Алешин Г.В. Оценка качества информационно-измерительных систем

Подождите немного. Документ загружается.

можно преобразовать к виду

[ ]





















+++

∑

pipipjpjkk

)D(F)D(F)D(F)D(Fmin



;

{ }

]n,1[pDDDD

p,pi,pj,,k

∈∀



при

∂

≤++

ppikpj

DDDDD

0000



Это обычная сепарабельная задача распределения ресурсов, где

)D(F

ξξ

монотонные функции от переменных

. Для задачи с одним ограничением ус-

ловие инвариантности решения от перестановки целевой функции и ограничения

выполняется. Таким образом, оптимальные решения и показатели качества имеют

одинаковое значение для прямой и двойственной задач. Вместе о тем, для общего

случая ограничений инвариантность решения двойственных задач не всегда мож-

но считать доказанным фактом. Поэтому следующий подраздел посвящен вопро-

сам оптимизации измерительной структуры каналов в самом практическом слу-

чае, когда выполняется условие инвариантности решения.

Контрольные вопросы.

1. В чем состоят трудности теории РТС ?

2. Улучшаются ли результаты оптимизации ИИРТС при увеличении числа

ограничений ?

3. Какой критерий качества ИИРТС самый объективный и неограничен в об-

ласти определения ?

4. Каковы недостатки условного критерия качества ?

5. Что такое двойственность задач оптимизации по условному критерию ка-

чества ?

6. Каковы условия инвариантности решения задач оптимизации по отноше-

нию к различным постановкам задач ?

7. Каковы условия выбора наилучшего решения задач по условному крите-

рию качества ?

1.3. Общие вопросы оптимизации измерительной

структуры каналов ИИРТС.

В настоящее время укрупненная структура радиотехнических систем раз-

личного назначения в основном сложилась, а структура подсистемы вторичной

обработки измерительной информации достаточно динамична и еще изучается

для различных применений. Вопрос о структуре первичного измерителя или во-

обще о структуре измерителя параметрического процесса ставился в основном

лишь применительно к дискриминаторному методу оценивания. Однако взгляды

на радиотехнические измерители должны быть существенно расширены. В раз-

деле 2 изложены основные причины этого. В данном подразделе приведены лишь

общие идеи о принятии оптимального решения об измерительной структуре каж-

дого из каналов. Заметим, что для сравнения эффективности измерительных сис-

тем с поисковым, многоканальным и многоэтапном методом оценивания пара-

метров а работе используется векторное сравнение их показателей качества, ко-

торое производится по одной компоненте при прочих равных.

Пусть сформулирована задача оптимизации ИИРТС.

Определение условного экстремума и оптимальных технических параметров

X сигнала

),t(S λ

и измерительных структур



на соответствующих множествах

возможно методом множителей Лагранжа и методом подстановки. Известно, что

оптимальное решение, если оно существует, не зависит от метода оптимизации.

Условиями существования и единственности решения могут служить требования

выпуклости и монотонности

)),t(S,X(D),X(C

)(p



и условие регулярности Слей-

тера. Метод Лагранжа требует дополнительного определения множителей. По-

этому метод подстановки может быть проще. Задача преобразуется к виду

)C,DrD),,t(S,X(Dmin

)(pxi1)(1

}),,t(S,X{

∂∂

αλ





; (1.3)

где

- вектор технических параметров, у которого

nXdimXdim −=

т.е.,

размерность

меньше размерности

на число ограничений

;

rα

)D(XD

pi)(p ∂



- функция, обратная

)X(D

)(p 

∂

- допустимые ассигнования

на систему, функционал (1.3) зависит не только от переменных

),t(S,X λ

и ин-

декса



, изображающего вид зависимостей

)C(D

, присущих р-му каналу, но и

от

∂

и всех постоянных, входящих в уравнение связи общей задачи. Самый

глубокий минимум (глобальный) соответствует оптимальному значению безус-

ловного функционала (1.3) на всех трех множествах. Если оптимум отыскивается

или на всех множествах, или на усеченных множествах, минимум (1.3) будет

менее глубоким; система будет менее эффективной. Индекс



, обозначающий

номер измерительной структуры, соответствующей показателю качества

)(p



р-

го канала, тоже можно считать переменной, только дискретного типа. Ввиду это-

го минимум функционала (1.3) по переменной



в каждом i - м канале с номером

)n,1(i∈

, т.е. по вектору



нельзя определить традиционными методами. Вектор

opt



определяется методом сравнения значений функционала (1.3) для каждой

совокупности индексов.

