Алешин Г.В. Оценка качества информационно-измерительных систем
Подождите немного. Документ загружается.
51
G=exp
σ
y
2
. (3.9)
При искажении комплексной огибающей сигнала в 1+
γ
(t) раз, где
γ
(t) - ста-
ционарный случайный процесс с нулевым средним и функцией корреляции
R(t)=
σ ρ
y
t
2
( )
,то проигрыш по мощности, или в отношении сигнал/шум, при неиз-
менном среднем значении выходного напряжения, определится следующим об-
разом
G=1+
σ
y
2
. (3.10)
Расстройка F по частоте ЛЧМ сигнала, либо фильтра, приводит к смеще-
нию отклика на время
∆tξ
∆t =
F
f
fm
∆
τ
1
(3.11)
и ослабление его максимума
G
F
f
fm
= −( )1
∆
. (3.12)
Расширение длительности выходного сигнала при небольших расстройках
определяется как
τ
2
1
≅
−∆f F
fm
. (3.13)
Применение рециркулятора [43] вместо оптимального фильтра для после-
довательности прямоугольных импульсов позволяет в лучшем случае при оп-
тимальном коэффициенте обратной связи m=1-0,27/N получить проигрыш в
отношении сигнал/шум
G=0,8N, (3.14)
где N - число импульсов.
При квазикогерентном, почти когерентном, приеме фазоманипулирован-
ных (ФМ) сигналов энергетический проигрыш при малых систематических
сдвигах оценивается следующим образом [43]
G=
1
2
cos ϕ
. (3.15)
Согласно [43], потери энергии колокольного импульса при прохождении
им усилителя с колокольной амплитудно-частотной характеристикой равны
G=
4
1 4
2
a
a+
, (3.16)
где a=П
τ
- произведение полосы пропускания усилителя на длительность им-
пульса a
opt
=0,5.
При приеме тем же радиоусилителем прямоугольных импульсов, или на-
оборот
G=
[ ]
Ф
a
( / )
/
π 2
2
при a
opt
=0,8. (3.17)
52
Несогласованная обработка прямоугольных импульсов радиоусилителем с
прямоугольной формой амплитудно-частотной характеристики дает потери
энергии
G=
1
2
2
a
Si a( )
π
, (3.18)
где Si(X) - интегральный синус.
Наличие сложных случайных амплитудных и фазовых искажений со спек-
тром флуктуаций, близким к равномерному, влияет на разрешающую способ-
ность по времени T
r
и по частоте F
ϕ
. В работе [43] даются соответствующие
соотношения
T
r
/T
rmin
=1/
[ ]
1 05
2
2
− , m
ϕ
; (3.19)
F
ϕ
/F
ϕmin
=1/
[ ]
1 05
2
2
− , m
a
; (3.20)
где m
ϕ
=max
ϕ π( )2 f
- максимум фазочастотных искажений, m
a
=max a(2
πf)
-
максимум амплитудно-частотных искажений.
Оценим влияние точности изготовления высокочастотных многоотводных
линий задержки, предназначенных для фильтрационной обработки фазомани-
пулированных широкополосных шумоподобных сигналов (ФМ ШШС), на вы-
ходной эффект U
p
U
вых
=U
0
(t)
cos( )ω δϕ πt a
i i
+ +
∑
, (3.21)
где U
0
(t)- амплитуда входного ФМ ШШС; a
i
-закон фазовой манипуляции;
δϕ
i
-
случайная аппаратурная нормальная погрешность с дисперсией каждого отвода
σ
из г
2
.
Среднее значение амплитуды (при осреднении по фазе)
U
p
iϕ
главного пика
выходного эффекта определяется как
U U
p
iϕ
=
( cos ) ( sin ) ( )Σ Σϕ ϕ ϕ
ϕ
i i i
i
NU
N
2 2
0
1
1
2
+ ≅ −
∑
(3.22)
Ввиду нормальности плотности распределения вероятности
ϕ
i
дисперсия фазы
ϕ σ
i из г
2 2
=
Если задержки отрезков линии независимые случайные величины с одина-
ковыми дисперсиями, то
U
NU N
p
i
i
i
N
ϕ
σ σ
0
2
1
2
1
1
2
1 05≅ − = −
=
∑
,
. (3.23)
Следовательно
G=1/(1-
σ
2
) . (3.24)
Если задержка есть винеровский процесс первого порядка, когда задерж-
ка очередного отсчета зависит лишь от предыдущей (марковское свойство), то
дисперсия установки задержки зависит от номера отвода i
σ σ
i из г
i
2 2
=
. (3.25)
53
В этом случае с учетом (3.23)
G N
из г
ϕ
σ
= −1
4
2
. (3.26)
Из формул (3.23), (3.25) видно, что требования к точности установки отво-
дов в высокочастотной линии задержки достаточно высоки, так как дисперсия
задержки
σ σ π
τ
2 2
0
2 2
2= T / ( )
, (3.27)
где T
0
=
2π
ω
.
Определим влияние на выходной эффект точности установки отводов ли-
ний задержки в случае обработки бинарного видеосигнала, манипулированного
по закону псевдослучайной последовательности. На выходе оптимального
фильтра, согласованного с сигналом, уровень главного лепестка выходного эф-
фекта после обработки в линии задержки определяется из соотношения
U
p
(t)=U
0
1
1
1
τ τ
τ
τ
δ
э э
i
N
э
э
t t t t dt( )! ( )− −
=
∑
∫
, (3.28)
где 1
τэ
(t
1
) - срезающая прямоугольная функция длительностью
τ
э
.
Поскольку каждый из суммы интегралов равен 1-
τ
τ
1
э
, то максимум эффек-
та при некотором t
1
определяется как
max U
p
=U
0
( ) ( )1 11
1
0
− = −
∑∑
τ
τ τ
τ
i
э э
i
U N
N
. (3.29)
В случае нормального распределения плотности вероятности задержки по-
тери G выходной энергии сигнала определяются из соотношения
G=1/(1-
2 / π
σ τ
τ
/
э
) . (3.30)
Уменьшение отношения сигнал/шум в интегрирующем устройстве харак-
теризуется коэффициентом потерь [45]. При суммировании в интеграторе N
сигналов с амплитудой U
o
выходной эффект будет равен
U
p
=U
0
[ ]
( exp ( ) / ( exp( ))1 1 1− − − − −N
и и
σ
τ
σ
τ
τ τ
, (3.31)
где
τ
и
- постоянная времени интегратора.
Если интегратор выполнен на RC - цепи, то потери интегрирования можно
задать следующим образом [43]
U
p
=U
0
T
2
/(2(k+1)R
2
C
2
). (3.32)
Принимая во внимание несогласованность по поляризации
ϕ
приемной и
передающей антенн с линейной поляризацией, потери мощности сигнала соста-
вят
G=cos
2
ϕ
. (3.33)
Потери в фидере согласно [43] определяется из соотношения
G
-1
=1+(k
b
+1/k
b
)
β
l. (3.34)
54
В общем случае в соответствии с формулой (3.1), а также с [43] требуемое
отношение сигнал/шум уменьшается в G раз
G=
G
i
i
n
=
∏
1
. (3.35)
В работе [44] описана методика учета уменьшения отношения сигнал/шум
при визуальном наблюдении отметок цели на экране электронно-лучевого ин-
дикатора радиолокационной станции.
Воздействие изменения температуры на изменение частоты генераторов
также описано в [44]
∆ω
t
ТК t= 4
0
ω∆
, (3.36)
где ТКЧ - температурный коэффициент частоты,
ω
- номинальная круговая час-
тота,
∆t
0
- отклонение температуры от исходной.
Рассмотренный далеко не полный перечень эффектов, присущих фильтра-
ционной обработке сигналов, все же дает представление о модели реальной
системы и процессах, происходящих в них.
Аналогично составляются результаты исследований эффектов, сопровож-
дающих корреляционную обработку сигналов. В любом случае ввиду малости
возмущений, неидеальностей и расстроек в системе выходной эффект прием-
ника факторизуется, т.е. может быть представлен в виде произведения потерь.
3.2. Влияние ограниченности полосы пропускания
высокочастотного тракта на корреляционную обработку сигнала,
фазоманипулированного по закону псевдослучайной последовательности
Радиотехническая система может использовать фазоманипулированный
сигнал. Рассмотрим, как на него воздействует корреляционная система обра-
ботки, чтобы использовать результат такого системного анализа в показателе
качества РТС.
Пусть сигнал будет манипулирован по фазе псевдослучайной последова-
тельностью (ПСП). Этот сигнал, проходя колебательную систему передатчика и
антенны, свободное пространство, антенно-фидерный тракт приемника, усили-
тель радиочастоты и каскады радиоприемника, расположенные по перемножи-
теля принимаемого сигнала с опорным, претерпевает изменения, обусловлен-
ные частотными характеристиками перечисленных функциональных элемен-
тов. Если свободное пространство для простоты считать недиспергирующей
средой с равномерной амплитудно-частотной и линейной фазочастотной харак-
теристиками, то для всего тракта передачи - приема от передатчика до пере-
множителя необходимо найти передаточную функцию, достаточно просто и
правильно описывающую реальную частотную характеристику.
Пусть выполняются условия Вандер-Поля [19], т.е. условие медленно ме-
няющихся амплитуд. Это реально, поскольку длительность элемента
τ
э
псев-
дослучайной фазоманипулированной последовательности (ФМ ПСП) содержит
55
не менее десятков периодов несущей частоты f
0
, а полосу пропускания всего
высокочастотного тракта до перемножителя нельзя считать неограниченной.
Тогда согласно [19] для ФМ ПСП можно определить комплексную оги-
бающую H(t) переходного процесса при инверсии от 0 до
π
фазы
θ
],tg)]t(B21[jexp[sin)]t(B21[cos)t(H
222
θ−−θ−+θ=
(3.48)
где В(t) - вещественная огибающая переходной характеристики при включении
синусоидального сигнала. Обычно осуществляется маниуляция 0-
π
.
Тогда
H t B t( ) ( ),= −1 2 (3.49)
а фаза при переходном процессе изменяется скачком от 0 до
π
при H(t)=0, где
t
1
находится из уравнения B(t
1
)=1/2.
Напишем частотную характеристику тракта до перемножителя следующим
образом
K
j
П
в
( )
( )
,ω
ω ω
=
+
−
1
1
2
0
(3.50)
где П
вч
- полоса пропускания тракта до перемножителя, отсчитываемая на
уровне 0,5K(0),
ω
- текущая, а
ω
0
- собственная круговая частота.
Тогда напряжение на выходе (при синусоидальном единичном скачке) с
частотой
ω
на входе определяется как
U t K t e t
П t
в
( ) ( )[cos( ) cos( )].= + + − + +
−
∆ω ω θ ϕ ω θ ϕ
0 0 0
(3.51)
Здесь
ϕ
- начальная фаза, а
ϕ
ω ω
0
0
2
= −
−
arctg
П
в
( )
.
При отсутствии расстройке
ω ω=
0
,
B t e
П t
в
1
1( ) = −
−
- при включении (3.52)
и
B t e
П t
в
2
( ) =
−
- при выключении.
Тогда
H t B t e
П t
в
( ) ( ) .= − = −
−
1 2 1 2
2
(3.53)
Отсюда
t
П
в
1
2
=
lg
(3.54)
Как следует из (3.53) и рис. 3.1, ограниченность полосы пропускания при-
водит к растягиванию переходного процесса радиосигнала и, в конечном счете,
к потерям энергии сигнала в основном за счет высокочастотной части спектра
при относительно малых П
вч
τ
э
=П
вч
/П.
56
Кроме того, система синхронизации по задержке задержит опорную прак-
тически неискаженную последовательность относительно сигнала на t
1
(3.54),
если энергия переходного процесса в последовательности будет больше энер-
гии выходного шума при достаточной реальной чувствительности временного
дискриминатора.
Рис.3.1
Используя выражение (3.53), можно получить зависимость энергии потерь
Э
П
от полосы тракта до перемножителя.
Энергию потерь Э
П
сигнала при одной инверсии фазы можно определить
следующим образом
Э dt e dt e dt
п
П t П t
э
в
э
в
э
= − − +
∫ ∫ ∫
− −
cos [ ( ) cos cos ],
2
0
2 2
0
2
2
0
1 2Φ Φ Φ
τ τ τ
(3.55)
где
Φ = +ω θt
.
Поскольку число серий для М - последовательности - 2
n-1
[29], число ин-
версий фазы равно 2
n-1
-1 и энергия потерь за период T определится (3.55) как
Э
N
Э
Э
a
e e
пT п
a a
= = − +
− −
2 2
1 2
0
2
,
(3.56)
где а=П
ВЧ
τ
э
=П
ВЧ
/П, П - ширина спектра сигнала.
Аналогичные затягивания фронтов сигнала существуют и до согласован-
ного фильтра при фильтрационном приеме. В любом случае при так называе-
мой согласованности ширины спектра сигнала и полосы пропускания тракта
(а=1) потери энергии сигнал достигнут
Э
ПТ
/Э
0
=0,16.
Мощность шумов на выходе коррелятора существенно не изменится, по-
скольку в любом случае основное усиление приемника осуществляется в поло-
се П
ПРМ
=1/T=П
ВЧ
/аN.
Поэтому соотношение сигнал/шум на выходе приемника ухудшится в со-
ответствии с (3.56).
Для задачи синтеза системы по критерию минимума ошибки измерений
при ограничениях на стоимость представляет интерес область задания парамет-
ра а
∈ ∞[ , )1
, причем при а
→ ∞
уменьшается селективность высокочастотного
57
тракта, увеличивается его стоимость и уменьшается целесообразность его при-
менения.
С другой стороны, использование параметра а
≤1
ведет к резкому увеличе-
нию потерь энергии Э
ПТ
.
Для оценки влияния ограниченности полосы пропускания высокочастот-
ного тракта на выходной эффект приемника при корреляционной обработке
сигнала фазочастотные искажения сигнала в тракте будем предполагать малы-
ми. Фазовые диаграммы направленности антенн также вносят свой вклад в на-
бег фазы сигнала, однако время корреляции телесных флуктуаций значительно
больше периода сигнала T. Поэтому можно считать, что набег фазы сигнала не-
изменный в течение одного периода.
В радиоприемном устройстве радиосигнал искажается за счет ограничен-
ной полосы пропускания высокочастотного тракта, а опорный видеосигнал
формируется практически без искажений. Поэтому выходной эффект пред-
ставляет собой, строго говоря, искаженную корреляционную функцию сигнала
в конце периода. Именно выходной эффект и требуется изучить. Тогда в пред-
положении идеальности интегратора при расчете выходного эффекта Z при
корреляционном приеме и при расстройке синхронизации |
δ
t|
≤ τ
э
будут иметь
место четыре возможных случая (рис. 3.2)
1 0
1
) ,− + ≤ ≤τ δ
э
t t
2 0
1
) ,≤ ≤δt t
3
1
) ,t t
э
≤ ≤δ τ
4
1
) .τ δ τ
э э
t t≤
≤ +
Рассчитаем выходной эффект в первом случае.
Z e dt
П t k a
k
k t
k
N
в э m
э
э
1
1
1
1
1 2= − +
− − −
−
−
=
∫
∑
[ ] cos
( ( )
( )
τ
δτ
τ δ
Ψ
+ − +
− − +
−
− +
=
∫
∑
e e dt
ja П t k a
k
k t
k
N
m в э m
э
э
π τ
τ
τ
( ) cos
( )
( )
( )
2 1
1
1
1
1
1
Ψ
+ −
− −
−
=
∫
∑
e e dt
ja П t k a
k t
k
k
N
m в э m
э
э
π τ
τ δ
τ
[ ] cos ,
( )
1 2
1
Ψ
(3.57)
где
Ψ Ψ= − − + +( )( ) ,ω ω δ π
0
t t a
m c
ω
∂
- расстройка по частоте, N - число эле-
ментов в псевдослучайной последовательности, или количество элементов по-
следовательного составного сигнала, П
ВЧ
- полоса пропускания высокочастот-
ного тракта до перемножителя, t
1
= ln2/П
ВЧ
, а
m
=a
k
∩
а
k-1
- последовательность,
полученная перемножением последовательности а
к
на а
к-1
, а
m+1
- аналогичная
последовательность. Элемент а
m
принимает значение 0 или 1 в зависимости от
k.
Оценим выходной эффект при отсутствии расстроек. Тогда первое слагае-
мое I
1
(3.57) имеет вид
58
J e dt п и a
e п и a
dt
П t a
m
П t
m
t
t
k
N
t
k
N
в m
в
ээ
1
11
1 2 1 0
1 1
11
= − = =
− =
=
−
−
−
==
∫
∑
∫
∑
( ) / р ( )
/ р ( )
τ δτ
=
− − + − =
− − =
− −
N
t
t
a
e п и a
t
t
п и a
э
э э
a
t
m
э э
m
э
τ
δ
τ τ
δ
τ τ
δ
τ
1
2 1
2
1
1 0
1
1
1
( ) / р ( )
/ р ( )
.
( )
Для псевдослучайной последовательности событие а
m
=1 и а
m
=0 встреча-
ются с частотами p
1
и p
0
. Обычно для ПСП p
0
=p
1
=1/2. Тогда математическое
ожидание I
1
при осреднении по а
m
будет равно
J N
t
t
a
e
a
э
э э
a
t
m
э
1
1
1
1
1 1
2
= + − − −
− +
τ
δ
τ τ
δ
τ
[ ( )].
( )
(3.58)
Таким же способом можно найти выражения для математического ожида-
ния второго и третьего слагаемого (3.57),
a2
N
1
a
2
m
ρ
τ=Ι
∋
; (3.59)
,1e
a
et
N
1
t
a
a
a
3
m
ρ
−+
τ
δ
−τ=Ι
∋
τ
δ
−
−
∋
∋
(3.60)
где
( )
∑
=
π⊕
−
=ρ
N
1k
aaj
1
1kk
e
N
1
- знаковая нормированная корреляционная функция
при единичной расстройке ( на
τ
э
).
Выходной эффект для случая
0tt
1
≤δ≤+τ−
∋
определится как сумма
(3.59, 3.60, 3.61):
,e21
a2
1
e1e
aa2a
2ln
B
t
1N
t
1a
t
a
a
11
1
a
1
m
−−
−
−
ρ
−
ρ
+−
τ
δ
+τ=Ζ
τ
δ
−−
τ
δ
−
−
∋
∋
∋
∋
(3.61)
где B
1
=1-
ρ
1
.
Для случаев 0≤δt≤-t, t≤δt≤τ
∋
, τ
∋
≤δt≤τ
∋
+t, выходной эффект определяется
аналогично
59
−
ρ
−−
++
τ
+τ=Ζ
∋∋
τ
δ
−
τ
δ
−
−
∋
∋
t
a
1
t
a
a
1
a
2
e
2
1
a
e
a
1
e
2
1
a
1
t
1N
m
; (3.62)
;
2
1
e
a
1
t
a2
1
ee
a
1
B
t
1
N
t
a
1
a
t
a
1
a
3
m
−+
τ
−
ρ+
++
−−
τ
δ
−
τ=Ζ
∋
∋
τ
δ
−
∋
−
τ
δ
∋
∋
(3.63)
−+
ρ
+ρ
τ
−+−τ=Ζ
−
τ
δ
−
−
∋
−
τ
δ
−
∋
∋
1
t
a
a
11
1
t
a
0
a
4
ee
2
1
a
t
1
a2
1
e
a
1
N
m
. (3.64)
Таким образом, нормированную, осредненную по а
m
квазиавтокорреляци-
онную функцию Z
вых
/N
τ
э
можно представить в виде
+≤
τ
δ
≤
+−ρ+
−
≤
τ
δ
≤ρ−+
−+
τ
δ
−
≤
τ
δ
≤ρ−+
−+−
≤
τ
δ
≤+ρ+
−−−
τ
δ
+
=
τ
Ζ
∋
−
−
τ
δ
−
∋
−
τ
δ
−
∋
∋
−
τ
δ
−
∋
−
τ
δ
−−
∋
∋
∋
∋
∋
∋
.
a
2ln
1
t
1 ;
a
e
a
2ln
11e2
a2
B
1;
t
a
2ln
;
a
2ln
a
e
e21
a2
B
B
t
1
;
a
2lnt
0 ;
a
2ln
a
e
e21
a2
B
a
2ln
1
;0
t
a
2ln
1- ;
a
e
e21
a2
B
a
2ln
B
t
1
N
a
1
1
t
a
1
1
a
t
a
1
1
1
a
t
a
1
a
t
1a
1
1
вых
(3.65)
Функция (3.65) легко программируется и вычисляется для различных а и
ρ
. На рис. 3.3 она представлена для различных отношений α полосы пропуска-
ния высокочастотного тракта к ширине спектра ШШС.
В принятых здесь обозначениях
δ
t
p
0 означает, что принимаемый сигнал
отстает от опорного (рис. 3.2). Имея это в виду, из рис. 3.3 можно заметить сле-
дующие эффекты, связанные с изменением (например увеличением) величины
α:
60
Рис. 3.2
Рис. 3.3
А) при увеличении α потери энергии уменьшаются за счет меньшего по-
давления частотной характеристикой тракта (например, УРЧ) высокочастотных
составляющих, тогда нормированная квазиавтокорреляционная функция стре-
мится к 1;
Б) при α
→ ∞
смещение t
1
=ln2/a пика квазиавтокорреляционной функции
уменьшается до нуля;