Асанов А.З. Введение в математическое моделирование динамических систем

Подождите немного. Документ загружается.

5.5. Формирование уравнений состояний по передаточной

функции

Нахождение уравнений состояния динамической системы в

пространстве состояний по известной передаточной функции системы

является неоднозначной процедурой из-за произвола выбора переменных

состояния.

Одним из наиболее распространенных является метод, использующий в

качестве системы переменных состояния фазовые координаты.

Рассмотрим решение задачи формирования уравнений состояний для

системы с одним входом и одним выходом

и имеющей передаточную

функцию вида

Y( p ) b p b p ... b p b

W( p)

U( p) p a p ... a p a

−

++ +

++++

, (5.5.1)

где

– изображения по Лапласу выходного и входного сигналов

системы соответственно.

p) p)

Соответствующее этой передаточной функции дифференциальное

уравнение динамической системы запишется в виде

110

(n) (n )

y (t) a y (t) ... a y(t) a y(t)

bu (t)bu (t)...bu(t)bu(t)

−

′

++++=

′

=+ +++

[]

(5.5.2)

Здесь

– выходной сигнал системы,

– входной сигнал системы.

y( t ) t )

Из сравнения (5.5.2) и (5.4.6) видно, что они тождественны друг другу.

Поэтому дальнейший переход к уравнениям состояния полностью

совпадает с методом, изложенным в предыдущем разделе.

В результате получим, что матрицы уравнений состояния динамической

системы имеют вид

[]

012 1

010 0

001 0

...

... ... ... ... ...

...

a a a ... a

C b b b ... b , D b .

−

⎡⎤

⎡

⎤

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

⎢

⎥

−−− −

⎣

⎦

⎣⎦

(5.5.3)

Граф математической модели динамической системы, описываемой

передаточной функцией (5.5.1) или, что равнозначно, уравнениями

состояния с матрицами (5.5.3), приведен на рис. 5.5.1.

147

Ранее уже отмечалось, что одной

и той же передаточной функции можно

поставить в соответствие уравнения

состояния вида (5.2.6) и (5.2.7), но с

различными матрицами

, , , .

Так, если в дифференциальном

уравнении (5.5.2), соответствующем

передаточной функции (5.5.1), пере-

менные состояния определить

равенствами,

Рис. 5.5.1. Граф системы

C D

(1) (2) (3)

12 1

() () ()

..............................

() () () () ... (),

nn n

xt yt bUt

ty tbU tbU t bUt

−− −

−

=−

′

=−

′′

=−

=− − −−

то матрицы уравнений состояния динамической системы принимают вид:

[]

012 1

010 0

001 0

100 0

...

... ... ... ... ... ...

aaa...a

C...,D

−

⎡⎤

⎢⎥

−−− −

⎣⎦

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

(5.5.4)

Элементы

(

)

i , ,...,n

матрицы связаны с коэффициентами

исходной передаточной функции следующими соотношениями:

1110

221120

33122130

0112233 0

................................................................

... .

nn n

nn n n

nnnnnnn

bab

babab

bababab

bab ab ab ab

−−

−− −

−− − −

−− − − −−

β=

β= −

β= − −

β= − − −

β= − − − − −

Граф соответствующий системы с матрицами вида (5.5.4) представлен

на рис. 5.5.2.

Уравнения состояния динамической системы с такими

матрицами A, B, C, D носят название строчной наблюдаемой фробениу-

совой канонической формы.

148

Нетрудно увидеть, что хотя в (5.5.3) и (5.5.4) матрицы

систем

одинаковы, но весьма сильно различаются матрицы

, C , . B D

Другой способ формирования

уравнений состояний динамической

системы в пространстве состояний по

известной передаточной функции

системы заключается в разложении

передаточной функции на элементарные

дроби и в последующем представлении

совокупности этих дробей в

пространстве состояний.

W( p)

Рис. 5.5.2. Граф системы

Рассмотрим систему с одним

входом и одним выходом,

передаточная функция

которой представляет собой отношение двух

полиномов

W( p)

( p ) b p b p ... b p b

W( p)

(p) a p a p ... ap a

−

++ +

. (5.5.5)

Полагаем, что

. Если предположить, что корни полинома

mn<

(p)

различные, то полином

(p)

можно представить в виде:

12 1nnn

( p ) a ( p )( p )...( p )( p )

λλ

−

=− − − −

)

, (5.5.6)

где

(

i , ,...,n

- корни характеристического уравнения

(p)

В этом случае передаточная функция

раскладывается в виде

12 1

12 1nn

cc c c

W ( p ) c ...

pp p p

λλ

−

=+ + ++ +

−− − −

, (5.5.7)

где

0 ii

B( p )

climW(p) при p,c(p) при p

A( p )

=→∞=−=

Постоянные коэффициенты

и могут быть найдены также с

помощью метода неопределенных коэффициентов.

Изображение выходного сигнала можно представить в виде

Y(p) cU(p) U(p)

−

∑

(5.5.8)

Соответствующий этому выражению граф модели динамической

системы представлен на рис. 5.5.3.

149

Каждая из переменных

удовлетворяет дифференциальному

уравнению 1 порядка:

iii

(t) x(t) U(t)

′

(5.5.9)

или, иначе говоря, удовлетворяет частной

передаточной функции

W(p)

−

Y(t) cx(t) cU(t)

∑

Сигнал на выходе всей динами-

ческой системы будет описываться

формулой

Рис. 5.5.3. Граф системы

. (5.5.10)

Уравнения состояния, соответствующие исходной передаточной

функции и графу системы на рис. 5.5.3, будут иметь вид

[][]

11 1

222

12 0

nnn

x(t) ... x(t)

U(t ),

... ... ... ... ... ...

x(t) ... x(t)

x(t)

Y(t) c c ... c c U(t).

...

x(t)

⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤

⎡⎤

⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

(5.5.11)

Матрица в этом случае носит название диагональной формы

Жордана. В случае, если корни многочлена знаменателя

не являются

различными, т.е. являются кратными, или в случае комплексных корней,

метод разложения передаточной функции на элементарные дроби приводит

к более сложной матрице

модели динамической системы.

150

5.6. Формирование уравнений состояний по структурной

схеме

Структурная схема (или граф) динамической системы дает условное

графическое

изображение взаимосвязанных элементов, составляющих

систему и различающихся своими динамическими свойствами. При этом в

графическом изображении системы указываются и преобразования, которым

подвергается сигнал при прохождении через тот или иной элемент.

Формирование уравнений состояния системы по известной структурной

схеме (графу) может осуществляться несколькими способами.

Среди них можно отметить:

получение передаточной функции системы и последующий переход от

передаточных функций к уравнениям в пространстве состояний;

представление структурной схемы системы в виде совокупности типовых

динамических звеньев I и II порядков, описание этих типовых звеньев в

пространстве и последующее использование правил формирования

уравнений состояния системы по известным уравнениям подсистем;

детализацию структурной схемы системы, с тем чтобы блоки схемы

описывали простые одинарные операции (сложение, вычитание,

умножение, дифференцирование, интегрирование и т.п.) и дальнейшую

запись системы уравнений преобразования.

Для иллюстрации последнего способа рассмотрим пример, когда

известна структурная схема некоторого динамического объекта

(рис.5.6.1)

Когда структура динамической системы детализована до простых

операций сложения,

вычитания, умножения, дифференцирования,

интегрирования и т.д., то наиболее целесообразным является выбор в

качестве переменных состояния сигналов на выходе блоков интегрирования.

Сами же уравнения состояний формируются далее по структурной схеме

системы.

рис. 5.6.1. Структурная схема и граф системы

151

В нашем конкретном случае по структурной схеме (или графу) системы

можно записать следующие уравнения:

112

212

1RC

xxU,

xxx.

′

=− − +

′

=−

(5.6.1)

Отсюда легко установить, что в уравнении состояния объекта матрицы

имеют вид

⎡⎤

−−

⎡

⎤

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

⎢

⎥

⎢⎥

−

⎣

⎦

⎢⎥

⎣⎦

Нетрудно увидеть, что получился результат, полностью совпадающий с

результатом примера в разделе 5.3.3. Это говорит о том, что исходная

структурная схема соответствовала электродвигателю постоянного тока.

5.7. Формирование уравнений состояний системы по

известным уравнениям подсистем

Сложные динамические комплексы образуются совокупностью более

простых динамических подсистем. Как правило, при этом используются

типовые соединения: последовательные, параллельные и встречно-

параллельные (соединения с обратными связями). Тогда правомерен вопрос

об эквивалентном описании подсистем, соединенных между собой тем или

иным видом соединения.

Полагаем, что каждая динамическая подсистема описана в пространстве

состояний матричными

уравнениями вида

iiiii

ii ii

X(t) AX(t) BU(t),

Y(t) CX(t) DU(t),

(5.7.1)

Принадлежность векторов и матриц к той или иной динамической

подсистеме, участвующей в соединении, будем указывать индексами 1 и 2.

Соединения динамических подсистем обычно описываются с помощью

метода расширения фазового пространства. В этом случае для описания

объединенных подсистем вводится расширенный вектор состояния

152

X(t)

⎡

⎤

⎢

⎥

⎣

⎦

, (5.7.2)

где

– вектор состояния первой системы, – вектор состояния

второй системы.

)(

tX )(

Объединенная динамическая система будет описывать уравнения

такого же вида, что и ранее

X(t) AX(t) BU(t),

Y(t) CX(t) DU(t),

(5.7.3)

но матрицы

, , , , естественно, будут иметь совершенно другое

содержание.

Рассмотрим различные типовые соединения подсистем друг с другом и

получим соотношения, связывающие матрицы подсистем и системы.

1. Последовательное соединение двух динамических систем (рис. 5.7.1).

Для рассматриваемых подсистем справедливы уравнения:

рис. 5.7.1. Последовательное соединение динамических подсистем

11111 2 22 2

11111 2 22 22

XAXBU, XAXBU

dt dt

YCX DU, YCX DU.

=+ = +

(5.7.4)

При последовательном соединении подсистем выходной сигнал первой

подсистемы является входным сигналом для второй подсистемы, т.е.

а выходной сигнал второй подсистемы является и выходным сигналом всей

системы. Тогда уравнения системы можно представить следующим образом:

11111

22221121

222211211

XAXBU,

XAXBCXBDU

YCX DCXDDU.

=+ +

(5.7.5)

Вводя в рассмотрение расширенный вектор состояний

[]

XXX=

153

можно получить уравнения

[][]

11 1

22122

21 2 2 1

XA X

XBCAX

YDCC DDU,

⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤

⎡

⎤

⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

(5.7.6)

где

UU, YY==

Таким образом, искомые соотношения, которые связывают матрицы

подсистем и системы, имеют вид

[]

21 2 21

0AB

,B ,

CA BD

CDCC, DDD.

⎡⎤ ⎡

⎢⎥ ⎢

⎣⎦ ⎣

⎤

⎥

⎦

2. Параллельное соединение двух динамических подсистем (рис.5.7.2).

Для исходных подсистем справедливы те же уравнения (2.6.4).

При параллельном соединении подсистем входное воздействие

поступает одновременно на обе подсистемы, т.е.

UUU

, а выходные

сигналы подсистем складываются.

Рис. 5.7.2. Параллельное соединение динамических подсистем

Для системы в целом можно записать уравнения

11111

22222

11 11 2 2 22

XAXBU,

YCX DU CX DU

=++ +

(5.7.8)

154

Вводя в рассмотрение расширенный вектор

[

]

XXX=

состояний,

последние уравнения можно записать в следующем виде:

[][ ]

11 11

222

12 1 2

XA XB

XAXB

YCC DDU.

⎡

⎤⎡ ⎤⎡ ⎤⎡⎤

⎢

⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎥

⎣

⎦⎣ ⎦⎣ ⎦⎣⎦

⎡⎤

=++

⎢⎥

⎣⎦

(5.7.9)

Из последних уравнений становятся очевидны искомые соотношения

между матрицами подсистем и системы

[]

12 1 2

CCC, DDD

⎡⎤ ⎡⎤

⎢⎥ ⎢⎥

⎣⎦ ⎣⎦

(5.7.10)

3. Встречно-параллельное соединение (соединение с обратной

связью) двух динамических подсистем.

Рис. 5.7.3. Соединение с обратной связью динамических подсистем

С целью избежания неявных алгебраических уравнений положим, что

система

не имеет прямой связи, т.е.

Описания исходных подсистем будем полагать прежними, т.е. –

уравнения (5.7.4).

При встречно-параллельном соединении (соединение с обратной

связью) подсистем выходной сигнал первой подсистемы является входным

сигналом для второй подсистемы, выходной сигнал второй подсистемы

суммируется или вычитается с входным сигналом системы. Эти условия

аналитически можно записать с помощью уравнений

12 21

UUY, U YCX=− ==

155

Тогда для всей системы в целом можно записать следующие уравнения:

1111 2

22221

XAXB(UY

XAXBY,

YCX

=+ −

или

()

1111 22 211

222211

XAXBUCXDCX

XAXBCX,

YCX.

=+−−

Вводя в рассмотрение расширенный вектор состояний

последние уравнения можно записать в следующем виде:

[]

XXX=

[] []

11121121

22122

XABDCBCX

XBCAX

YC U.

−−

⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤

⎡

⎤

⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

(5.7.11)

Из этих уравнений легко найти искомые соотношения между матрицами

подсистем и системы. С учетом того, что на входе системы сигнал обратной

связи может суммироваться с входным сигналом системы (положительная

обратная связь) или вычитаться (отрицательная обратная связь), в

обобщенном виде искомые матричные

соотношения принимают вид

[] []

1121 12

21 2

ABDC BC

BC A

CC , D .

±±

⎡⎤

⎡

⎤

⎢⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣⎦

(5.7.12)

Здесь верхний знак соответствует положительной обратной связи, а

нижний – отрицательной обратной связи.

5.8. Определение передаточных функций по уравнениям

состояний

Одной из классических форм описания динамических систем является

описание системы с помощью передаточной функции.

Известно, что передаточной функцией

динамической системы

принято называть отношение изображений по Лапласу выходного и

входного сигналов системы при нулевых начальных условиях

W( p)

Y( p)

W( p)

U( p)

, (5.8.1)

156