Асанов А.З. Введение в математическое моделирование динамических систем

Подождите немного. Документ загружается.

от j-й компоненты

()

обобщенного входа

()Up

к i-й компоненте

()

бщенного выхода

()Yp

системы.

обо

слением блоков обратной

матр

ния

Другой метод обращения матриц (формула Фробениуса) основан на

разбиении матрицы на блоки с последующим вычи

ицы.

Рассмотрим проматрицу задачи моделирова

(

)

()

,nnmns

mn m ms

pI A B

pCID

⎡⎤

−−

⎢⎥

Ω= − −

⎢⎥

. (6.4.5)

можно осуществить,

двукратно применяя формулу Фробениуса.

ица п вид

sn sm s

⎢⎥

⎣⎦

Получение репроматрицы задачи моделирования

Пусть проматр редставлена в блочном е

Ω=

⎢⎥

⎣⎦

⎡⎤

где

()

ApIA

⎡⎤

=−

⎣⎦

1, ,

nm ns

⎡

⎤

=−

⎣

⎦

−

⎡

⎤

⎢

⎥

⎣

⎦

mms

sm s

⎢⎥

⎣⎦

Тогда

−

⎡⎤

HCA H

−

⎣⎦

mms mn

sm s sn

ID C

1111 11

111111 111

11 1

AABHCA ABH

−−−− −−

−

−− −

⎡⎤

+−

Ω=

⎢⎥

, где

111 1

1111

HDCAB

−

=−

()

ApIA

−

⎡⎤

=−

⎣⎦

()

nnmns

IAB

−

⎡⎤⎡⎤

⎡⎤

⎡

=−

⎢⎥⎢⎥

⎣⎦

⎣⎦⎣⎦

sm s

−−

⎤

− −

⎣⎦

() ()

,, , , ,,

mms

mm mn n ns m mn n ns ms

nn nn

sm s

sm ss

CpIAB I CpIAB D

⎡⎤⎡ ⎤

−

−−−−

⎡⎤

⎢⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

−

⎣⎦

s ms

D I

⎤

− =

⎦

−

⎢ ⎥

− =

⎢⎥

⎣⎦

⎡⎤

⎢⎥

[]

()

,, ,

dssmm mnn n

hI I C pIAB

−−

⎡

=− − −

⎣

]

11 1 1 1

,,,

m m n nsmsssm m

I I CpIAB I I I

−− − − −

⎡⎤

− − − − =

⎣⎦

,m mn n ns ms s mn n ns ms

nn nn

CpIABDICpIABD

−−

⎡⎤

− − − = − +

⎣⎦

, тогда

−

[] []

()

[] [

a mn m

h D

() ()

,,,,,

=−

cssmms

hII=− =

()

sm s

ICpIAB

⎡

⎤

⎡

⎤

+−

⎣

⎦

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

197

()()

()

1111

111111

11 1

nnnmns n

sm s

AABHCA

ICpIABD

pIA pIA B pIA

pI A

−−−−

−

−− −

−

⎡⎤

−+

−

⎡⎤

⎣⎦

⎢⎥

⎡⎤

=−+− − −

⎢⎥

⎣⎦

⎢⎥

⎣⎦

=−

()

111 , ,

nnmns

sm s

nnm

ICpIABD

ABH pI A B

pI A B

−

−−

−

⎡

⎤

⎡⎤

−+

⎣⎦

⎢

⎥

⎡⎤

−=−− −

⎣⎦

⎢

⎥

⎣

⎦

⎡⎤

=−

⎣⎦

()

111

sm s

ICpIABD

HCA pI A

pI A

−

−−

−

⎡⎤

−+

−

⎡⎤

⎣⎦

⎢⎥

−=− −

⎢⎥

⎣⎦

⎡⎤

=−

⎢⎥

⎣⎦

Окончательно репроматрица задачи моделирования в пространстве

состояний принимает вид

() ()

()

nmn

pI A pI A B

CpI A I CpI A B D

−−

−

⎡

⎤

−−

⎢

⎥

⎢

⎥

Ω= − − +

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

. (6.4.6)

Непосредственно из последней формулы видно, что общий знаменатель

всех блоков репроматрицы, действительно, равен характеристическому

полиному системы

(

)

() det

pI A

=−

четыре передаточные

столбце передаточные

. В первом и третьем блочных

столбцах стоят все матрицы, рассмотренные ранее. Во

втором блочном матрицы принимают значения

() 0

()

, что соответствует модели системы ( . 6.4.1).

рис

При представлении динамической системы в форме левой

факторизации репроматрицу можно получить аналогичным образом и она

имеет вид:

LLL

() () ()

()

pApBp

−−

−

⎡⎤

Ω=

⎢⎥

(6.4.7)

⎣⎦

или в форме общей записи

198

() ()

()

Fp Fp

−

⎡

⎤

=Ω

⎢

⎥

⎣

⎦

. (6.4.8)

м об оматрица линейной системы любой сложности мТаки разом, пр ожет

быть ж а

уравнений взаимосвязи между подсистемами изменяется размер

проматрицы системы и, соответственно, число передаточных

(передаточных матриц) в ее репроматрице. Прома

ло

, меньше информации о системе.

3 оения проматриц

должно

совпадать сигналов динамической

сист нительные обозначения

промежуточных

енулевых начальных условий.

составлена так, чтобы ее репроматрица содер ал необходимые

передаточные функции (передаточные матрицы). При упрощении или при

дополнении

функций

трица пониженного

размера содержит, как прави

.5 Методика постр

Методика построения проматрицы сложной динамической системы,

учитывающая компромисс между ее размером, автономностью представ-

ления компонентов решаемой задачи и характеристическими свойствами

проматрицы, состоит из нескольких шагов, которые рекомендуется осущест-

влять в следующей последовательности:

Все подсистемы задаются обыкновенными линейными дифферен-

циальными уравнениями с постоянными коэффициентами и линейными

алгебраическими уравнениями. Общее количество уравнений

с числом внутренних и выходных

емы. При необходимости делаются допол

переменных так, чтобы все уравнения содержали суммы

произведений полиномиальных коэффициентов и компонент внутренних и

выходных сигналов.

С помощью преобразования Лапласа осуществляется переход к

операторной форме уравнений с учетом н

При наличии в системе ходных сигналов

()up

, поступающих

непосредственно на динамические подсистемы, к уравнениям системы

добавляются регуляризирующие тождества типа

() ()up up

Из изображений выходных сигналов всех устройств (статических

()yp

и динамических

()

) и входных сигналов

()up

, подающихся непосред-

ственно на динамические устройства, формируется обобщенный выход

системы

()Yp

Из изображений начальных условий динамических объектов

()

, а

199

также входных сигналов статических

()p

и динамических

()up

устройств в

ног

еписывают в том

ком вых

емы

п енных

размер

ростых

о;

каж

динамической

же

ические свойства. Репроматрица пониженного размера утрачивает

перед

соответствии с очередностью компонент обобщен ыхода

()Yp

формируется обобщенный вход системы

()Up

Уравнения моделей устройств системы пер ся

о в

порядке,

в каком записаны выходы этих устройств в обобщенном выходе

()Yp

Слагаемые с понентами обобщенного ода переносятся в левую

часть уравнений, а в правой асти остаются только компоненты обобщенного

входа сист .

Осуществляется переход к обобщенной матричной записи операторных

уравнений системы и выписывается проматрица этой системы

С учетом оставленной задачи путем исключения из обобщ

входа и выхода системы избыточных переменных понижается

проматрицы.

аилучшим способом уменьшения размера проматриц составных динамических

систем является упрощение их статических подсистем. Соблюдение следующих п

практических рекомендаций позволяет при построении проматрицы составной

динамической системы достигать уменьшения размеров проматрицы без нарушения ее

общих свойств:

− по возможности число статических подсистем за счет подстановок должно быть

минимизирован

− дую статическую подсистему, не

подвергаемую непосредственному внешнему

воздействию, необходимо включать в структуру следующей за ней

подсистемы;

− лательно не использовать самостоятельные обозначения для входов динамических

подсистем, являющихся выходами других дин мических подсистем.

Но всегда следует иметь в виду, что такое уменьшение размера проматриц снижает

их характерист

аточные функции, соответствующие

исключаемым промежуточным точкам

системы. Ценность таких передаточных матриц определяется исследователем в контексте

решаемой задачи.

200

Заключение

Моделирование систем и процессов, исследование различных явлений

на моделях стало одним из основных методов изучения сложных

динамических систем. Существуют всеобъемлющий аппарат современной

математики, мощные средства вычислительной техники, развитые

компьютерные технологии обработки информации, которые позволяют

успешно решать любые практические задачи, стоящие перед обществом.

Тема моделирования и разработки математических моделей процессов,

явлений, объектов

, систем практически неисчерпаема. В данном учебном

пособии была предпринята попытка рассмотреть только некоторые основные

формы математических моделей и пути разработки этих моделей. И изучение

приведенных здесь материалов следует рассматривать как первые шаги в

большую, интересную и очень перспективную область современного

естествознания.

201

Список использованной литературы

1. Асанов А.З. Моделирование и анализ динамических систем : учебное

пособие / А.З. Асанов. – Наб. Челны: Изд. Камск. гос. политехн. ин-та,

2004. – 156 с.

2. Асанов А.З. Технология вложения систем и ее приложения : учебное

пособие / А.З. Асанов. –Уфа: изд. Уфимского гос. авиац. техн. ун-та, 2007.

– 208 с.

3. Атабеков Г

.И. Основы теории цепей / Г.И. Атабеков. –М.: Энергия, 1969.

– 424с.

4. Введение в математическое моделирование : учебное пособие / под ред.

П.В. Трусова. –М.: Логос, 2005. – 400 с.

5. Колемаев В.А.Экономико-математическое моделирование.

Моделирование макроэкономических процессов и систем: учебник / В.А.

Колемаев. –М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 295 с.

6. Математические основы теории автоматического

регулирования / под ред.

Б.К. Чемоданова. –М.: Высшая школа, 1977. – 2 т.

7. Модели систем автоматического управления и их элементов : учебное

пособие / В.И. Васильев, Б.Г. Ильясов, С.Т. Кусимов и др. –М.:

Машиностроение, 2003. – 214 с.

8. Яворский Б.М. Справочник по физике / Б.М. Яворский, А.А. Детлаф. – М.:

Наука, 2002. –847 с.

202

Содержание

Введение

1. Общие положения теории моделирования

1.1. Моделирование как метод исследования сложных систем

1.3. Понятие модели

1.4. Классификация моделей

1.5. Свойства моделей и требования к ним

1.6. Общие требования и рекомендации по моделированию

2. Динамические системы

2.1. Понятие динамической системы

2.2. Классификация динамических систем

2.3. Математическая модель динамической системы

2.4. Графические образы динамических систем

2.4.1. Структурные схемы

2.4.2. Направленные графы

2.4.3. Детализированное отображение динамических систем

2.5. Методика формирования математических моделей

динамических систем

2.6. Базовые этапы математического моделирования различных

систем

2.6.1. Формирование уравнений модели электрических систем. Законы

Кирхгофа, Максвелла

2.6.2. Формирование уравнений модели механических систем.

Принцип Гамильтона и уравнения Лагранжа

2.6.3. Формирование математических моделей экономических

процессов и систем

2.6.4. Линеаризация уравнений математической модели

3. Классические формы математических моделей скалярных

динамических систем

3.1. Дифференциальные уравнения n-го порядка

3.2. Временные характеристики динамических систем

3.3. Частотные характеристики динамических систем

3.3.1. Преобразование Фурье и его свойства

3.3.2. Частотные характеристики

3.3.3. Взаимосвязи частотных и временных характеристик

3.4. Передаточные функции динамических систем

3.4.1. Преобразование Лапласа и его свойства

3.4.2. Передаточные функции и операции с ними

3.4.3. Связь передаточной функции с другими характеристиками

4. Основные формы математических моделей матричных

динамических систем

4.1. Матричные передаточная и весовая функции

4.2. Полиномиально-матричное описание динамических систем

4.3. Описание в пространстве состояний

4.4. Модели динамических систем в форме проматриц

5. Математические модели динамических систем в пространстве

102

104

106

112

114

117

121

123

124

126

128

203

состояний

5.1. Понятие состояния динамического объекта

5.2. Основные понятия и определения

5.3. Выбор переменных состояния

5.3.1. Особенности составления уравнений состояния для

механических систем

5.3.2. Особенности составления уравнений состояния для

электрических цепей

5.3.3. Особенности составления уравнений состояния для

электромеханических систем

5.4. Формирование уравнений состояний по

дифференциальному уравнению

5.5. Формирование уравнений состояний по передаточной

функции

5.6. Формирование уравнений состояний по структурной схеме

5.7. Формирование уравнений состояний системы по известным

уравнениям подсистем

5.8. Определение передаточных функций по уравнениям

состояний

5.9. Канонические формы уравнений состояний

5.9.1. Фробениусовы канонические формы

5.9.2. Жорданова (параллельная) каноническая форма

5.9.3. Последовательная (каскадная) каноническая форма

6. Математические модели динамических систем в форме

проблемных матриц

6.1. Математическая модель линейной системы в форме

проматрицы

6.2. Проматрицы типовых соединений систем

6.3. Возмущения линейных систем и проматрицы

6.4. Реверсивная проблемная матрица системы

6.5 Методика построения проматриц

Заключение

Список использованной литературы

Содержание

129

130

135

136

138

140

142

147

151

152

156

159

165

170

176

179

184

192

194

199

201

202

203

204