Вид функционалов качества

)),t(S,X(D

)(p



аналогичен для измерительных

каналов, оценивающих различные параметры сигнала. Это позволяет существен-

но упростить синтез измерительной, структуры всех каналов, осуществляемый

методом сравнения по безусловному обобщенному критерию

)C,Dr,D),,t(S,X(D

)(pxi)(1 ∂∂

αλ



. (1.4)

В соответствии со свойством инвариантности решения сказанное относится

также к функционалу (1.3), образованному на основе другого показателя качест-

ва. В разделе 9 показана методика сравнения измерительной структуры, или ме-

тодов оценивания, на основе условного критерия времени наблюдения, показате-

лей точности, отношения сигнал/шум, стоимости и априорного диапазона изме-

ряемого параметра. Полученная структура согласно свойству инвариантности ос-

танется оптимальной и для сравнения по обобщенному критерию на основе лю-

бого другого показателя качества. При этом, чем больше ограничений учитывает-

ся в задаче (1.3), тем менее глубоким будет минимум, Однако тем точнее будет

при этом описание эффективности реальных систем.

Обобщение задачи (1.3) на случай ограничений в виде неравенств, когда со-

блюдаются свойства инвариантности решения практически не меняет изложен-

ных положений.

Поэтому изложенное выше всегда подразумевается в следующих разделах при

рассмотрении частных видов синтеза, т.е. при решении задачи условной, оптими-

зации на соответствующих допустимых множествах

;

),t(S λ



. Однако по-

становка и решение указанных задач могут быть существенно упрощены.

1.4. Эффективность сложных информационно-измерительных систем.

Под эффективностью систем в настоящее время понимают меру улучшения

какого-либо, хотя бы одного, качества системы, либо уменьшения затратных по-

казателей. Поскольку все радиотехнические системы описываются совокупно-

стью показателей качества и ограничениями на ресурсы, по условиям работы и

т.п., возникает вопрос о том, как в этих условиях определять наилучшую эффек-

тивность систем и соответствующее оптимальное решение о ее параметрах,

структуре и сигналах. Ввиду того, что большое число параметров и некоторые

показатели качества - числовые характеристики случайных процессов, оптималь-

ное решение (если сформулировать задачу) будет носить эвристический характер.

Поэтому закономерен вопрос о том, намного ли ухудшится достоверность реше-

ния, если эвристика существует и при постановке задачи. Тем не менее, будем

придерживаться принципа: чем меньше эвристики, тем качественней решение

при прочих равных данных. Это означает, что лексикографическим критериям

качества



предпочтен вектор равноценных показателей качества системы.

Измерительные системы описываются следующими показателями качест-

ва:

1) точностью, определяемой среднеквадратической

погрешностью изме-

рений параметра

;

2) априорным диапазоном, определяемым дисперсией

αλ

вероятности ап-

риорного распределения измеряемого параметра;

3) стоимостью системы С;

4) надежностью измерений; определяемой как вероятностью безотказной ра-

боты

бр

, так и доверительной вероятностью

дов

, оценивания параметра

5) временем наблюдения параметра сигнала.

Примечательно, что стоимость (как и априорный диапазон измеряемого па-

раметра сигнала) вполне можно считать равноправным по значимости показате-

лем качества.

В результате системного анализа могут быть определены зависимости пока-

зателей качества

)X(D



от вектора технических параметров.

Если известна функция (функционал) цели

))X(D(f



, то наилучшим будет об-

ладать система с такими оптимальными техническими параметрами



, при ко-

торых достигается

))X(D(fextr



на множестве

}X{



))X(D(f))X(D(fextr

}X{





Функционал

))X(D(f



обычно выступает в роли вероятности достижения це-

ли

))X(D(PP

цц



. Однако чаще всего в сложных системах функционал

))X(D(f



определить не удается.

В этих условиях используется критерий оптимальности:

1) взвешенный критерий

∑

ξ=

}X{

)X(Dextrf



К недостаткам критерия относится волюнтаризм при выборе

, достоинст-

вом же является простота;

2) относительный критерий

(в числителе – показатели эффекта функцио-

нирования

, а в знаменателе – суммарные ресурсы (затраты)

∑

)

∑

)X(D

extrf



, где

∑

ξ=

∑

)X(DD



Недостатки относительного критерия заключаются в неравномерности шка-

лы и неадекватности показателя эффективности

во всей области определения

∑

. Действительно, в начале координат (при

0D →

∑

) эффективность

может

неоправдано возрастать, а при

∞→

∑

изменение

может оказаться незначи-

тельным. Недостаток можно представить в виде ограниченности области опреде-

ления целевой функции

. Достоинством этого критерия является простота

представления;

3) векторный критерий качества













)X(D





Недостаток этого критерия – в несравнимости

)X(D



)X(D



при

вiдвi

D)X(D >



cici

D)X(D >



;

4) условный критерий качества

)X(Dmin



при

допnnдоп22

D)X(D,,D)X(D

≤≤







где

допn

означает допустимое значение n-го показателя качества, либо в др.

постановке

)X(Dmin



при

допnnдоп33доп11

D)X(D,,D)X(D,D)X(D ≤≤≤







и т.д.

Если решение при любой постановке задач совпадает, это свойство будем

называть инвариантностью решения к постановке задачи на условный экстремум.

Условный критерий лишен указанных ранее недостатков, однако ему при-

суща сложность решения задач и возможность отсутствия инвариантности реше-

ния а постановке задачи. Сложность решения специальных задач можно обойти

[42]. И для большинства реальных задач, где требуется синтез высококачествен-

ных систем и где зависимости

)X(D



являются монотонными, инвариантность

решения в основном сохраняется.

Если свойство инвариантности решения к постановке задачи на условный

экстремум выполняется, то для сравнения эффективности измерительных струк-

тур можно выбрать в качестве деловой функции любой показатель качества. В

этом случае задачи на условный экстремум методом подстановки превращают в

задачу на безусловный экстремум, но на дискретном множестве структур.

Свойство инвариантности решения к постановке задач справедливо по край-

ней мере для однопараметрических измерительных систем. Даже для таких сис-

тем сравнительные оценки эффективности получить непросто: если состав пока-

зателей качества значительный, если технико-экономические зависимости заданы

с ограниченной точностью, если система работает с кооперируемыми объектами

и если энергетический потенциал радиолинии зависит от большого числа пара-

метров системы. Тем не менее, такие задачи сравнения измерительных структур

разрешимы.

РАЗДЕЛ 2

ОСНОВЫ НОВОЙ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ИДЕОЛОГИИ

2.1. Особенности оценивания параметра

сигнала в реальных системах

Здесь будут рассматриваться вопросы эффективности радиотехнических изме-

рительных устройств или систем оценивания параметров сигнала в том понимании,

как это изложено ранее. Под оценкой параметра сигнала будем вжимать его значе-

ние, полученное как с помощью соответствующего измерителя, так и при обработке

полученное результатов измерений. Предположим, что измерения производятся в

радиотехническом диапазоне волн в условиях воздействия случайных флуктуацион-

ных помех. Рассмотрим общие вопросы оценивания параметров сигнала.

Одной из особенностей оценивания параметров сигнала является то, что оценке

предшествуют преобразования сигнала, включающие меры борьбы с помехами,

ко-

торые всегда присутствуют в тракте приема сигналов. Борьба с помехами обычно

реализуется фильтрацией сигнала на фоне помех либо вообще использованием ка-

ких-либо различий между сигналом и помехой. Качество работы устройств оцени-

вания параметров сигнала, как и других радиосистем, зависит от результативности

борьбы с помехами и характеризуется в итоге отношением сигнал/шум на выходе

систем.

Следующая особенность оценивания параметров сигнала - быстротечность

измерительного процесса,

т.е. ограниченность времени предъявления, или экспо-

зиции сигнала, для измерений его параметров, особенно если сигнал - обычный. Эта

особенность радиотехнических устройств оценивания параметров должна быть от-

ражена в показателе оперативности системы, на который наложено ограничение в

виде тактико-технических требований (ТТТ) к времени наблюдения параметров

сигнала.

Точность оценивания параметров сигнала зависит как от метода сравнения их с

параметрами эталона, так и от преобразований сигнала. Поэтому следующая осо-

бенность радиотехнических измерений параметров сигнала - это многофактор-

ность, т.е. зависимость показателя точности радиотехнических измерений от сово-

купности параметров, описывающих неидеальности, нестабильности и возмущения

различной природы в радиотехнических системах.

Существенным ограничением при оценке параметров сигнала, или ее особен-

ностью, является большое отношение априорной неопределенности к апостери-

орной по оцениваемому параметру сигнала. Большое влияние на выбор типа уст-

ройства оценивания параметров сигнала оказывает также ограниченность пиковой

мощности передатчика, которая вынуждает в целях повышения коэффициента по-

лезного действия передатчика и отношения сигнал/шум на выходе приемника ис-

пользовать квазинепрерывные сигналы с неизменным уровнем.

Учет указанных особенностей оценивания параметров сигнала приводит к не-

обходимости строить устройства оценки нетрадиционным способом, изложенным

далее, т.е. принимать оптимальное решение об их структуре, сигналах и техниче-

ских параметрах по совокупности тактико-технических требований к системе, кото-

рая включает показатели точности, достоверности опенки, априорный диапазон,

время наблюдения, требуемое отношение сигнала к пуму или стоимости системы.

Задача принятия оптимального решения на трех множествах (сигналов, струк-

тур и технических параметров) выходит за рамки обычных представлений. С зада-

чей принятия оптимального решения о технических параметрах можно познако-

миться в разделах [4, 5, 6], а также в соответствующей литературе [2, 14, 18]. Задачи

синтеза оптимального сигнала по малому числу показателей качества изложены в

разделах [6, 8], а также в работах [4, 5]. По более полному составу показателей каче-

ства задача синтеза сигнала еще требует своего решения, хотя с учетом разделов 6,8

может быть принято квазиоптимальное решение о сигнале.

После рассмотрения эффективности устройств оценки параметров сигнала для

измерителей различного типа в работе приводится задача принятия оптимального

решения о структуре устройств по указанным выше показателям качества.

Следует раскрыть понятие структура радиотехнической системы (PTC). Укруп-

ненная структура РТС является общеизвестной [6]. Она зависит от назначения сис-

темы и от принципа действия. Поэтому в настоящее время под структурой РТС по-

нимают структуру системы обработки сигнала, которая, кроме системы пеленгации,

расположена в последних сечениях РТС. Структуру системы обработки сигнала

формируют обычно полуэвристически на основе так называемой «алгоритмической

структуры» (структуры алгоритма), полученной в результате решения задачи опти-

мизации системы обработки сигнала при наличии случайных, чаще гауссовых, по-

мех по какому-либо статистическому критерию, такому, например, как максимум

функционала апостериорной плотности вероятности и т.д.

Внимательный анализ решений такой задачи и практика реализации систем по-

казали, что обработку сигнала с целью получения измерительной информации все-

гда можно разделить на предварительную (одиночное измерение) и окончательную

(обработка массива одиночных измерений), т.е. на первичную и вторичную обра-

ботку.

Наибольший вклад в повышение точности измерений дает первичная обработ-

ка. Первичный измеритель дельности уменьшает априорное среднеквадратическое

уклонение, равное ~10 км, до среднеквадратической погрешности ~ 10 м, т.е. в ~10

раз, по скорости – в 3⋅10

раз, по углам - ~10

раз, а вторичный - при массиве, равном

100 измерениям, всего на порядок. Поэтому в работе будут рассмотрены вопросы

принятия решения о структуре именно первичного измерителя. Но из этого факта не

следует, что вторичная обработка менее важна. Ведь она дает возможность за счет

накопления энергии сигнала и накопления информации повысить точность до такой

степени, какой первичный измеритель не может достичь при данной технике в дан-

ное время. Первичные измерители существующих радиотехнических систем по

принципу построения и по структуре могут существенно отличаться. В настоящее

время методы сравнения эффективности измерительных РТС, особенно с различной

структурой не разработаны. Настоящая книга призвана заполнить этот пробел.

Старые методы оценки параметров сигнала основываются на своеобразном ис-

пользовании понятия "функционала правдоподобия", известном еще от Ф. М. Вуд-

ворда [12].

Данные материалы позволяют понять, почему автор воспользовался своей но-

вой измерительной идеологией, а не применял старую теорию измерений. Его новая

идеология проста, логична и исключает многочисленные парадоксы, которые при-

сущи старой, основанной на критерии максимума функционала правдоподобия или

на критерии максимума функционала апостериорной плотности распределения ве-

роятности измеряемого параметра или процесса.

К числу парадоксов можно отнести следующие факты:

1) из теории измерений [5,41] следует, что наибольшей точностью измерений

частоты сигнала обладает сигнал, представляющий собой две дельта-функции по

времени. Практически же всегда используют совсем не то, а именно: дельта-

функцию по частоте;

2) если сигнал близок к прямоугольному, то функционал правдоподобия но

имеет второй производной в точке максимума. При этом дисперсия оценки ведет

себя нелогично (обратно пропорциональна второй степени отношения сигнал/шум),

что позволяет уменьшать дисперсию ошибки именно этим путей, т.е. стремлением к

воспроизводству в приемнике автокорреляционной функции прямоугольного им-

пульса (все-таки, выигрыш в q раз);

3) обычная неперестраиваемая диаграмма направленности

( )

θG

приемной ан-

тенны как функция не зависящая от времени, может быть вынесена из-под знака ин-

теграла сигнальной функции. Но тогда дисперсия оценки углов

y,x

будет пред-

ставлять собой что-то невообразимое и неприемлемое, т.е. потребуется определить

максимум функции

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]

′′

+θ

′

″

GG2G2G

. И так далее.

Все указанные и другие парадоксы станут вполне объяснимы в данном при-

ложении.

Объяснимо также стремление Ф.М. Вудворда [3] получить и использовать в

выражении для функционала правдоподобия автокорреляционную функцию сигна-

ле. Это стремление вызвано тем известным фактом, доказанным в теории фильтра-

ции Винера и А.С. Колмогорова, что максимум отношения сигнал/шум q достигает-

ся на выходе согласованного фильтра, где формируется автокорреляционная функ-

ция сигнала. А максимум q действительно уменьшает дисперсию сшибки измерений

(раздел 3).

Поскольку замена истинного значения измеряемого параметра λ

на опорное

значение λ приводит к образованию автокорреляционной (сигнальной) функции,

Ф.М. Вудворд воспользовался такой заменой.

В дальнейшем будет показано, что такая замена, - это не просто аппроксимация

функционала, которая должна оцениваться, как у физиков, размером остаточного

члена, чего сделано не было. Будем исходить из того допущения, что аппроксима-

ция справедлива, и увидим, к чему это приведет.

Существует мнение [5, 41 и др.], что оценивание параметра или вектора пара-

метров сигнала в условиях воздействия гауссовых помех возможно для произволь-

ных широкой априорной неопределенности при оценивании методом максимума

апостериорной вероятности иди функционала апостериорной плотности распреде-

ления вероятности. Это было бы справедливо, если бы можно было технически реа-

лизовать формирование функционала правдоподобия. Можно показать, что для га-

уссовой помехи оценивание реализуемо лишь в ограниченной области определения

функционала правдоподобия параметра сигнала.

Предположим для простоты, что оценивается один неэнергетический параметр

λ сигнала

( )

,tS λ

на фоне аддитивных гауссовых помех n(t). Функционал правдо-

подобия оценки параметра λ при этом равен [5,16,41]

[ ]

( )













−−−=λ

λλ

ии

Sy,

expK

/)tу(P

(2.1)

или

[ ]

( )













−=λ

y,S

expK/)tу(P

ии

где

( ) ( )

( )

tn,tSty

+λ=

- смесь сигнала с шумом;

- истинное, подлежащее оценке и, следовательно, неизвестное для на-

блюдателя с точностью до априорной неопределенности значение па-

раметра сигнала;

λ - известное значение оцениваемого параметра;

- спектральная плотность шума;

( ) ( )

∫

tyиtS

ии

dttytSуS

,),(

- "скалярное" произведение функций

- коэффициент, зависящий от y, а не от λ.

Следует отметить, что в функционале правдоподобия (2.1) в экспоненте запи-

сано именно истинное (неизвестное для наблюдателя значение параметра λ

, по-

скольку выражение получено из распределения помехи n(t), которая равна разности

смеси сигнала с шумом y(t) и сигнала S(t, λ

) истинным значением параметра λ

. У

большинства авторов существует подмена понятия, восходящая, как отмечалось,

еще к Ф.М.Вудворду [12]: вместо S(t, λ

) в формулу S(λ

, y) подставляют значение

S(t, λ). Такая подмена кажется на первый взгляд малозначительной. Однако анализ

ее влияния на оценивание параметра показывает, что она существенно сказывается

на идеологии измерений. В общем такая подмена была бы очень удобна и полезна.

Без такой подмены нет опорного, известного значения параметра, нет сиг-

нальной функции, невозможно определить и реализовать алгоритм оценки.

Другими словами, без подмены нет теории оценивания параметра сигнала. Поэтому

подмену будем считать корректной для теории оценок параметров сигнала лишь при

малом уклонении ∆λ истинного (неизвестного для наблюдателя) значения параметра

от ожидаемого параметра λ.

Разложим функцию сигнала S(t, λ) в ряд Тейлора в окрестности истинного зна-

чения параметра сигнала λ

( )

∑

∞

λ∆

λ=λ

,tS,tS

, (2.2)

где

( )

,tS λ

i-я- произвольная S(t, λ

) по λ

λ−λ=λ∆

Подставим в функционал (2.1) вместо S

λи

значение S

из формулы (2.2). В этом

случае логарифм функционала правдоподобия β, зависящий от λ, примет вид

( )

(

)













λ∆

=β

∑

∞

y,S

. (2.3)

Поскольку тот же логарифм, но с параметром λ

в выражении (2.1) равен

( )

y,S

и λ

=β

, то отношение функционала

( )

λyP

к исходному (2.1) равно

( )

(

)













λ∆

=β−β=

∑

∞

y,S

!iN

expexp

, (2.4)

где

( )

(

)

0y,S

Обозначим относительное изменение функционала правдоподобия от замены

на λ буквой α:

( ) ( )

( )

α=

λ−λ

yPyP

Тогда из выражения (2.4) получим

( )

(

)

( )

1lny,S

!iN

+α=

λ∆

∑

∞

. (2.5)

Будем считать

( )

,tS λ

четной функцией относительно λ

. Тогда

( )

(

)

0S,S

при i=2(k+1).

Обычно

( )

!k2

!2k2

2k2

−

λ∆

≤

−

λ∆

Тогда из выражения (2.5) получим

( )

σα+≤λ∆ 1ln2

, (2.6)

где

(

)

S,S

′′

=σ

- так называемая дисперсия оценки и параметра λ

Из формулы (.2.6) следует, что при требовании достаточно точной аппроксима-

ции функционала правдоподобия, например, при

=α пользоваться логарифмом

функционала

( )

y,S

=β

можно лишь для ∆λ, удовлетворяющих условию (2.6)

∆λ≤σ

. При

2=α

σ≤λ∆ 2

и так далее.

Малая область определения ∆λ функционала правдоподобия объясняется

обычно тем, что q>>1, а дисперсия ошибки

мала: