Асанов А.З. Введение в математическое моделирование динамических систем

Подождите немного. Документ загружается.

скорость, угловое ускорение, сила, момент силы и т.д. Именно через эти

переменные выражаются потенциальная и кинетическая энергии

механической системы. Подробнее эти вопросы

рассматривались в разделе 2.4.2.

Для иллюстрации рассмотрим механическую систему,

состоящую из пружины с коэффициентом упругости

груза с массой

m и демпфера с коэффициентом

демпфирования

Требуется найти уравнения состояния, описывающие

движение системы под воздействием внешней силы P.

Целесообразно в качестве переменных состояния

выбрать линейное перемещение

(t) x(t)

и скорость перемещения

(t) x(t)=



, так как через эти переменные можно выразить все силы,

воздействующие на рассматриваемую динамическую систему. Силы,

взаимодействующие в этой системе, можно представить так:

Рис. 5.3.1

F(t) kx(t)=

– сила воздействия пружины;

F(t) mx(t)=



– сила воздействия груза (элемента массы);

F(t) fx(t)=



– сила воздействия демпфера.

Очевидно, что

, где – внешняя сила,

123

F(t) F(t) F(t) P(t)++=

P( t )

или

mx(t) fx(t) kx(t) P(t)

 

Последнее уравнение при использовании введенных переменных

состояния и учета того, что

, можно представить так:

212

(),

xxP

mm m

⎧

⎪

⎨

=− − +

⎪

⎩



или

01 0

()

mm m

⎡⎤⎡⎤

⎡⎤ ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥ ⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

−−

⎣⎦ ⎣⎦

⎣⎦⎣⎦

Последние уравнения представляют собой искомое описание состояния

механической системы, изображенной на рис.5.3.1.

137

5.3.2. Особенности составления уравнений состояния для

электрических цепей

Применительно к электрическим цепям можно сформулировать

следующие рекомендации по выбору переменных состояния.

Состояние электрической системы можно характеризовать парамет-

рами, определяющими энергию, запасенную в элементах системы. В общем

случае это заряд

и магнитный поток Ф , связанные с током и напряжением

следующими формулами:

[]

dq d

i(t) C(t,U )U(t),

dt dt

dФ d

U(t) L(t,i)i(t).

dt dt

== ⋅

(5.3.1)

Положим далее, что рассматриваемая система является линейной и

стационарной, т.е. будем полагать, что значения сопротивлений

, емкостей

и индуктивностей

не изменяются с течением времени.

Тогда выражения (5.3.1) упрощаются

[]

i(t) C U(t) C ,

dt dt

U(t) Li(t) L .

dt dt

=⋅ =

U(t)

i(t)

(5.3.2)

В этом случае в качестве переменных состояния можно выбрать

напряжения на конденсаторах

и токи через катушки индуктивности

, а для составления уравнений состояния можно воспользоваться

законами Ома и Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений.

U(t)

i(t)

Из соотношений (5.3.2) в этом случае необходимо выразить токи через

конденсаторы и напряжения на катушках индуктивности через выбранные

переменные состояния (напряжения

и токи ) и выходные

сигналы, т.е. получить уравнения вида

U(t)

i(t)

[]

LLLLc

U (t) L i (t) i (t), U (t), U (t), i (t)

=⋅ =

, (5.3.3)

[][

ccLLc

i(t) C U (t) i (t), U (t), U (t), i(t)

=⋅ =

]

. (5.3.4)

Если электрическая цепь содержит

катушек индуктивности и

конденсаторов, то в электрической цепи определяется соответствующее

число напряжений и токов на реактивных элементах цепи, которые в

совокупности подчиняются законам Кирхгофа. Эти напряжения и токи могут

138

служить переменными состояния этой цепи.

Функции

являются алгебраическими даже в случае нелинейной

и нестационарной цепи, так как уравнения составлялись с использованием

мгновенных значений токов и напряжений.

Для иллюстрации рассмотрим пример описания электрических цепей в

пространстве состояний.

Рассмотрим пассивный многополюсник (рис.5.3.1) со стационарными

параметрами, который представляет собой систему 2-го порядка.

Состояние рассматриваемой цепи определяется энергией, запасенной в

реактивных элементах и C

, и входным сигналом U .

Энергия, запасенная в индуктивности,

определяется током в индуктивности

, а энергия, запасенная в конденсаторе,

– напряжением

()

Et=

;

()

CU t

Et=

Выберем эти переменные в качестве

переменных состояния

Рис. 5.3.1. Схема многополюсника

12Lc

(t) i (t), x (t) U (t)

Уравнения Кирхгофа для данной цепи будет иметь вид:

112

Lc RLcR

UUUU; iiiii++= ===+.

Учитывая

, получим соотношения

iL UU

++=

dt R

После преобразований уравнения состояния окончательно примут вид

di R

dt L L L

dt C R C

⎧

=− − +

⎪

⎨

⎪

=−

⎪

⎩

;

В соответствии с заданной схемой (рис. 5.3.1) выходные сигналы можно

описать следующими соотношениями:

yU RiUU

yU.

=− − +

Из последних соотношений после замены переменных легко прийти к

стандартной записи уравнений в пространстве состояний – заданная

139

электрическая цепь описывается матричными уравнениями вида

X(t) AX(t) BU(t)

Y(t) CX(t) DU(t)=+

где

001

R/L /L

/L R

A,B,C,

/C /RC

−−

⎡⎤

⎡

⎤⎡ ⎤ ⎡

===

⎢⎥

⎤

⎢

⎥⎢ ⎥ ⎢

−−

⎥

⎣

⎦⎣ ⎦ ⎣

⎣⎦

⎦

[]

[

]

[

]

[

]

12 12

Lc Lc

X(t) x(t) x (t) i (t) U (t) , Y(t) y(t) y (t) U (t) U (t

)

== ==

Таким образом, получена математическая модель 2-го порядка

электрического многополюсника в пространстве состояний.

Отметим ту особенность, что, как правило, порядок математической

модели электрических систем совпадает с числом реактивных элементов

(числом электрических емкостей и индуктивностей) в системе.

5.3.3. Особенности составления уравнений состояния для

электромеханических систем

Особенности составления уравнений состояний для электромеха-

нических систем проистекают из того факта, что в таких системах

существуют и взаимодействуют как механические элементы, так и

электрические цепи. Отсюда очевидно то обстоятельство, что необходим

учет особенностей как той, так и другой частей электромеханической

системы.

Для примера рассмотрим составление описания двигателя постоянного

тока в

пространстве состояний.

Процессы в электродвигателе постоянного тока характеризуются

следующими соотношениями:

уравнение электрической цепи

d яя я

Ue iR L

=+ +

;

уравнение механической цепи

MMJ

;

уравнение момента сопротивления

;

уравнение момента двигателя

d я

KФi

;

уравнение Э.Д.С. двигателя

eKФ

140

Здесь в этих уравнениях:

– ток якоря двигателя;

– активное сопротивление (Ом) и

индуктивность (Гн) якорной цепи;

U – напряжение, В; – Э.Д.С.

двигателя, В;

– действующий момент двигателя, Нм;

– момент

сопротивления на валу двигателя, Нм:

– момент инерции, приведенный

к валу двигателя;

– угловая скорость вращения вала двигателя, рад/сек;

– магнитный поток возбуждения двигателя, Вб; Ф

= – конст-

руктивный коэффициент двигателя (p, N, a – соответственно число пар

полюсов, активных проводников и параллельных ветвей обмотки якоря).

Обычно,

Ф Cconst==

Выберем в качестве переменных состояния

(ток якоря

электродвигателя – характеризует электрическую часть системы) и

(угловая скорость вращения механической части системы). Связи между

электрической и механической частями системы описываются уравнениями

для момента сопротивления и момента двигателя.

Преобразуя приведенные выше уравнения – приводя дифференциальные

уравнения к нормальной форме Коши и осуществляя необходимые замены

переменных – получим уравнения состояния этого электродвигателя в

следующем виде:

// 1/

// 0

яяя яя я

iRLCLi L

CJ bJ

ωω

−

⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤ ⎡ ⎤

⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥ ⎢ ⎥

−

⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦ ⎣ ⎦

Вводя обозначения

яя

R/L /T, b/J /T

−

=− − =−

, которые в

электротехнике имеют четко выраженный физический смысл, получаем

уравнения состояния с матрицами

1/ 1/

/1/

яя

А B

CJ T

−−

⎡⎤

⎡

⎤

⎢⎥

⎢

⎥

−

⎣

⎦

⎣⎦

Матрицы

и будут определяться исходя из условий наблюдения.

Так, если выходной величиной будет угловая скорость

, то матрица

примет вид

[

01C

]

, если же в качестве выходной величины будет

рассматриваться действующий момент двигателя

, то .

[]

0Cc=

141

5.4. Формирование уравнений состояний по

дифференциальному уравнению

Наиболее простым методом описания динамических систем является

поэлементное описание системы, когда каждый элемент системы

описывается своим дифференциальным (реже алгебраическим) уравнением, а

взаимосвязи элементов в системе описываются уравнениями связи. Сами

же дифференциальные уравнения элементов формируются на основе тех

фундаментальных физических законов, на действии которых базируется

работа элемента динамической системы. В общем случае

дифференциальное

уравнение элемента системы и, тем более, дифференциальное уравнение

самой системы представляют собой уравнение высокого порядка.

Поставим задачу формирования уравнений состояния системы в виде

уравнений (5.2.6) и (5.2.7) по известному дифференциальному уравнению

n-го порядка.

Рассмотрим дифференциальное уравнение с постоянными коэффи-

циентами для динамической системы с одним входом и одним выходом

110

(n) (n )

a y (t) a y (t) ... ay(t) a y(t) bU(t)

−

′′

++++=

, (5.4.1)

где

(

)

ai,...n=

и – постоянные коэффициенты.

Введем систему следующих допущений и обозначений

01 2 3 1 0

(n) (n )

nn n n n n

... ....

aaa a a b

y(t) y y y y ... y U(t)

aa a a a a

−

′

′ ′ ′′ ′′′

==−−−−− +

(5.4.2)

Последнее уравнение получено из уравнения (5.4.1). Это уравнение

можно переписать с учетом введенных ранее в (5.4.2) обозначений

следующим образом

()

01 2 3 10

1234

() ..._ ()

n n

nn nn n n

aaaa a b

yt x x x x x Ut

aaaa a a

−

′

==−−−−− +

Тогда вся система соотношений (5.4.2) может быть представлена в

следующем виде (здесь и далее для лучшей иллюстрации независимый

аргумент

при переменных величинах упущен):

142

010 0

001 0

nn n n

...

U(t )

... ... ... ... ...

... ...

...

x ... x

aaa a

−

⎡⎤

⎡⎤ ⎡⎤

⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥ ⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥ ⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥ ⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥ ⎢⎥

⎢⎥

−−

⎢⎥

⎣⎦

⎣⎦ ⎣⎦

⎣⎦

; (5.4.3)

Y...

...

⎡

⎤

⎢

⎥

⎡⎤

⎢

⎥

⎢⎥

⎢

⎥

⎣⎦

⎢

⎥

⎣

⎦

. (5.4.4)

Таким образом, дифференциальному уравнению (5.4.1) в пространстве

состояний соответствуют уравнения

XAXBU

YCXDU,

(5.4.5)

где

[

]

X x x ... x=

[

]

[]

010 0

001 0

nn n n

...

... ... ... ... ...

...

aaa a

C....,D.

−

⎡⎤

⎢⎥

−−

⎢⎥

⎣⎦

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

Граф, соответствующий системе уравнений (5.4.2) или уравнениям

(5.4.3) и (5.4.4) при условии

, представлен на рис. 5.4.1.

Рис. 5.4.1. Граф системы (5.4.2)

Структурная схема, отображающая ту же систему уравнений, имеет вид,

143

показанный на рис. 5.4.2, где использованы обозначения:

αβ

−

Рис. 5.4.2. Ст

ру

кт

ур

ная схема системы

Полученная форма уравнений состояния (5.4.3) и (5.4.4) носит

название

строчной управляемой фробениусовой канонической формы и

является одной из самых распространенных на практике форм. Другие

канонические формы рассматриваются в разделе 5.9. Здесь же отметим,

что основу структурной реализации этих форм составляет цепочка

последовательно включенных интеграторов, охваченных обратными связями,

причем коэффициенты обратных связей совпадают с коэффициентами

исходного дифференциального уравнения.

Рассмотрим более сложный случай, когда исходное дифференциальное

уравнение

содержит в правой части не только управляющее воздействие,

но и его производные (как и ранее, полагаем, что в динамической системе

есть только один вход и один выход), т.е. имеет вид

110

(n) (n )

(m) (m )

a y (t) a y (t) ... ay(t) a y(t)

b u (t ) b u ( t ) .... b u ( t ) b u( t ).

−

′′

++++=

′

=+ +++

(5.4.6)

(Здесь и далее будем считать

mn<

Для решения задачи используем вспомогательную переменную

Пусть

110

(n) (n )

a z (t) a z (t) ... a z(t) a z(t) U(t)

−

′

++++=

, (5.4.7)

110

(m) (m )

b z (t) b z (t) .... bz(t) b z(t) Y(t)

−

′

++++=

. (5.4.8)

Корректность использования соотношений (5.4.7) и (5.4.8) легко

проверить, если подставить эти выражения для

и в уравнение (5.4.6),

которое после подстановки обращается в тождество.

144

Далее из уравнения (5.4.7) как и ранее, положив

, получим систему

уравнений

01 1

..........

... .

nn n n

aa a

xx x

aa a a

−

′

=− − − − +

Использовано именно уравнение (5.4.7) по той простой причине, что это

дифференциальное уравнение более высокого порядка, чем уравнение

(5.4.8) в силу

. Тогда систему уравнений можно представить в

векторно-матричной форме

mn<

010 0

001 0

nn n n

...

U(t )

... ... ... ... ...

... ...

...

x ... x

aaa a

−

⎡⎤

⎡⎤ ⎡⎤

⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥ ⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥ ⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥ ⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥ ⎢⎥

⎢⎥

−−

⎢⎥

⎣⎦

⎣⎦ ⎣⎦

⎣⎦

а уравнение (5.4.8) может быть представлено в следующем виде:

[]

00 0

nn n

bb b

Y ... ... U( t )

...

aa a

⎡⎤

⎢⎥

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

⎢⎥

⎣⎦

Таким образом, для исходного дифференциального уравнения (5.4.6)

n-го порядка матричные уравнения состояния имеют тот же стандартный вид

уравнений (5.4.5), но состав матриц

A, B, C, D уже другой.

Конкретно

[]

010...0

001...0

... ... ... ... ...

...

... 0 ... 0 , 0

nn n n

nn n

aaa a

bb b

aa a

−

⎡⎤

⎢⎥

−−

⎢⎥

⎣⎦

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

145

Полученная форма уравнений состояния также относится к строчным

управляемым фробениусовым каноническим формам. Граф, соответству-

ющий полученным уравнениям при условии

, представлен на рис. 5.4.3.

Рис. 5.4.3. Г

системы

Структурная схема, соответствующая полученным уравнениям,

представлена на рис. 5.4.4. Использованы обозначения, введенные ранее.

Рис. 5.4.4. Структурная схема системы

Нетрудно заметить, что полученные графические отображения

математической модели динамической системы обладают явно выраженной

регулярностью, выражающейся в однотипности выполняемых

преобразований и их представлении в виде графических изображений.

146