Асанов А.З. Введение в математическое моделирование динамических систем
Подождите немного. Документ загружается.
(выходных реакций) системы (объекта),
A
,B,C, D
– матрицы размеров
,
ns
, , .
nn× × mn× ms×
В более подробной записи соотношения (4.3.1) имеют вид
11112 111122 1
22122 222122 2
12 12
ns
ns
nnn nnnnn ns
1
2
s
x
a a ... a x b b ... b u
x
a a ... a x b b ... b u
d
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
dt
x
a a ... a x b b ... b u
⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
=+
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦
,
11112 111122 1
22122 222122 2
12 1 2
nr
nr
mmm mnn mm ms
y cc...cx dd...du
y c c ... c x d d ... d u
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
y c c ... c x d d ... d u
⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
=+
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦
1
2
s
.
Переход от матричной передаточной функции к описанию в простран-
стве состояний сопровождается уменьшением сложности элементов матриц
математического описания при одновременном увеличении их числа (табл.
4.3.1).
Таблица 4.3.1. Сравнение трех видов математического описания
Полиномиальное описание
Вид
описания
Матричная
передаточная
функция
левое правое
Описание в
пространстве
состояний
Вид
элементов
Операторные
дроби
Операторные
полиномы
Операторные
полиномы
Постоянные числа
Число
элементов
ms
2
s
mm
+
2
s
mm
+
2
nnsnmm++ +s
Это можно объяснить увеличением количества информации о
внутренней структуре объекта, содержащейся в математическом описании.
Так, матричная передаточная функция практически не содержит этой
информации, полиномиальное описание, особенно его правильная форма,
частично отражает структурные характеристики, а описание в пространстве
состояний полностью характеризует внутреннюю структуру модели объекта.
Описание объектов и систем в пространстве состояний
в научных
изданиях является в настоящее время наиболее распространенным, оно все
больше и больше проникает в научные и инженерные разработки, обладает
рядом существенных достоинств (возможности оценки фундаментальных
свойств объекта, достаточно легкого перехода к численным расчетам и т.д.).
127
Поэтому более подробному изложению этого метода описания специально
посвящена следующая глава 5 пособия.
4.4. Модели динамических систем в форме проматриц
Одним из новейших достижений в теории систем является метод
вложения систем. Формальной основой вложения систем являются
результаты современной общей алгебры по вложению сложных
алгебраических структур в относительно более простые алгебраические
структуры. В данном случае речь идёт о так называемом вложении
некоммутативных колец в тела частных. Являясь по своей природе частным,
формальная
модель динамической системы (независимо от формы записи:
дифференциальные уравнения, передаточные функции, операторы и т.д.)
обязательно подчиняется общим законам частных.
Суть метода вложения заключается в следующем:
Решаемая задача теории систем представляется в виде некоторой
специально сконструированной матрицы, называемой
проблемной матрицей
или кратко
проматрицей. Эта проматрица содержит исчерпывающую
информацию о свойствах линейной системы. В теории установлены
детерминантные соотношения, которым необходимо удовлетворять, чтобы
передаточные функции (операторы) исследуемой системы тождественно
соответствовали желаемым передаточным функциям (операторам).
Метод вложения систем позволяет решать практически все задачи
теории линейных систем, включая и те, которые при использовании
традиционных методов не имели
удовлетворительного решения.
Описание объектов и систем в форме проматриц пока встречается
только в научных изданиях, но является в настоящее время одним из
наиболее перспективных форм математических моделей. Эта форма
математических моделей в совокупности с технологией вложения систем
исключительно перспективна при исследовании, анализе и синтезе
матричных (многосвязных, многомерных) динамических систем и систем
их
управления. Этот подход имеет целый ряд неоспоримых преимуществ перед
другими способами анализа и синтеза матричных систем. Поэтому более
подробному и строгому изложению этого метода описания динамических
систем посвящена глава 6 пособия.
128
5. Математические модели динамических систем
в пространстве состояний
5.1. Понятие состояния динамического объекта
Очень часто при определении какого-либо понятия нам приходится
оперировать другими, более простыми понятиями, которые были уже
введены ранее. В этом смысле дать определение понятия «состояние» не
представляется возможным, так как нет более простого понятия, при помощи
которого можно было бы определить, что такое состояние динамического
объекта. Само понятие «состояние» является
первичным, и объяснить его
смысл можно, только прибегнув к различным примерам.
Рассмотрим поведение электрической цепи на временном интервале
[
]
0,t
. Известно, что для нахождения выходного сигнала электрической цепи
по заданному входному сигналу необходимо знать величины токов,
протекающих через индуктивности, и напряжения на емкостях в момент вре-
мени
. Эти токи и напряжения образуют состояние цепи в момент .
0
t
0
t
Другим примером может служить система линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Решение ее, как известно,
зависит от произвольных постоянных, определяемых из начальных условий в
момент
. Эти начальные условия могут трактоваться как состояние системы
в момент
.
0
t
0
t
Характеристику понятия "состояние" можно дать исходя из той роли,
которую оно играет в определении модели объекта.
Можно поставить вопрос – требуется ли привлечение дополнительных
промежуточных параметров (помимо входных и выходных) для описания
поведения объекта? Ответ будет утвердительным. Действительно, например,
один и тот же входной сигнал электрической цепи обусловит различные
выходные сигналы
, если не фиксировать величины токов, протекающих
через индуктивности, и напряжения на емкостях в момент
. В свою
очередь, при различных начальных условиях различны и произвольные
постоянные, определяющие общее решение системы линейных
дифференциальных уравнений, т. е. различные начальные условия
«порождают» различные решения системы.
0
t
Можно устранить указанную неоднозначность между входными и
выходными параметрами объекта, именуя промежуточные параметры
129
состоянием объекта. Понятие состояния можно трактовать как некоторую
минимальную совокупность параметров, содержащую всю информацию о
предыстории поведения объекта, необходимую для суждения о его
поведении в будущем, т.е. для определения реакции на произвольное входное
воздействие.
Можно сформулировать следующие свойства, которыми должна
обладать модель объекта с введенным понятием «состояние»:
1) выходной сигнал
в данный момент времени однозначно определяется
входным сигналом
U и состоянием в данный момент времени
X
;
2) состояние в последующий момент времени однозначно определяется
входным сигналом
U и состоянием в данный момент времени
X
.
Приведенные два условия можно записать в виде двух уравнений,
называемых уравнениями состояния:
0
0
() ( ( ), ()),
() ( ( ), ()),
Xt FXt Ut
Yt QXt Ut
=
=
где
F
(),U()⋅⋅
– являются однозначными функциями.
Приведенное выше изложение, непосредственно относящееся к
непрерывным объектам, может быть перенесено и на дискретные объекты.
5.2. Основные понятия и определения
Рассмотрим динамическую систему, имеющую m входов и k выходов.
На вход системы подается векторный входной сигнал
[]
12
() (), (),..., ()
T
m
Ut u t u t u t=
.
При этом выходной сигнал представляет собой вектор
[]
12
( ) ( ), ( ),..., ( )
T
r
Yt y t y t y t=
.
В задачах анализа необходимо по заданному входному сигналу
и известным начальным условиям и характеристикам системы найти
выходной сигнал
Y(
.
U(t )
t )
Характеристики системы по форме представления могут быть
различными. Эти характеристики определяются структурой и параметрами
исследуемой системы и для одной и той же системы являются
взаимосвязанными.
В любой системе можно выделить совокупность переменных, которые
характеризуют динамическую систему. Эти переменные зависят от времени
и могут меняться при изменении внешних воздействий на систему.
В
130
общем случае можно выделить некоторую совокупность переменных,
которая в полной мере характеризует состояние системы в некоторый
момент времени.
Определение 5.2.1. Совокупность переменных, полностью
характеризующих динамическую систему, называется
переменными состояния системы.
Совокупность переменных состояния называется вектором переменных
состояния системы.
Указанная совокупность переменных должна быть достаточной для
описания различных состояний и режимов системы, но
в то же время она
должна быть минимальной и не содержать избыточности.
Обозначим переменные состояния
i
x
(t)
,
12i , ,...,n
=
. Следовательно,
динамическая система будет характеризоваться вектором переменных
состояния
[
]
12
() (), (),..., ()
T
n
Xt xt x t x t=
.
Определение 5.2.2. Область или пространство возможных
значений переменных состояния называется пространством
состояний динамической системы.
Здесь используется аналогия с представлением вектора в ортогональной
системе независимых переменных, где любой вектор, например, в
трехмерном пространстве, может быть охарактеризован своими проекциями
на три независимых ортогональных оси. В n-мерном пространстве вектор
характеризуется проекциями на n
ортогональных осей (n независимых
переменных
i
x
(t)
).
Состояние динамической системы формально можно представить в
виде вектора, а переменные состояния – как проекции этого вектора на
ортогональные оси. Другими словами, каждому конкретному состоянию
динамической системы соответствует точка в n-мерном пространстве,
определяемая концом этого вектора. Координаты
i
x
(t)
точки – суть
проекции вектора
. Таким образом, состояние системы можно
характеризовать положением вектора
в пространстве состояний.
Количество независимых переменных
X(t)
X(t)
i
x
(t)
, определяющих состояние
системы, задает размерность пространства состояний. Переменные
состояния
i
x
(t)
должны быть выбраны таким образом, чтобы при заданном
начальном состоянии системы
00
X
X(t )
=
и входном сигнале (при
U(t )
131
0
tt≥
), можно было однозначно определить как состояние системы , так
и выходной сигнал
в любой момент времени . Иначе говоря,
состояние системы
X(
в любой момент времени должно определяться
начальными условиями
X(t)
Y(t )
0
tt>
t)
0
X
и входным сигналом
U(
:
t )
(
)
0
X(t ) F t, X (t ), U(t)=
, (5.2.1)
выходной сигнал
– состоянием системы и входным сигналом
:
Y(t ) X(t)
U(t )
(
)
Y(t ) Q t, X(t ), U(t )
=
(5.2.2)
Здесь
F
()⋅
и
Q(
– некоторые функции.
)⋅
Уравнение (5.2.1) называется уравнением состояния системы и
описывает состояние системы в конце некоторого интервала времени.
Уравнение (5.2.2) называется выходным уравнением системы и
описывает выходной сигнал системы.
Указанные два уравнения представляют собой однозначные функции и
полностью определяют динамическую систему.
Для непрерывных систем обычно удобнее представлять уравнение
состояния (5.2.1) в виде системы дифференциальных
уравнений в
нормальной форме Коши. В этом случае некоторую динамическую систему
можно описать уравнениями
()
()
0
d
X(t) f t, X(t ), X(t), U(t) ,
dt
Y(t) q t, X(t), U(t) .
⎧
=
⎪
⎨
⎪
=
⎩
(5.2.3)
Уравнения (5.2.3), записанные в общем виде, справедливы для систем
линейных и нелинейных, стационарных и нестационарных. Но в случае
линейности динамических систем уравнения (5.2.3) можно значительно
упростить.
Как известно, для линейных систем справедлив принцип суперпозиции.
Применительно к методу пространства состояний требования к линейным
системам можно сформулировать следующим образом: пусть начальному
состоянию
10 0
X
(t )
и входному сигналу соответствует выходной
сигнал
, а начальному состоянию
1
U(t)
1
Y(t)
20 0
X
(t )
и входному сигналу
соответствует выходной сигнал
; тогда для линейной системы
начальному состоянию
2
U(t)
2
Y(t)
[
]
10 0 20 0
X(t ) K X (t ) X (t )=+
и входному сигналу
соответствует выходной сигнал системы
[
12
U(t ) K U (t ) U (t )=+
]
132
[]
12
Y(t) K Y(t) Y (t)=+
,
где
K
const
=
.
Это условие будет выполняться, если функции
f
()⋅
и
q( )
⋅
в
уравнениях (5.2.3) будут линейными. В этом случае уравнения линейной
динамической системы можно записать следующим образом:
d
X(t) A(t)X(t) B(t)U(t)
dt
=+
, (5.2.4)
Y(t) C(t)X(t) D(t)U(t)=+
. (5.2.5)
Матрицы коэффициентов
A
(t)
,
B
(t)
, , определяются струк-
турой и параметрами конкретной динамической системы. Если эти
матрицы являются функциями времени, то уравнения (5.2.4) и (5.2.5)
описывают линейную нестационарную систему.
C(t ) D( t )
Если динамическая система стационарная, т.е. ее параметры не зависят
от времени, то матрицы коэффициентов
A
,B,C,D
– постоянные. В этом
случае уравнения линейной стационарной динамической системы можно
записать в следующем виде
d
X(t) AX(t) BU(t)
dt
=+
, (5.2.6)
Y(t ) CX(t ) DU(t )
=
+
. (5.2.7)
В этих уравнениях матрицы коэффициентов имеют следующие
размеры:
(
)
A
nn−×
,
(
)
B
nm−×
,
(
)
Ckn
−
×
,
(
)
D
km
−
×
,
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
12 12
nm
nm
nn nn nn nm
aa...a bb...b
aa...a bb...b
A
,B
... ... ... ... ... ... ... ...
aa...a bb...b
,
⎡
⎤⎡ ⎤
⎢
⎥⎢ ⎥
⎢
⎥⎢
==
⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
⎣
⎦⎣ ⎦
.
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
12 1 2
nm
nm
k k kn k k km
cc...c dd...d
cc...c dd...d
C,D
... ... ... ... ... ... ... ...
cc...c dd ...d
⎡
⎤⎡ ⎤
⎢
⎥⎢ ⎥
⎢
⎥⎢
==
⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
⎢
⎥⎢ ⎥
⎣
⎦⎣ ⎦
Векторы имеют размеры:
(
)
1X(t ) n
−
×
,
(
)
1U(t ) m
−
×
,
(
)
1Y(t ) k
−
×
.
Уравнения линейной стационарной системы (5.2.6) и (5.2.7), которые
ранее были приведены в матричной форме, можно представить в обычном
133
виде:
1
11 1 12 2 1 11 1 12 2 1
2
21 1 22 2 2 21 1 22 2 2
()
() () ... () () () ... (),
()
() () ... () () () ... (),
..........................................................
nn mm
nn mm
dx t
axt ax t ax t but bu t bu t
dt
dx t
axt axt ax t but bu t bu t
dt
= + ++ + + ++
= + ++ + + ++
11 2 2 11 2 2
.......................................................
()
( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ),
n
nn nnnnn nmm
dx t
axt axt ax t but bu t bu t
dt
=+ ++ ++++
1 11 1 12 2 1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2 21 1 22 2 2
() () () ... () () () ... (),
() () () ... () () () ... (),
................................................................
nn mm
nn mm
yt cxt cxt cxt dut du t du t
yt cxt cxt cxt dut dut du t
= + ++ + + ++
=+++ ++ ++
11 2 2 11 2 2
............................................
() () () ... () () () ... ().
kk k knnk k kmm
yt cxt cxt cxt dut dut dut=+ ++++ ++
Таким образом, в пространстве состояний динамическая система
описывается системой из n линейных дифференциальных уравнений
первого порядка системой из k алгебраических уравнений.
Другая запись матричных уравнений (5.2.6) и (5.2.7) имеет вид
11112 111112 1
22122 222122 2
12 1 2
... ...
... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ...
nm
nm
nn nnnnn nm
1
2
m
x
aa a x bb b u
x
aa a x bb b u
d
dt
x
aa ax bb bu
⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
=+
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦
. (5.2.8)
Здесь и далее для краткости опущены аргументы
t
у переменных
i
x
,
j
u
, ,
хотя они и подразумеваются:
l
y
11112 111112 1
22122 222122 2
12 1 2
nm
nm
kkk knnkk km
y c c ... c x d d ... d u
y c c ... c x d d ... d u
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
y c c ... c x d d ... d u
⎡⎤ ⎡ ⎤⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤
⎢⎥ ⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
⎢⎥ ⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
=+
⎢⎥ ⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
⎢⎥ ⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥
⎣⎦ ⎣ ⎦⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦
1
2
m
. (5.2.9)
Уравнениям модели (5.2.6) и (5.2.7) соответствует структурная схема на
рис.5.2.1.
Постоянная квадратная
матрица
A
, входящая в
описание системы, харак-
теризует внутреннюю струк-
туру системы и ее собст-
венную динамику (свободное
движение).
Рис.5.2.1.Структурная схема модели (5.2.7)-(5.2.8)
134
Постоянная матрица , входящая в данное описание системы,
характеризует структуру входного устройства системы, а постоянная
матрица
– структуру выходного устройства системы.
B
C
Отметим то обстоятельство, что уравнения (5.2.6) и (5.2.7) и другие до
сих пор описывали так называемые многомерные динамические системы, где
было несколько входов (точнее,
m входов) и несколько выходов (точнее, k
выходов) (рис.5.2.3). В англоязычной литературе для таких систем
используется аббревиатура MIMO (multi-input-multi-output).
Рис. 5.2.2. Скалярная система Рис 5.2.3. Многомерная система
В случае, когда динамическая система имеет один вход и один выход
(английская аббревиатура SISO (single-input-single-output)) (рис.5.2.2), такая
система называется одномерной или скалярной динамической системой.
Иначе говоря, в скалярных системах
1m
=
и 1k
=
.
В этом случае уравнения (5.2.8) и (5.2.9) примут вид:
11112 111
22122 222
12
n
n
nnn nnnn
xaa...axb
xaa...axb
d
U
... ... ... ... ... ... ...
dt
xaa...axb
⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥
=
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦⎣⎦
+
[]
+
, (5.2.10)
[]
1
2
12 0n
n
x
x
Ycc...c dU
...
x
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
. (5.2.11)
Таким образом, любая скалярная динамическая система может быть
описана в пространстве состояний.
5.3. Выбор переменных состояния
Описание динамической системы в переменных состояния в виде
уравнений типа (5.2.6)–(5.2.7) не является единственным. Для одной и той
же системы можно составить несколько систем уравнений, отличающихся
природой переменных, выбранных в качестве переменных состояния.
Различный выбор этих переменных приводит к различным по своему
135
элементному составу матрицам
A
, , , . B C D
В связи с тем, что в технических приложениях метода пространства
состояний, как правило, решаются задачи анализа, синтеза, идентификации и
оптимизации динамических систем, чрезвычайно желательно, чтобы все
переменные состояния можно было непосредственно наблюдать и измерять.
Правило первое. При выборе переменных состояния очень важно
выбирать в качестве переменных состояния измеряемые переменные или, по
крайней мере, чтобы большинство переменных состояния динамической
системы были измеряемыми.
Часто в качестве переменных состояния выбирают фазовые координаты
динамической системы.
Определение 5.3.1. Фазовые координаты динамической системы –
это переменные, соответствующие выходной координате,
скорости изменения выходной координаты, ускорению выходной
координаты и т.д.
В этом случае пространство состояний совпадает с фазовым
пространством динамической системы. Примером описания динамической
системы в фазовом пространстве могут служить уравнения (5.2.18).
Правило второе. В качестве переменных состояния целесообразно
использовать те обобщенные переменные системы, для которых
выполняются законы сохранения и которые не претерпевают разрыва
непрерывности при скачкообразном изменении входных воздействий.
Это условие приводит к тому, что за координаты вектора состояния
следует принимать выходные сигналы динамических элементов,
обладающих физическим свойством накапливать кинетическую, потен-
циальную, электрическую
и другую энергию, положение и т.п.
5.3.1. Особенности составления уравнений состояния для
механических систем
Выбор переменных состояния для механических систем в общем
случае подчиняется указанным выше рекомендациям. Как правило, при
рассмотрении механических систем в качестве переменных состояния
используются такие переменные как линейные перемещение, скорость
перемещения, ускорение перемещения, угол поворота вала, угловая
136