Аракелян А.К., Афанасьев А.А. Вентильные электрические машины в системах регулируемых электроприводов. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

113

112

- коэффициент компаундирования, определяемый для задан-

ных





по соотношению

sin

)(

)sin()(cos

sin













adcqdcq

fda

LLLL

где

kkk



(рис.15.12,б).

Порядок расчета электромагнитного момента ВД

1) по заданному току

)(

(следовательно,

) и



(рис.15.12,а) определяются

)(s



, затем

11 iucci











2) по значениям



ic1



по (15.38) определяется



следовательно,

1 iici



рис.15.2,в.

По (15.37) рассчитывается электромагнитный момент ВД в

соответствующих точках с координатами

iiiciui 111

,,,,











fki



Электромагнитный момент каскада

)(sM

и, следовательно,

его электромеханические характеристики получаются

алгебраическим сложением

)(

АД

)(

ВД

согласно (15.31).

Сопоставление расчетных и экспериментальных электромеха-

нических характеристик рис.15.13 каскада показывает их удовле-

творительное совпадение в области малых нагрузок и хорошее в

окрестностях номинальной нагрузки, что указывает на приемле-

мость методики статического расчета.

Экспериментальные исследования лабораторной установки

(прил.15.2) и промышленного образца [26] каскада в статическом

и динамическом режимах показали, что одна лишь положительная

жесткая обратная связь по току нагрузки, используемая в целях

компенсации продольной реакции якоря синхронного двигателя, не

позволяет получить достаточно жесткие механические

характеристики, хотя динамический режим удовлетворяет

требованиям устойчивости.

Замыкание системы по скорости с воздействием этой

отрицательной связи по каналу угла регулирования инвертором

(



) дает приемлемые результаты по качеству статических и

динамических характеристик каскада.

Параметры ВД в о.е. определяются по базисным переменным АД.

sincos1cos

coscossin

)(

СД





































fkad

psM

(15.37)

где угол нагрузки СД



определяется согласно векторной

äèàãðàì ì å (ðèñ.15.12,

в):





 

cossin)1()1(

sincos)1(

arctg

1111

111

ccocqmm

ccocqm

rsLIsU

rsLI













(15.38)

где

)(







- амплитудное значение приведенного к статор-

ной обмотке СД тока статора АД,

)(

п0

IkIkI

kfffk







- приведенный ток возбуждения СД с уче-

том компаундирования,

- ток возбуждения холостого хода СД;

Рис.15.12. Расчетные характеристики инвертора тока, питающего

синхронный двигатель с полной демпферной обмоткой (а),

характеристики (б) и расчетные углы (в) для рассматриваемого каскада

113

114

Рис. 15.13. Расчетные и экспериментальные механические арактеристики

каскада: 1 - естественная механическая характеристика АД; 2 -

механическая характеристика каскада при



;



; 3 - то же при

8,0



А (

85,26





А); 4 - то же при 6,1



I А ( 7,53





I А); 5 - то же при

tАII

cons6,1

’



;

2

; 6 - то же при

 75

; 7 - то же при

 60

;

8 - то же при

 50

; 9 - то же при

 45

. - - - - - при



var



. - . - . - при

const.;0





f’f

Приложение 15.2

Асинхронный двигатель типа АТК 2-51-4,

0,5



кВт,

;380/220



;5,21

н1



;0,32

н2





157





рад/с;

;9,0cos





454,0



Ом;

17,0





Oм;

438,0



Oм;

436,0





Ом;

2,33





Ом;

;1,3



.76,1



Выпрямитель и инвертор собраны по трехфазной шестипульсной

схеме ( 6



m ), соответственно, на диодах ВК-2-200 и тиристорах

ВКДУ-100. Сглаживающий дроссель с

02,0

r

Ом.

115

Ч АС ТЬ ЧЕТ В ЕР ТА Я

ВЕНТИЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ

КАК ДИНАМИЧЕСКИЙ ОБЪЕКТ

РЕГУЛИРУЕМОГО ЭЛЕКТРОПРИВОДА

Г л а в а ш е с т н а д ц а т а я

СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ВЕНТИЛЬНЫХ

МАШИН

16.1. Общие замечания

Вентильная машина (ВМ) в наиболее употребительном

смысле представляет собой функциональное объединение

электрической машины типа синхронной и статического

преобразователя частот (ПЧ), отпирающие импульсы которого

следуют в функции углового положения ротора или магнитного

поля ВМ.

Совершенствование методов оценки физической возможности

работы этих машин в тех или иных установившихся режимах

имеет важное практическое значение по следующим основным

причинам: 1) условия коммутации вынуждают ряд типов ВМ

работать только с опережающим током якоря. В этом случае из-

за размагничивающего действия реакции якоря анализ

статической устойчивости становится особенно актуальным;

2) известные методы оценки устойчивости в "малом" синхронных

машин для ВМ могут оказаться непригодными; 3) специфические

особенности ВМ (принципиальная несинусоидальность токов и

напряжений обмоток, "зависимая" синхронизация ПЧ, высокий

порядок системы дифференциальных уравнений и др.) вызывают

необходимость разработки новых методов расчета статической

устойчивости, отличных от известных, базирующихся на общих

исходных математических принципах оценки устойчивости

периодического движения.

115

117

116

16.2. Расчет статической устойчивости вентильной

машины как дискретного устройства

16.2.1. Общие замечания

Наиболее специфической частью исследования статической

устойчивости ВМ является описание в "малом" ПЧ. В основе этой

операции могут использоваться различные методы: численное

дифференцирование [219]; представление некоторых приращений в

импульсной форме [117]; обращение к линеаризованным уравнениям

включения вентилей [199]; непрерывная аппроксимация уравнений

ПЧ [86].

В настоящем параграфе линеаризованное описание ПЧ

базируется на его общем представлении в виде устройства

неизменной топологии. Каждый вентиль моделируется

функциональным резистором (линейным, параметрическим),

сопротивление которого равно

max

для закрытого и

min

для

открытого вентиля. Предполагаем, что смена состояния вентиля

(закрыт, открыт) происходит мгновенно.

16.2.2. Математическое моделирование тиристорных

элементов при малых отклонениях токов

от установившегося режима

Составной частью вентильной машины (ВМ) является

статический преобразователь частоты, вентильные элементы

которого работают в импульсном режиме. Это обстоятельство

вносит специфические особенности при линеаризации уравнений ВМ.

Будем моделировать каждый силовой тиристорный вентиль

преобразователя функциональным резистором, сопротивление

которого равно

max

для закрытого и

min

для открытого вентиля.

Полагаем, что смена состояния вентиля (закрыт, открыт)

происходит мгновенно. Зависимость сопротивления вентиля с

номером j в установившемся режиме в функции угла



между

осями d ротора и фазы a обмотки якоря ВМ показана на рис.16.1.

В общем случае при вариации независимых переменных ВМ

углы включения





кjв



и отключения





jот



вентиля являютсяся

функциями этих переменных.

Примем допущение, что каналы фазоимпульсного управления

преобразователем на участке "вход" - "фаза отпирающих

импульсов" безынерционны, т.е. математическое описание связи

фазы отпирающих импульсов

jу



с напряжением управления

преобразователя

и с углом



может быть реализовано безез

использования дифференциальных уравнений. В этом случае угол

jу



исключается из числа независимых переменных (переменных

состояния) ВМ. Имея, при принятых условиях, жесткую связь с

напряжением управления, этот угол, наряду с другими аналогичными

величинами (сетевым напряжением преобразователя, напряжением

возбуждения ВМ и моментом сопротивления на ее валу), следует

отнести к внешним (управляющим и возмущающим) воздействиям.

Таким образом, при вариации независимых переменных ВМ углы

включения вентилей полагаем неизменными







кj

, а углы

выключения - функциями этих переменных

Рис.16.1. Малые приращения резисторного сопротивления, модели-

рующего тиристорный вентиль, при вариации его углов коммутации



кj

при работе преобразователя частоты выпрямителем:

а) в перегрузочном режиме без межкоммутационных интервалов (режим II,

для которого в трехфазной мостовой схеме

 

3отвк





(j=1,2,...6);

б) с прерывистым током при углах управления

m

, где

- пульсность

цепи постоянного тока.

119

118

На фиксированном периоде изменения зависимости







ее

вариация

имеет вид импульса неизменной амплитуды



ширина которого



(приращение угла коммутации j вентиля)

определяется приращениями независимых переменных ВМ

(рис.16.1,б). Знак импульса

противоположен знаку



В соответствии с рис.16.1 имеем





















RR 



от

, (16.1)

где

 





















 









отот

от

; (16.2)





jот



- угловая координата ротора в момент n-го выключения j

вентиля;









jот

1

- единичная ступенчатая функция.

При достаточно малом приращении угла коммутации











функция (16.2) может рассматриваться как импульсная функция









jот



- функция Дирака.

При отсутствии одновременно открытых вентилей одной

потенциальной группы преобразователя имеем прерывистый режим

его работы. В этом случае в мостовой схеме преобразователя

частоты число отключений вентиля на периоде его работы

увеличивается вдвое (рис.16.2). Для прерывистого режима работы

преобразователя частоты в формуле (16.1) вместо вариации угла

коммутации







следует рассматривать вариацию угла отключения

вентиля





jот



Установим связь приращения угла коммутации (угла

отключения) вентиля с независимыми переменными ВМ, число

которых равно числу дифференциальных уравнений первого порядка,

описывающих неустановившийся режим ВМ. В качества примера

рассмотрим ВМ с трехфазным мостовым инвертором тока и

датчиком положения ротора (ДПР), принципиальная схема которой

изображена на рис.16.3.

Рис.16.2. Малые приращения резисторного сопротивления,

моделирующего тиристорный вентиль в прерывистом режиме работы,

при вариации его углов отключения

Рис.16.3. Электрическая схема вентильного двигателя с инвертором

тока и датчиком положения ротора

121

120

С помощью этой схемы методами теории электрических цепей

легко выразить ток каждого вентиля

через внешние токи

преобразователя частоты -

cba

iiii ;;;

ICi

1



, (16.3)

где



















6532

6431

010010

100100

001001

101010

RRRR

, (16.4)

)6,...2,1(



- сопротивление j вентиля,





;...

621

iiii





cba

iiii 00

I

Формула (16.3) имеет смысл, поскольку матрица

невырожденная. Действительно, легко доказать, что

  

det











RRRRC

, (16.5)

причем



6

. Поскольку



, то о 0det



В соответствии с формулой (16.3) для координат вектора

будем иметь

cjcbjbajajj

iBiBiBiBi





пп

, (16.6)

где





a;b;csB

п;



- элементы матрицы

1

После замены фазных токов якоря ВМ их составляющими в

координатах d, q уравнение (16.6) запишется в виде

qjqdjdjj

iBiBiBi





пп

, (16.7)

где









32cos32coscos





















jcjbjajd

BBBB

; (16.8)













32sin32sinsin























jcjbjajq

BBBB

. (16.9)

На некотором временном интервале





t

, непосредственно

предшествующем моменту выключения j вентиля, сопротивления

всех функциональных резисторов, моделирующих вентили,

остаются неизменными. Следовательно, на этом интервале также

неизменны значения







cbas ;;п;



и вариация тока вентиля

в соответствии с формулами (16.7) - (16.9 равна:





п j

jdj

BiBiBiBi

, (16.10)

где

jqj

iBiBB







(черточкой внизу отмечены величины невозмущенного

(периодического) движения).

На рис.16.4 показаны кривые невозмущенного (кривая 1) и

возмущенного (кривая 2) изменения тока вентиля

, находящиеся

на поверхности функции вида





 ;;;

п qdjj

iiiii

и пересекающие гиперплоскость



в точках

и А,

определяющих углы выключения вентиля

jот



jот



Рис.16.4. Траектории 1 - невозмущенного и 2 - возмущенного изменений

тока вентиля

123

122

Координаты точки

известны. Для нахождения координатт

точки А потребуем, чтобы приращения независимых переменных

в точке

удовлетворяли условию



. (16.11)

Из выражений (16.10) и (16.1) определяем вариацию угла

отключения j вентиля

jот



, которая для непрерывного тока

совпадает с вариацией угла коммутации



   

 





     





iBiBiBB

от







, (16.12)

где







;









qdr ;п;



- постоянные коэффициенты, значения

которых определяются величинами невозмущенного режима, взя-

тыми при





jот



После подстановки выражения (16.12) в формулу (16.1)

приращение сопротивления j вентиля в момент его n-го отключения

будет равно:





     





 





jqd

iAiAiAR

от

пп



, (16.13)

где

 

   





1





BBRA

;





qdr ;п;

. (16.14)

Напряжение на сопротивлении j вентиля в соответствии с

формулой (16.7) определяется зависимостью

qjqdjdjjjj

iRiRiRiRu





пп

, (16.15)

где









32cos32coscos





















jcjbjajd

RRRR

;













32sin32sinsin























jcjbjajq

RRRR

;

jjsjs

RBR









cbas ;;п;



Сопротивления

R являются кусочно-постоянными

функциями. Они представляют собой взаимные сопротивления j

вентиля внешним токам преобразователя частоты. Сумма падений

напряжения на этих сопротивлениях от указанных токов равна

реальному напряжению вентиля.

Вариация напряжения (16.15) для произвольного момента

времени будет иметь вид









пп

~~~

kjk

qjqdjdjj

RIuiRiRiRu

, (16.16)

где

jdqjqd

RiRiu 



;

















Последнее слагаемое в формуле (16.16) представляет собой

совокупность импульсных функций, обусловленных поочередными

отключениями всех шести вентилей преобразователя частоты.

Раскрывая содержание

с помощью формулы (16.13), для

вариации напряжения (16.16) получим выражение:

















пп

п j

qjq

djd

uiRRiRRiRRu

, (16.17)

где

 







от

krjkjr

AIR





qdr ;п;



- дополнительное сопротивление j вентиля прира-

щению соответствующего внешнего тока преобразователя

частоты, обусловленное влиянием вариации углов отключения

всех вентилей на вариацию напряжения на этом j вентиле.

Несложно установить, что коэффициенты формулы (16.17),

выступающие сомножителями перед приращениями независимых

переменных, представляют собой периодические, кусочно-

непрерывные, интегрируемые функции времени. В частности, для

симметрического режима ВМ период этих функций равен одной

шестой части периода электромагнитных процессов каждой фазы

обмотки якоря ВМ.

Выводы

Исходя из представления преобразователя частоты как

устройства неизменной структуры (топологии), заданной в виде

некоторой электрической цепи из функциональных (линейных,

125

124

параметрических) резисторов, получены выражения, связывающие

вариации (приращения в "малом") внешних токов преобразователя

частоты с вариациями следующих величин отдельного вентиля:

1 - его сопротивления (в виде коэффициентов при импульсной

функции Дирака); 2 - тока; 3 - напряжения, содержащего

непрерывные и импульсные слагаемые.

16.2.3. Система дифференциальных уравнений

вентильной машины в вариациях

При представлении ПЧ устройством неизменной структуры

математическое описание электрического равновесия всех его

элементов может быть произведено методами теории многофазных

электрических цепей. Токи и напряжения ПЧ на стороне, связанной

с машиной, будем выражать в координатах d, q, 0. В схемах без

нулевого провода нулевые координатные составляющие

отсутствуют. Обращаясь для примера к схеме ВМ на рис.16.5,

будем иметь для трех ее независимых контуров:





41ccпп

uuuuipLRu

fqfd



; (16.18)

uuuu



; (16.19)

uuuu



, (16.20)

где

)6...,2,1(



- падения напряжения на функциональных ре-

зисторах, моделирующих вентили ПЧ;













3cos3sin3 

qdab

uuuu

;





 cossin3

qdbc

uuuu

;

 

- составляющие напряжения обмотки якоря ВМ в коорди-

натах d; q, выражаемые известными уравнениями Парка-

Горева:

       

qddqqdqd

ripu















;

 

cqfd

- напряжения на последовательных обмотках

возбуждения ВМ;

dtdp



Добавляя к трем записанным дифференциальным уравнениям

(ДУ) еще (

n23 

) ДУ:







; ДУ движения ротора и ДУУ

равновесия напряжений обмотки независимого возбуждения и

успокоительных контуров индуктора, получим полную систему ДУ

(

n26 

) порядка.

С помощью формулы (16.17) легко произвести линеаризацию

этих уравнений, в результате чего система ДУ в вариациях примет

вид



, (16.21)

где

1



;

- квадратные матрицы размером (м (

n26 

);





р11’п

...



nqqqnddfdd

iiiiiiiix

- вектор-строка вариаций токов,

углового положения и электрической частоты вращения ротора ВМ.

Элементы матрицы a являются либо постоянными величинами,

либо периодическими функциями угла



. Например, имеем:

cc11 fqfd

LLLa





;













3cos3sin3



qddd

LLa

где

cfd

;

cfq

;

- собственные индуктивности последовательных

обмоток возбуждения и обмотки якоря по оси d;

- индуктивности сглаживающего дросселя и

взаимоиндукции между перпендикулярными обмотками и

якоря (черточками снизу помечены величины установившегося

режима, статическая устойчивость которого

рассматривается).

Рис.16.5. Схема вентильного двигателя с датчиком положения ротора

(fdc, fqc - последовательные обмотки возбуждения по осям d и q;

fdн - обмотка независимого возбуждения; L - сглаживающий дроссель;

ДПР - датчик положения ротора)

127

126

Элементы матрицы b также либо постоянные величины,

равные активным сопротивлениям обмоток, либо периодические

функции угла



, зависящие также от активных сопротивлений, токов

вентилей, от индуктивных сопротивлений, потокосцеплений и токов

обмоток ВМ. Например, отметим





п4

п1

cc11

RRRRRRRb

fqfd













;

     

 

; 3sin3cos3sin3

рр

664422















rLL

RRRRb

ddqd

dddd













3sin3cos3

6427



 qd

uuuub

;

н43 fd





;





iLiL

b 

где

rrRRR

fdfqfd

; ; ; ;

нcc

- активные сопротивления соответственно

сглаживающего дросселя, обмоток последовательного и независи-

мого возбуждения, якоря;

- число пар полюсов;

- момент инерции вращающихся масс ротора.

Поскольку элементы матриц a и b являются периодическими

функциями времени, то основная матрица

системы ДУ (16.21)

также является периодической матрицей. Ее элементы - кусочно-

непрерывные и интегрируемые функции, причем некоторые из них

в моменты отключения вентилей ПЧ содержат импульсные

слагаемые, пропорциональные импульсной дельта-функции. В

частности, для нормального (симметричного) режима ПЧ величины

установившегося режима ВМ в координатах d; q будут иметь

период изменения



(Т - период электромагнитных процессов

одной фазы ВМ).

Следовательно, для этого режима справедливо









tTt αα





. (16.22)

16.2.4. Исследование статической устойчивости

вентильной машины

Условие (16.22) позволяет произвести исследование

статической устойчивости ВМ методами теории ДУ с

периодическими коэффициентами. Суждение об апериодической

устойчивости или ограниченности решений системы ДУ (16.21)

может быть найдено на основании анализа собственных значений

матрицы монодромии, т.е. матрицы общего решения этой системы





, полученного для единичных начальных условий и

фиксированного в момент



. Матрица монодромии





может быть определена путем объединения вектор-столбцов

решений системы (16.21), рассчитанных численным интегри-

рованием (например, методом Рунге-Кутта) для n (n - порядок

системы (16.21)) начальных условий вида





0...010...0



; (k = 1, 2,...n),

где

оk

x - транспонированный вектор-столбец начальных условий

(единица в этом столбце занимает k-ю строку).

Определению матрицы монодромии предшествуют расчеты

магнитного поля, электромагнитных параметров и установившихся

величин (токов, напряжений, потокосцеплений и др.) рабочего

режима ВМ.

Для ВМ с линейной магнитной цепью, когда электромагнитные

параметры могут считаться известными и неизменными,

установившийся режим и матрица монодромии рассчитываются

одновременно.

Как известно, для обеспечения асимптотической устойчивости

системы (16.21) необходимо и достаточно, чтобы собственные

значения матрицы монодромии





- мультипликаторы данной

системы - на комплексной плоскости лежали внутри единичной

окружности.

Нахождение матрицы монодромии является начальным этапом

приведения системы линейных дифференциальных уравнений с

периодическими коэффициентами (16.21) к системе линейных

дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

126

129

128



где

 

X

- постоянная матрица (ее элементы не зависят

от времени).

Старые переменные x связаны с новыми y уравнением





yx t





, в котором













ttt









expx

- неособенная

периодическая матрица - матрица Флоке, причем









tTt









Если собственные значения матрицы монодромии -

мультипликаторы - обозначим через



( nj ,...2,1



), тоо

собственные значения постоянной матрицы



(характеристические показатели исходной системы (16.21)) будут

равны [113]





jjj

 Аrgln

Отсюда видно, что при

1

имеем

0Re





. Из этих

неравенств следует необходимое и достаточное условие

асимптотической устойчивости исходной периодической системы

(16.21) - модули ее мультипликаторов должны быть меньше

единицы.

Расчет статической устойчивости производился для ВМ,

работающей двигателем, мощностью 2,8 кВт с параметрами,

приведенными в [41]

Как и в [41], где расчет устойчивости выполнялся при описании

процессов в ПЧ непрерывными функциями и при пренебрежении

высшими гармоническими токов и напряжений ВМ, определялась

граница статической устойчивости системы в плоскости

коэффициентов

cfd

cfq

- коэффициентов приведения токовов

последовательных обмоток возбуждения по осям d и q к обмотке

якоря. Эти коэффициенты пропорциональны числам витков

последовательных обмоток возбуждения. Для всех вариантов

расчетов рассматривалась также устойчивость системы

Успокоительная обмотка на полюсах индуктора была представлена двумя

эквивалентными контурами.





dtd

, (16.23)

производной от исходной системы (16.22), где





- (16.24)

постоянная матрица.

Полученные данные свидетельствуют, что для номинальной

частоты вращения ВМ дискретность процессов ПЧ (т.е. учет

также влияния всего спектра высших временных гармонических)

практически не влияет на конфигурацию области устойчивости в

плоскости коэффициентов

cfd

cfq

. Причем мультипликаторы

системы (16.21) и (16.23) близки друг к другу (табл.16.1), что и

подтверждается опытными данными. При представлении ПЧ

непрерывной моделью неустойчивая зона на пониженных частотах

для аналогичных параметров ВМ не обнаруживается.

Близость друг к другу мультипликаторов систем (16.21) и (16.23)

указывает, что построение границ устойчивости в первом приближе-

нии можно производить, используя постоянную матрицу коэффициен-

тов (16.24) вместо периодической (16.22). Этот прием позволяет

существенно упростить анализ устойчивости, так как исключается

операция численного интегрирования системы ДУ (16.21) для

определения матрицы монодромии и используются хорошо

разработанные методы исследования систем ДУ с постоянными

коэффициентами, в том числе матричные, алгебраические и

табличные критерии устойчивости.

М у л ь т и п л и к а т о р ы

Система

ДУ

Частота

вращения,

(о.е.)

1 2 3 4 5 6 7 8

(16.21)

1,15

16

0,0499

0,718

0,994

0,853+

+j0,0687

0,853+

j0,0687

0,806+

+j0,299

0,806+

j0,299

(16.23)

1,0

16,53

116

5,37

17

0,724

0,802

0,979 0,994

0,675+

+j0,166

0,675

j0,166

(16.21)

2,1

17

16,24

4

0,709

0,874

0,792+

+j0,0771

0,792

j0,0771

0,995 1,12

(16.23)

0,1

2,51

17

3,17

17

0,702

0,866

0,805+

+j0,0384

0,805

j0,0384

0,995 1,16

Таблица 16.1

1 8

129