е ш е н и е.

Очевидно, что сопротивления R

и R

соединены последова-

тельно, так как в точке 4 разветвлений нет. Определив их общее со-

противление R

Э1

= 2R, представим схему в виде б. Теперь можно

выделить параллельно соединенные сопротивления R

Э1

и R

. Сопро-

тивление между точками схемы 2 и 3 R

Э2

⋅

Схему можно представить в виде в. Тогда имеем последователь-

но соединенные сопротивления R

Э2

и R

. Их общее сопротивле-

ние R

Э3

= R

Э2

+ R

. Наконец, общее сопротивление всей

схемы (схема г) равно сопротивлению параллельно включенных

сопротивлений R

Э3

и R

5/3 5

5/3 8

RR RR

⋅⋅⋅

== =

+⋅+

№ 3.

По железному проводнику, диаметр d сечения которого

равен 0,6 мм, течет ток 16 А. Определите среднюю скорость <v>

направленного движения электронов, считая, что концентрация n

свободных электронов равна концентрации п' атомов проводника.

Р е ш е н и е.

Средняя скорость направлен-

ного (упорядоченного) движения

электронов определяется по формуле

<v> =

, (1)

где t – время, в течение которого все

свободные электроны, находящиеся в отрезке проводника между

сечениями I и II, пройдя через сечение II, перенесут заряд Q = eN

и создадут ток

QeN

, (2)

где е – элементарный заряд; N – число электронов в отрезке про-

водника; l – его длина.

Число свободных электронов в отрезке проводника объемом V

можно выразить следующим образом:

N = n

· V = n · l · S, (3)

где S – площадь сечения.

По условию задачи п = п'. Следовательно,

/ ρ

AAA

NNN

⋅

′

== = =

, (4)

где N

– постоянная Авогадро; Vµ – молярный объем металла;

М – молярная масса металла; ρ – его плотность.

Подставив последовательно выражения п из формулы (4) в ра-

венство (3) и N из формулы (3) в равенство (2), получим

NlSe

⋅⋅⋅⋅

⋅

Отсюда найдем

IMt

NSe

⋅⋅

⋅⋅⋅

Подставив выражение I в формулу (1), сократив на t и выра-

зив площадь S сечения проводника через диаметр d, найдем сред-

нюю скорость направленного движения электронов:

πρ

⋅

⋅⋅⋅

Произведем по этой формуле вычисления:

623 9 19

4165610

4,2 10

3,14 0,36 10 6 10 98 10 1,6 10

−

−−−

⋅⋅⋅

==⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

м/с.

№ 4. Потенциометр с сопротивлением R

= 100 Ом подклю-

чен к батарее, ЭДС которой ε = 160 В и внутреннее сопротивление

r = 50

Ом. Определить показание вольтметра с сопротивлением

= 500 Ом, соединенным с одной из клемм потенциометра и под-

вижным контактом, установленным посередине потенциометра.

Какова разность потенциалов между теми же точками потенцио-

метра при отключении вольтметра?

Р е ш е н и е.

Показание U

вольтметра, подключенного к точкам А и В

(

рисунок), определяется по формуле

= I

, (1)

где I

– сила тока в неразветвленной части

цепи; R

– сопротивление параллельно со-

единенных вольтметра и половины потен-

циометра.

Силу тока I

найдем по закону Ома

для всей цепи:

, (2)

где R – сопротивление внешней цепи.

Внешнее сопротивление R есть сумма двух сопротивлений:

R=+

(3)

Сопротивление R

параллельного соединения может быть

найдено по формуле

11 1

, откуда

п V

Подставив числовые значения, найдем

⋅

+⋅

100 500

45,5

100 2 500

Ом.

Из выражений (2) и (3) определим силу тока:

== =

150

1,03

50 45,5 50

А.

Если подставить значения I

и R

в формулу (1), то можно оп-

ределить показание вольтметра: U

= 1,03 · 45,5 В = 46,9 В.

100

Разность потенциалов между точками А и В при отключенном

вольтметре равна произведению силы тока I

на половину сопро-

тивления потенциометра:

пп

Подставляя в эту формулу числовые значения, получим

U ==

150 100

100 50 2

№ 5.

Электрическая цепь состоит из двух гальванических

элементов, трех сопротивлений и гальванометра. В этой цепи

= 100 Ом, R

= 50 Ом, R

= 20 Ом, ЭДС элемента ε

= 2 В. Гальва-

нометр регистрирует ток I

= 50 мА, идущий в направлении, ука-

занном стрелкой. Определить ЭДС ε

второго элемента. Сопро-

тивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элемен-

тов пренебречь.

Р е ш е н и е.

Выберем направления токов, как

они показаны на рисунке, и условимся

обходить контуры по часовой стрелке.

По первому правилу Кирхгофа для

узла F имеем

– I

= 0. (1)

По второму правилу Кирхгофа

имеем для контура АВСDFА:

–I

– I

= –ε

или, после умножения обеих частей равенства на –1,

+ I

= ε

. (2)

Соответственно, для контура AFGHA:

+ I

= ε

. (3)

После подстановки числовых значений в формулы (1), (2) и (3)

получим: