Аракелян А.К., Афанасьев А.А. Вентильные электрические машины и регулируемый электропривод. Книга 2
Подождите немного. Документ загружается.
191
M pL I C e
ad f
k
k
qk
j kt
3
2
0
0
3
2
1
1
1
1
0
p L
j kT
j kT
L
j T
j T
C C e
k
k
ad
kd
kd
aq
kq
kq
dk q
j k t
.
(11.80)
У электромагнитного момента
M
можно выделить пе-
ременную составляющую
M
n
„, среднее значение которой за
период изменения равно нулю, и постоянную —
M
0
, рав-
ную сумме асинхронных и синхронных реактивных момен-
тов, обусловленных высшими гармоническими.
11.3.2. Гармонический состав тока и напряжения обмотки
якоря.
Определим высшие гармоники тока и напряжения в фа-
зах обмотки якоря вентильного двигателя, предполагая, что
пульсации входного тока инвертора отсутствуют [526].
Анализ влияния этих пульсаций на гармонический состав
тока и напряжения якоря приведено в гл. 6, 7 [13] и в [504].
При принятом допущении ток якоря будет иметь форму
криволинейных трапеций, разделенных бестоковой паузой (рис.
11.9), причем в коммутационные интервалы изменение тока в
общем случае описывается сравнительно сложным аналитиче-
ским выражением. При использовании синхронных машин с
типовыми параметрами продолжительность коммутационных
участков в номинальном режиме не превосходит 15—25 элек-
трических градусов. Гармонический состав тока якоря будем
определять с учетом коммутационных интервалов, считая, что
изменение тока на этих интервалах линейное. Так как действи-
тельное изменение тока мало отличается от линейного и сами
интервалы малы, то сделанное допущение не вносит сколько-
нибудь существенной погрешности.
192
Рис. 11.9. Форма тока якоря вентильного двигателя при идеальном
сглаживании входного тока инвертора
Разложим симметричную кривую фазного тока в косину-
соидальный ряд Фурье, размещая начало координат в центре
четной симметрии кривой. Для коэффициента Фурье полу-
чим выражение
a
I
n n n
n
n
8
2 2 6
2
п
sin sin cos
, (11.81)
где
n
1 2 3, , ... .
Из формулы (11.81) следует, что при
n
k
2
и
n k k
3 1 2 3( ; ; ;...) коэффициент Фурье равен нулю, то
есть в кривой тока отсутствуют четные гармоники и гармо-
ники, кратные трем. Ток якоря будет содержать гармоники
порядка
n S S
6 1 0 1 2( ; ; ; ) или
n
1 5 7 11 13; ; ; ; , при-
чем при
n
S
6
1
sin cos .
n n
2 6
3
2
193
Следовательно
a I
S
S
S
m
6 1
1
2
6 1
2
6 1
2
sin( )
( ) sin
,
(11.82)
где
I I
m
1
4 3
2
sin
п
— амплитуда первой гармоники тока
якоря.
Для мгновенного значения тока фазы “
a
” будем иметь:
i I t a S t a S t
a m
s
s
S
1
6 1
1
6 1
6 1 6 1cos cos( ) cos ( ) .
(11.83)
Выражения для токов двух других фаз “
b
” и “
c
” будут
аналогичны, за исключением того, что вместо угла
t
в них
будут фигурировать соответственно углы ( )
t
2
3
и
( ).
t
2
3
Найдем теперь составляющие тока якоря по осям
d
и
q
машины, используя известные соотношения [194]:
i i i i
i i i i
d a b c
q a b c
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
cos cos( ) cos( ) ,
sin sin( ) sin( )
(11.84)
где
1
t
— угол между продольной осью ротора и
осью фазы “
a
” якоря;
1
— начальное значение этого угла.
В начальный момент времени, как следует из формулы
(11.83), имеем максимум тока первой гармоники фазы “
a
”. По-
этому изображающий вектор тока якоря
I
m
1
в этот момент за-
нимает положение, совпадающее с магнитной осью фазы “
a
”
(рис. 10.2).
194
В результате находим:
1 1
2
( ) ,
где
1
— угол между первыми гармониками напряжения и
тока якоря; знак плюс соответствует двигательному ре-
жиму, минус — генераторному.
Из формул (11.84) получим:
i I i
i I i
d do d
q qo q
,
,
(11.85)
где
I I I I
do m qo m
1 1 1 1
cos ; sin ; (11.86)
i a s t a s t
i a s t a s t
d
s
s s
q
s
s s
1
6 1
1
6 1
1
1
6 1
1
6 1
1
6 6
6 6
cos( ) cos( ) ;
sin ( ) sin ( ) .
(11.87)
Квадраты действующих значений токов
i i
d q
; будут
равны соответственно:
I a a a a
I a a a a
d
s
s s s s
q
s
s s s s
2
1
6 1
2
6 1
2
6 1 6 1
1
2
1
6 1
2
6 1
2
6 1 6 1
1
1
2
2 2
1
2
2 2
( cos );
( cos ).
(11.88)
При известных токах якоря по осям
d
и
q
, используя
уравнения напряжений синхронной машины в форме Парка-
Горева
195
U ri
d
dt
d
dt
U ri
d
dt
d
dt
d d
d
q
q q
q
d
;
,
(11.89)
можно найти составляющие напряжений якоря по осям
d
и
q
:
U U U
U U U
d do d
q qo q
;
,
(11.90)
где
U U rI
d
dt
U U rI
d
dt
do m do qo
qo m qo do
1
1
sin ;
cos ;
(11.91)
U r i
d
dt
d
dt
U r i
d
dt
d
dt
d d
d
q
q q
q
d
;
.
(11.92)
Здесь
U
d
и
U
q
— составляющие напряжения якоря,
обусловленные высшими гармоническими тока якоря.
Представляя токи и потокосцепления высших гармониче-
ских в форме (11.71), (11.75) и производя почленное диффе-
ренцирование соответствующих рядов, что справедливо вви-
ду их равномерной сходимости, для (11.92) получим:
U r jkX j k I X j k I e
U r jkX j k I X j k I e
d
k
d d k q qk
j kt
q
k
q qk d d
k
j k t
Re [ ( )
( )
;
Re [ ( )
( )
.
(11.93)
196
Переходя от напряжений в осях
d
и
q
к их величинам в
фазных координатах, например, к напряжению фазы “
a
” по
формуле [194]:
U U U
a d q
cos sin , (11.94)
будем иметь:
U
Z j k I X j k I
a
d dk q qk
k
Re
( )
( )
2
Z j k I X j k I
j
e e
q qk
d
d k
j
j k t
( )
( )
( )
2
1
1
Z j k I X j k I
Z j k I X j k I
j
d dk q qk
q qk d dk
( )
( )
( )
( )
2 2
e e
j
j k t
1
1( )
, (11.95)
где
Z j k r jkX j k Z j k r jkX j k
d d q q
( ) ( ); ( ) ( ).
Формулы (11.87) позволяют комплексные амплитуды гар-
моник тока якоря по осям
d
и
q
для временного отсчета,
при котором
t
0
соответствует
1
, представить в виде
;
,
I a e a e
I ja e ja e
d k
s
j
s
j
qk
s
j
s
j
6 1 6 1
6 1 6 1
1 1
1 1
(11.96)
где
k s s
6 1 2 3( , , ).
В результате для уравнения (11.95) будет справедлива за-
пись:
197
U a Z j s Z j s jX j s jX j s
a
s
s d q d q
1
2
6 6 6 6
1
6 1
Re ( ) ( ) ( ) ( )
e a Z j s Z j s jX j s jX j s
j s t
s
d q
d
q
( )
( ) ( ) ( ) ( )
6 1
6 1
6 6 6 6
e a Z j s Z j s jX j s jX j s
j s t
s
d q d q
( )
( ) ( ) ( ) ( )
6 1
6 1
6 6 6 6
e a Z j s Z j s jX j s jX j s
j s t
s
d q d q
[ ( ) ]
( ) ( ) ( ) ( )
6 1 2
6 1
1
6 6 6 6
e
j s t
[ ( ) ] 6 1 2
1
. (11.97)
Если принять
r X j s X X j s X
d d q q
0 6 6; ; , то
(11.97) можно упростить:
U a X X s s t
a
s
s
d q
1
2
6 1 6 1
1
6 1
( ) ( ) sin ( )
a X X s s t
s
d q
6 1
6 1 6 1( ) ( ) sin ( )
a X X s s t
s
d q
6 1
1
6 1 6 1 2( ) ( ) sin[( ) ]
a X X s s t
s
d q
6 1
1
6 1 6 1 2( ) ( ) sin [( ) ] . (11.98)
Полученные зависимости позволяют рассчитать ампли-
тудные, фазные и действующие значения гармоник тока и
напряжения обмотки якоря.
11.3.3. Переменная составляющая электромагнитного момен-
та
Токи высших гармонических, протекающие в обмотках
машины по осям
d
и
q
, как видно из формул (11.87), имеют
значительную частоту:
f kf
k
1
,
где
k s s
6 1 2 3, ( , , );
f
1
— частота основной гармоники тока якоря.
198
Поэтому с достаточно высокой степенью точности (см.
11.2) при
f
1
5 10 Гц можно положить:
L j k L L j k L
d d q q
( ) ; ( ) . (11.99)
По аналогичным причинам в формулах (11.76) можно
считать:
L
j kT
j kT
L
T
T
L
j kT
j kT
L
T
T
ad
kd
kd
ad
kd
kd
aq
kq
kq
aq
kq
kq
1
1
1
1
;
.
(11.100)
Равенства (11.99) предполагают
r r r
kd kq f
0, равенст-
ва (11.100) — также
r r r
kd kq f
0 и разомкнутость об-
мотки возбуждения для токов высших гармонических. Оче-
видно, что в том и другом случае электромагнитный момент
M
, определенный по формулам (11.79), будет иметь сред-
нее значение, равное нулю, если пренебречь сравнительно
малыми, как будет показано ниже, реактивными моментами.
Суммирование рядов (11.79), (11.80) при соблюдении ра-
венств (11.99), (11.100) позволит определить практически
только переменную составляющую электромагнитного мо-
мента —
M
n
, так как амплитудное значение последней на
3—4 порядка превосходит реактивную составляющую посто-
янного момента
M
0.
Уравнение (11.79) с учетом формул (11.72), (11.73) можно
записать в относительных единицах в виде
M p L I i
n d q d q
3
2
0 0
( )
( ) ( )
q d q d d q d q
L I i L L i i
0 0
, (11.101)
где
199
d ad f d d q q q
L I L I L I
0 0 0 0 0
, .
Выражения для переменных составляющих тока якоря
(11.87) после ряда тригонометрических преобразований и
введения новых переменных
t t
t t
6
2
6
2
( ),
( )
(11.102)
представляются к виду, удобному для суммирования:
i I
t s
s
t s
s
d m
s
1
1
1
2 2
1
36
cos
cos cos
1
36 2
1
2 2
ctg
sin
cos cos
t s
s
t s
s
1
108 2
1
108
1
3 3
1
3 3
ctg
cos
sin sin
sin
sin sin
t s
s
t s
s
t s
s
t s
s
(11.103)
i I
t s
s
t s
s
q m
s
1
1
1
2 2
1
36
sin
cos cos
1
36 2
1
2 2
ctg
cos
cos cos
t s
s
t s
s
1
108 2
1
108
1
3 3
1
3 3
ctg
sin
sin sin
cos
sin sin
t s
s
t s
s
t s
s
t s
s
(11.104)
Суммирование рядов (11.103), (11.104) легко произвести,
пользуясь формулами [530]
s
s
ts
s
t t t
ts
s
t t t t
1
2
2
2
1
3
2
2 3
6 2
1
4
0 2
6 4
1
12
0 2
cos
, ;
sin
, .
(11.105)
200
Решая неравенства 0 2 0 2
t t
, совместно с
уравнениями (11.102), найдем интервал 1 (см. рис. 11.10), в
котором справедливы выражения (11.105):
3 6 2 3
t
. (11.106)
Рис. 11.10. К суммированию рядов токов высших гармонических
Суммирование рядов (11.103), (11.104) производим, пре-
небрегая в них последними суммами
1
108
3 3
1
sin sin
,
t s
s
t s
s
s
ввиду их малости по сравнению с остальными.
В результате для интервала
I
получим
i I t t
d
m
1
1 1
2
2
2
1
36 3
6
1
2
6
1
2
3
cos
1
36
6 3 3
2
1
108
1 1
sin cos
t
tg
6 3 1 2 6 3
2
1 6 3
2
2
2
3
t t
tg tg
; (11.107)